Una delle cose che distinguono la meccanica quantistica dalla meccanica classica `e il ruolo dellla misura. In meccanica classica se noi abbiamo un gas di particelle identiche possiamo sempre immaginare di scambiare tra loro due particelle ottenendo un sistema differente da quello iniziale. In meccanica quantistica due sistemi che non siamo in grado di distinguere tra loro con qualunque set di misure non solo sono indistinguibili, ma sono proprio lo stesso stato!
Questa novit`a rispetto alla meccanica classica ha effetti molto importan-ti che andremo ad anaizzare. Supponiamo di avere due parimportan-ticelle, in una dimensione, tra loro indistinguibili situate nelle posizioni x1 = a e x2 = b. Supponiamo quindi di fare una misura del sistema attraverso l’osservabile X1 + X2. Questo operatore ha come autovalori dello stato a + b o b + a. Poich´e per`o la somma `e commutativa questi autovalori sono uguali, e quin-di dopo la misura lo stato del sistema va a finire dentro una combinazione lineare dei due autovettori associati a questo spazio
(X1+ X2) |a, bi ⇒ β |x1 = a, x2 = bi + γ |x1 = b, x2 = ai
Poich`e lo stato |a, bi deve essere lo stesso stato di |b, ai questi vettori devono essere tra loro proporzionali2 con un coefficiente α. Immaginiamo ora di misurare X1 + X2 a entrambi i vettori, dovranno finire sullo stesso stato finale (con |a, bi abbiamo indicato un generico stato combinazione lineare tra |x1 = a, x2 = bi).
|b, ai = α |a, bi ⇒ α (β |x1 = a, x2= bi + γ |x1= b, x2 = ai) |b, ai ⇒ β |x1 = b, x2= ai + γ |x1= a, x2 = bi Se uguagliamo i coefficienti degli stati otteniamo:
αβ = γ αγ = β Sostituendo la prima nella seconda otteniamo:
α2β = β α = ±1
Da questo calcolo segue che i vettori nello spazio di hilbert che descrivono lo stesso stato possono essere o del tipo:
ψ(a, b) = ψ(b, a)
2
Si potrebbe credere che α = 1 poich´e lo stato deve essere normalizzato, `e vero che lo stato deve rispettare la condizione di normalizzazione e che |α| = 1, ma poich´e α pu`o essere un numero complesso, sono a priori possibili tutti i valori del tipo α = eiθ con θ ∈ [0, 2π).
o del tipo
ψ(a, b) = −ψ(b, a)
A seconda del segno si possono avere differenti comportamenti del si-stema, si immagini ad esempio di voler calcolare la probabilit`a di trovare le due particelle nella stessa posizione (a = b). Si nota subito che questa probabilit`a `e nulla se α = −1, infatti:
ψ(a, a) = −ψ(a, a) =⇒ ψ(a, a) = 0
Questo non `e vero se α = 1, quindi le particelle che hanno α = 1 sono molto diverse da quelle con α = −1. Il valore di α rappresenta quindi una propriet`a intrinseca della particella.
• Particelle con α = 1 sono dette particelle di Bose, o bosoni, un esempio `e il nucleo di He4.
• Particelle con α = −1 sono dette particelle di Fermi, o fermioni, un esempio `e l’elettrone.
Ora generalizziamo e invece di analizzare solo la posizione delle particelle, analizziamo una qualunque misura Ω (non degenere) che pu`o essere fatta su di loro, con autovalori ω1 e ω2. Se le particelle sono identiche, il noro stato dovr`a sempre essere combinazione lineare tra |ω1ω2i e |ω2ω1i, con α = ±1. Gli stati che descrivono particelle identiche sono quindi della forma:
|ω1ω2, Ai = |ω1ω2i − |ω2ω1i |ω1ω2, Si = |ω1ω2i + |ω2ω1i
Dove |ω1ω2, Ai indica lo stato antisimmetrico, e |ω1, ω2, Si quello simmetri-co. Si nota che lo stato antisimmetrico (fermioni) non `e compatibile con ω1 = ω2, in quanto lo stato nullo non `e uno stato fisico. Questo `e il princi-pio di esclusione di Pauli, due fermioni non possono trovarsi nello stesso stato. Non `e un vero principio, come il principio di indeterminazione di Hei-senberg `e ricavato da considerazioni elementari sulla meccanica quantistica (in questo caso deriva dall’indistinguibilit`a delle particelle).
