Simmetria Time-Reversal

In meccanica classica spesso si dispone di una simmetria dell’Hamiltoniana di tipo Time-reversal, ossia che invertendo lo scorrere del tempo la forma dell’hamiltoniana non cambia. Questo `e ottenibile invertendo l’impulso degli oggetti:  ˜ x = x ˜ p = −p

Capire questo concetto `e facile, si immagini che Superman, per ragioni a noi sconosciute, dia un forte pungo sulla terra, in modo da invertire la sua velocit`a. La terra girer`a dall’altro verso attorno al sole ripercorrendo esattamente tutte le posizioni che aveva percorso gi`a a tempi precedenti, un po’ come se qualcuno stesse guardando un filmato della terra che gira al contrario. Questo perch´e l’hamiltoniana in questione `e simmetrica rispetto a questa trasformazione.

Quando vediamo in televisione un vetro rotto che magicamente torna ad aggiustarsi sulla finestra, non `e detto che vi sia dietro un incantesimo di Harry Potter, basta semplicemente che un diavoletto abbia preso tutti gli atomi della scena e abbia invertito il loro impulso.

Possiamo dimostrare questa cosa in modo molto semplice per la mec-canica classica, e poi osservare il parallelo quantistico. La traiettoria time-reversa `e descritta da queste equazioni:



xR(t) = x(−t) p_R(t) = −p(−t)

Dimostriamo che la traiettoria time-reversal soddisfa la legge di Newthon: F (x_R(t)) = m^d 2x_R dt2 = m^d 2x(−t) dt2 = m^d 2x(t) dt2 = F (x(t))

Poich´e x(t) soddisfa l’equazione di Newthon per ipotesi anche xR(t) deve soddisfarla.

In meccanica quantistica si pu`o notare che la trasformazione che capo-volge l’impulso lasciando invariata la posizione `e il complesso coniugato. Questo pu`o essere facilmente mostrato nella base delle x, dove l’operatore X `e reale (e non viene modificato dall’operazione del complesso coniuga-to) mentre P `e puramente immaginario, e viene mandato nel suo opposto dall’operazione di coniugazione.

Ora vediamo le condizioni per la simmetria time-reversal, compiamo pri-ma una trasforpri-mazione pri-mandando lo stato iniziale nell’evoluto temporale, poi trasformiamo con il complesso coniugato e rispediamo lo stato indietro con una nuova evoluzione temporale. La condizione per cui ritroviamo lo stato iniziale equivale alla condizione di simmetria:

Ora facciamo evolvere di nuovo questo stato: e⁻~ⁱHteⁱ~H∗tψ₀^∗(x) Se, e solo se, H `e reale

ψ₀(x) → ψ^∗₀(x)

La condizione di simmetria si riduce a richiedere che H sia funzione reale. Poich´e H `e funzione delle X e delle P , le X sono gi`a reali, le P sono immaginarie pure, l’unico modo perch´e H sia reale corrisponde a richiedere che non siano presenti potenzie dispari di P nell’hamiltoniana.

Un esempio in cui ci sono questi termini dispari di P nell’hamiltoniana sono i campi magnetici, la cui forza di Lorentz dipende linearmente dalla velocit`a.

Questo non vuol dire che l’elettrodinamica non ha l’importantissima ca-ratteristica di essere time-reversal, ma semplicemente che questa simmetria `e persa nel momento in cui si vanno a trattare i campi magnetici come campi esterni, non interagenti con le particelle. Ricordiamo ad esempio nel caso di campi magnetici generati da correnti, la condizione di time reversal con-siste nel far scorrere la corrente al contrario, e quindi il verso del campo magnetico viene ribaltato ripristinando la simmetria.

Capitolo 9

Momento angolare

Abbiamo parlato nel precedente capitolo di come possono semplificare la ri-soluzione dei problemi in meccanica quantistica la conoscenza di alcune sim-metrie, e studiato nel dettaglio quali conseguenze comportano le simmetrie traslazionali, di parit`a, e di time-reversal.

In questo capitolo, che potrebbe essere considerato un appendice del precedente se non fosse per l’estrema importanza che rivestono gli argomen-ti trattaargomen-ti nella meccanica quanargomen-tisargomen-tica, discuteremo di un altra simmetria molto importante, la simmetria per rotazione.

9.1 Rotazioni in due dimensioni

Abbiamo gi`a visto come si ottengono le rotazioni in meccanica classica:  ˜ x ˜ y  =  cos θ − sin θ sin θ cos θ   x y 

Questa matrice forma il gruppo delle rotazioni in due dimensioni. La controparte infinitesima `e banalmente data dal sistema:

 ˜

x = x − εy ˜

y = εx − y

Come possiamo scrivere questa trasformazione in meccanica quantistica? Sfruttando i valori medi degli operatori:

hψ_R|X|ψ_Ri = cos θ hψ|X|ψi − sin θ hψ|Y |ψi hψ_R|Y |ψ_Ri = sin θ hψ|X|ψi + cos θ hψ|Y |ψi

Chiamando con UR(θ) l’operatore della rotazione di un angolo θ si ot-tiene:

Per caratterizzare questa trasformazione passiamo prima a definire la trasformazione infinitesima:

U_R= I − ⁱ ~εL_z

Dove abbiamo chiamato con Lz il generatore della trasformazione, andremo ora a scoprire che significato ha.

