7.3 Sistemi a N particelle identiche
7.3.1 Particelle indistinguibili e sistemi isolati
N !.
Per fortuna qualcuno si `e inventato una formula comoda e compatta per scrivere direttamente lo stato simmetrizzato e antisimmetrizzato a N particelle: |ω1, · · · , ωN; A/Si = √1 N ! X p∈P (∓1)Np|ωp(1), · · · , ωp(N )i
Con P insieme delle permutazioni possibili degli indici, Np il numero minimo di scambi da fare per raggiungere la configurazione finale8
Nel caso generico di pi`u particelle i sottospazi generati dagli stati fer-mionici e bosonici rimangono ortogonali tra loro, e sottospazi dello spazio di partenza, ma non `e pi`u vero che essi generano l’intero spazio di partenza!
V1⊗2⊗···⊗N 6= VA⊕ VS
7.3.1 Particelle indistinguibili e sistemi isolati
Una volta introdotte le particelle indistinguibili diventa evidente come lo stato del sistema sia influenzato non solo dall’hamiltoniana, ma anche dal-l’eventuale presenza di particelle indistinguibili, e dai termini di interferenza che porta la loro vicinanza.
In meccanica classica spesso si possono considerare sistemi “isolati” per semplificare i problemi, sistemi in cui l’hamiltoniana abbia una forma sepa-rabile rispetto all’esterno:
H = Hsistema+ Hambiente
E si pu`o studiare cosa avviene nel sistema studiando semplicemente come i corpi risentono dell’hamiltoniana del sistema.
Non sempre queste approssimazioni sono esatte, si pu`o studiare un oscil-latore armonico sulla terra pensando di trascurare l’interazione gravitaziona-le che questo ha con plutone. Ma l’hamiltoniana di questa approssimazione dipende dalla distanza relativa tra plutone e il nostro oscillatore armonico, che non `e possibile separare matematicamente come nel’esempio. Tuttavia
7
Ricordiamoci che quei vettori sono ottenuti come prodotto tensore tra |ω1i ⊗ |ω2i ⊗ |ω3i, vettori di spazi differenti non si parlano tra loro, quindi basta che siano ortogonali in uno degli spazi che generano lo spazio prodotto tensore, e ricordiamo che i vettori |ωii sono autostati di un osservabile quantistico, che essendo hermitiano ammette una base ortonormale di autostati.
8Non `e univoco il numero di scambi da fare per raggiungere una configurazione, ma `e ben determiato se questi sono pari o dispari, che, in questo uso di Np, `e l’unica informazione realmente importante. `E chiamato segnatura della permutazione.
questi effetti sono talmente piccoli da essere trascurabili, e la separabilit`a dell’hamiltoniana `e garantita con alta precisione.
In meccanica quantistica la separabilit`a dell’hamiltoniana si traduce con il poter scrivere la funzione d’onda come due funzioni d’onda indipendenti:
|ψi = ψsistema(x1)ψambiente(x2)
A questo punto possiamo immaginare di trascurare la parte di funzione d’onda che non riguarda il sistema integrando sull’ambiente, immaginando di calcolare la probabilit`a di trovare la particella del sistema nella posizione x1:
P (x1) = |ψsistema(x1)|2 Z
|ψambiente(x2)|2dx2= ψsistema(x1) (7.3)
Ed `e quindi possibile trattare un sistema a hamiltoniane separabile trascu-rando completamente la parte di hamiltoniana che non ci interessa.
Tutto questo in presenza di particelle distinguibili. La presenza di par-ticelle indistinguibili disturba il sistema producendo quei termini di inter-ferenza che abbiamo studiato nella sezione precedente, e i loro effetti sono significativi nel descrivere la fisica del sistema.
Tuttavia `e ragionevole pensare che se abbiamo un bosone in uno stato legato sulla terra e uno sulla luna, potremo trattarli come particelle distin-guibili, in quanto siamo perfettamente in grado di etichettare i nostri bosoni e distinguerli nel tempo9. In questo modo la funzione d’onda che descrive il nostro sistema sar`a qualcosa del tipo10:
˜
ψS(xT, xL) = √1
2[ψT(xT)ψL(xL) + ψT(xL)ψL(xT)]
La probabilit`a di trovare un bosone nella posizione xT e l’altro nella posizione xL`e pari a: P (xT, xL) = 2 ˜ ψ(xT, xL) 2 =|ψT(xT)|2|ψL(xL)|2+ |ψT(xL)|2|ψL(xT)|2 + + ψ∗T(xT)ψL∗(xL)ψT(xL)ψL(xT) + ψT∗(xL)ψL∗(xT)ψT(xT)ψL(xL) In generale i termini di interferenza non saranno trascurabili, ora per`o vediamo che succede quando le due particelle sono localizzate in regioni dello spazio ben definite. A noi interessa sapere se il bosone sulla terra
9Potremo chiamarli il bosone della terra, e il bosone sulla luna, e abbiamo creato una distinsione tra le due particelle, questo discorso pu`o essere fatto solo se il bosone sulla terra non pu`o arrivare sulla luna, quindi deve essere soggetto ad un potenziale che lo faccia stare in uno stato legato, ad esempio il potenziale armonico.
10Abbiamo indicato con ψT la funzione singola del bosone sulla terra, e con ψLquella del bosone isolato sulla luna, immaginando che le due particelle non si parlino tra loro, e che abbiano quindi Hamiltoniana separata.
risenta della presenza del bosone sulla luna, per farlo marginalizziamo questa probabilit`a sulla variabile xL:
P (xT) = |ψT(xT)|2 Z |ψL(xL)|2dxL+ |ψL(xT)|2 Z |ψT(xL)|2dxL+ + ψT∗(xT)ψL(xT) Z ψ∗L(xL)ψT(xL)dxL+ ψT(xT)ψL∗(xT) Z ψL(xL)ψT∗(xL)dxL
Ora i primi due integrali sono pari a 1 per la condizione di normalizza-zione delle funzioni d’onda, mentre gli integrali dei termini di interferenza sono praticamente nulli poich´e la ψL e la ψT sono non nulle solo in differen-ti regioni di spazio, infatdifferen-ti una `e non nulla sulla terra e l’altra sulla luna, poich´e per`o sono valutate sempre sulla stessa x l’argomento dell’integrando `e sempre nullo, e quindi si possono trascurare gli effetti dell’interferenza.
P (xT) = |ψT(xT)|2+ |ψL(xT)|2
Il secondo termine `e per`o anche questo trascurabile, poich´e `e la probabilit`a di trovare il bosone della Luna nella Terra:
P (xT) = |ψT(xT)|2
Che `e la stessa che si avrebbe per particelle distinguibili (7.3).
Notiamo che tutte queste considerazioni dipendono dal tipo di base che abbiamo deciso di sfruttare, ad esempio due particelle identiche possono essere distanti tra loro, ma avere lo stesso impulso, percui la loro funzio-ne d’onda non si accavaller`a nella base delle x, ma lo far`a in quella delle p. Analogamente due particelle possono essere ben distinte nella base delle p, caratterizzate cio`e da velocit`a molto diverse tra loro, ma trovarsi ad un certo tempo t alla stessa posizione e sovrapporsi nella base delle x. Questi ragionamenti possono essere riprodotti per qualunque set di osservabili Ω. `
E chiaro quindi che il concetto di sistema isolato dipende anche dal tipo di rappresentazione che scegliamo per la nostra funzione d’onda.
Possiamo sfruttare i risultati raggiunti in questa sezione per commentare un po’ meglio sull’aspetto bosonico o fermionico delle particelle. Mostria-mo ora che se un determinato tipo di particella interagisce in coppia sem-pre come bosone, anche quando consideriamo tre particelle queste devono comportarsi in questo modo.