U_R|x, yi = |x − εy, εx + yi

Procediamo come abbiamo fatto per l’operatore di traslazione trovare un espressione a L_z hx, y|  I − ⁱ ~εLz  |ψi = Z Z dx⁰dy⁰hx, y|  I − ⁱ ~εLz  |x⁰, y⁰i hx⁰, y⁰|ψi hx, y|  I − ⁱ ~εL_z  |ψi = Z Z dx⁰dy⁰hx, y|x⁰− εy⁰, εx⁰+ y⁰i ψ(x⁰, y⁰) Facciamo un cambiamento di coordinate

x⁰⁰= x⁰− εy⁰ y⁰⁰= εx⁰+ y⁰

Invertiamolo (moltiplico la seconda per ε e la sommo alla prima, troncando al primo ordine):

x⁰ = x⁰⁰+ εy⁰⁰

Moltiplico la prima per ε e la sottraggo alla seconda troncando al primo ordine:

y⁰= y⁰⁰− εx⁰⁰ Sostituisco dentro l’integrale:

hx, y|U_R|ψi = Z Z dx⁰⁰dy⁰⁰hx, y|x⁰⁰, y⁰⁰i ψ(x⁰⁰+ εy⁰⁰, y⁰⁰− εx⁰⁰) hx, y|U_R|ψi = Z Z dx⁰⁰dy⁰⁰δ(x, x⁰⁰)δ(y, y⁰⁰)ψ(x⁰⁰+ εy⁰⁰, y⁰⁰− εx⁰⁰) hx, y|U_R|ψi = ψ(x + εy, y − εx)

Ricordando il procedimento gi`a fatto per la traslazione e per la parit`a il nucleo integrale di UR nella base delle x `e quel funzionale che mi tira fuori dall’integrale doppio la funzione ψ(x, y) ruotata di angolo −ε. Per trovarla sviluppiamo la ψ in serie di taylor, troncando al primo ordine:

ψ(x + εy, y − εx) = ψ(x, y) + εy^∂ψ ∂x ^{− εx} ∂ψ ∂y hx, y|  I − ⁱ ~εLz  |ψi = ψ(x, y) + εy^∂ψ ∂x ^{− εx} ∂ψ ∂y

ψ(x, y) − ⁱ

~ε hx, y|L_z|ψi = ψ(x, y) + εy^∂ψ ∂x ^{− εx}

∂ψ ∂y Da cui ricaviamo l’espressione di L_z:

Lz= −i~  x ^∂ ∂y^{− y} ∂ ∂x 

Che possiamo scrivere in forma operatoriale: L_z= XP_y− Y P_x

Questo `e proprio l’operatore di momento angolare che avevamo incon-trato anche in meccanica classica, quando avevamo brevemente accennato alle rotazioni (nell’equazione 8.4).

Abbiamo ricavato questo operatore mettendo in atto l’approccio attivo, vediamo per esercizio cosa sarebbe venuto fuori usando invece l’approccio passivo.



U_R⁺XU_R= X − εY U_R⁺Y UR= εX + Y Lavoriamo sulla prima equazione:

 I + ⁱ ~εLz  X  I − ⁱ ~εLz  = X − εY X + ⁱ ~ε (L_zX − XL_z) + o(ε²) = X − εY [Lz, X] = i~Y [X, Lz] = −i~Y Adoperando sull’altra equazione si ottiene

[Y, L_z] = i~X

Per trovare le altre dipendenze occorre sapere che anche i due impulsi subiscono la stessa rotazione:



U_R⁺P_xU_R= P_x− εP_y U_R⁺P_yU_R= εP_x+ P_y

Che portano in modo del tutto analogo alle altre equazioni: [P_x, L_z] = −i~Py

[Py, Lz] = i~Px

Con queste quattro equazioni sui commutatori `e facile convincerci che quanto trovato per L<sub>z</sub> nel caso attivo `e valido anche nell’approccio passivo.

Questo ci dice che anche in meccanica quantistica, l’invarianza per rota-zioni dell’hamiltoniana implica la conservazione del momento angolare!

Una volta determinato U_Rper rotazioni infinitesime possiamo far lo stes-so discorstes-so fatto per le traslazioni, e ottenere l’espressione per U_R(θ) per un angolo di dimensioni finite.

UR(θ) = lim N →∞  I − ⁱ ~ θ N^Lz N = e⁻~ⁱLzθ

Possiamo verificare che questo corrisponde realmente ad una rotazione pas-sando in coordinate polari:

Lz= −i~  x ^∂ ∂y^{− y} ∂ ∂x   x = ρ cos θ ρ =^px2+ y2 y = ρ sin θ θ = arctan_x^y

Per capire come si trasformano le derivate facciamo le derivate delle funzioni composte: ∂ ∂θ ⁼ ∂x ∂θ ∂ ∂x ⁺ ∂y ∂θ ∂ ∂y Le derivate che compaiono sono molto facili:

∂x ∂θ ^{= −ρ sin θ} ∂y ∂θ ^{= ρ cos θ} ∂ ∂θ ^{= −ρ sin θ} ∂ ∂x ^{+ ρ cos θ} ∂ ∂y ∂ ∂θ ^{= −y} ∂ ∂x^{+ x} ∂ ∂y

Sostituendo dentro Lz otteniamo l’espressione di Lz in coordinate polari:

L_z= −i~ ^∂ ∂θ

E quindi l’espressione della rotazione in coordinate polari diventa: UR(θ0) = e^−θ0_∂θ^∂

Che `e proprio come quella della traslazione! La rotazione corrisponde in fatti ad una traslazione sull’angolo θ in coordinate polari.