Immaginiamo che ci`o non sia vero per i pioni. Due pioni sono sempre bosoni. Immaginiamo ora di avere tre pioni che si comportano come fer-mioni, possiamo sempre immaginare di mettere uno di questi tre pioni sulla luna, e gli altri due sulla terra. Come abbiamo dimostrato ci sono gli estremi per trattare due pioni rimasti sulla terra come isolati rispetto a quello sulla luna:
˜
La densit`a di probabilit`a che caratterizza i due pioni sulla terra `e quindi di tipo fermionico:
PA(xT1, xT2) = 2 Z
dxL| ˜ψA(xT1, xT2, xL)|2 = 2| ˜ψ(xT1, xT2)|2
Ma noi abbiamo richiesto che due pioni isolati siano bosoni, quindi la carat-teristica di essere bosoni, o fermioni, `e indipendente dal numero di particelle. `
Capitolo 8
Simmetrie
La simmetria `e la propriet`a di un oggetto a non cambiare sotto un insieme di trasformazioni canoniche.
Queste trasformazioni posssono essere di varie tipologie, discrete, conti-nue. Ad esempio una sfera, l’oggetto simmetrico per eccellenza, non cambia forma se ruotato attraverso qualunque asse passante per il suo centro. Un oggetto un po’ meno simmetrico della sfera `e il cilindro, che rimane sim-metrico solo per le rotazioni compiute attorno al suo asse. Entrambi questi oggetti hanno una simmetria di tipo continuo.
Una simmetria continua `e caratterizzata dalla possibilit`a di compiere su quell’oggetto trasformazioni infinitesime che lasciano invariato l’oggetto stesso.
Una trasformazione infinitesima `e una trasformazione che pu`o essere vicina all’identit`a all’ordine ε sufficientemente piccolo, e la corrispettiva va-riazione di questo oggetto deve essere di ordine superiore. Ad esempio `e facile pensare che ruotare un cerchio di un angolo piccolo a piacere non fac-cia variare la forma cerchio, mentre non `e cos`ı per un esagono, che rimane simmetrico solo per certi speciali angoli di rotazioni. Naturalmente esisto-no anche trasformazioni che esisto-non hanesisto-no il corrispettivo infinitesimo, come il ribaltamento.
Le simmetrie possono essere di natura algebrica: mostriamo ora un esempio pratico. La funzione f (x, y) cos`ı composta:
f (x, y) = x2+ y2
`e invariante sotto rotazioni continue attorno all’asse z. Facciamo la trasfor-mazione: x y −→ ˜ x = x cos θ + y sin θ ˜ y = −x sin θ + y cos θ (8.1)
E verifichiamo l’invarianza della funzione sotto la rotazione rispetto a un qualunque angolo θ:
Notiamo che quello che andiamo a fare non `e un cambiamento di variabili1, ma semplicemente a verificare che per ogni punto (x, y) la funzione in quel punto sia la stessa che nel punto (˜x, ˜y) ottenuto attraverso una rotazione attorno all’asse z di angolo θ.
f (˜x, ˜y) = (x cos θ + y sin θ)2+ (−x sin θ + y cos θ)2 =
= x2cos2θ + y2sin2θ + 2xy cos θ sin θ + x2sin2θ + y2cos2θ − 2xy cos θ sin θ = = x2 cos2θ + sin2θ + y2 sin2θ + cos2θ = x2+ y2= f (x, y)
Un altro approccio differente per verificare una simmetria algebrica siste nell’effettuare un cambiamento di variabili vero e proprio, e poi con-frontare tra loro le forme funzionali2.
Mostriamo ora come si manipolano le trasformazioni infinitesime per concludere il nostro esempio. Possiamo definire la rotazione come la seguente trasformazione infinitesima: x y −→ ˜ x = x + εy ˜ y = −εx + y (8.2)
Si pu`o facilmente notare che questa `e la trasformazione di ordine ε del-la 8.1 sostituendo a θ ε e sviluppando i seni e i coseni al primo ordine. Verifichiamo che f (˜x, ˜y) = f (x, y)
f (˜x, ˜y) = (x + εy)2+ (−εx + y)2 = x2+ 2εxy + o(ε2) + y2− 2εxy + o(ε2) = x2+ y2+ o(ε2) = f (x, y) + o(ε2)
I due sono quindi uguali all’ordine superiore rispetto all’ordine della tra-sformazione. Poich´e per compiere una trasformazione finita occorrono un ordine N di trasformazioni infinitesime pari a N ≈ o 1ε, l’errore sulla trasformazione finita `e dell’ordine ε.