Le particelle di un tipo devono essere tutte della stessa famiglia, o fer-mioni o bosoni. Questo perch´e altrimenti, se si immagina di avere due particelle uguali (indistinguibili), se fossero alcuni fermioni e altri bosoni, lo stato del sistema potrebbe essere descritto da una combinazione lineare di stati simmetrici e antisimmetrici:
|ψi = α |ω1, ω2; Si + β |ω1, ω2; Ai
Il quale non `e uno stato ne simmetrico ne antisimmetrico (e quindi le parti-celle non sono pi`u indistinguibili). Quindi quella di essere bosoni e fermioni `e una caratteristica intrinseca delle particelle.
Gli stati simmetrici e antisimmetrici sono sottospazi propri degli spazi di Hilbert, e nel caso semplice a due particelle questi rappresentano proprio l’intero spazio di Hilbert:
|ω1, ω2; Si ⊥ |ω1ω2; Ai
Se indichiamo con VSil sottospazio generato dai vettori simmetrici |ω1, ω2; Si e VA il sottospazio di V generato dai vettori antisimmetrici |ω1, ω2; Ai possiamo ottenere V con la somma dei due sottospazi tra loro perpendicolari:
V1⊗2= VS⊕ VA
hω1, ω2; S|ω1, ω2; Ai = 0 ∀ |ω1, ω2i
Questo perch´e un qualunque vettorei di V pu`o semplre essere scritto come:
|ω1, ω2i = |ω1, ω2; Si
2 +
|ω1, ω2; Ai 2
Questa `e dunque una base alternativa al nostro spazio di Hilbert. Nor-malizziamo i vettori di base3:
|ω1, ω2; Si = √1
2(|ω1, ω2i + |ω2, ω1i) (7.1)
|ω1, ω2; Ai = √1
2(|ω1, ω2i − |ω2, ω1i) (7.2) Con questa definizione c’`e un problema per lo stato simmetrizzato4 se ω1 = ω2. Per ovvie ragioni poniamo:
|ω, ω, Si = |ω, ωi
Posso interrogarmi su quale sia la probabilit`a simmetrizata, ovvero la probabilit`a che un sistema bosonico abbia di dare ω1 e ω2 come autovalori al set di misure Ω:
PS(ω1, ω2) = | hω1, ω2; S|ψSi |2 La condizione di normalizzazione pu`o essere scritta come:
1 = hψS|ψSi = X stati distinti
| hω1, ω2; S|ψSi |2
Dobbiamo ricordare che gli stati che si ottengono scambiando ω1 e ω2 sono la stessa cosa, per cui non bisogna sommare su quegli stati:
1 = ωmax X ω2=ωmin ω2 X ω1=ωmin | hω1, ω2; S|ψSi |2 3
Basta osservare che |ω1, ω2i e |ω2, ω1i ortonormali nello spazio V1⊗2
Che pu`o anche essere riscritto come 1 = 1 2 X ω1,ω2 | hω1, ω2; S|ψSi |2
Che succede se ci troviamo nel continuo? Nel continuo questo pu`o semplicemente essere riscritto come
1 = Z ∞ −∞ dx1dx2 1 2|ψS(x1, x2)| 2
Come si nota questa non `e la normale condizione di normalizzazione per le distribuzioni di probabilit`a, ma compare il fattore 12. Per alcuni casi pu`o essere scomodo dover conteggiare questo fattore, possiamo quindi definire un altra funzione d’onda ˜ψS che soddisfi l’equazione:
1 = Z ∞
−∞
dx1dx2| ˜ψS(x1, x2)|2
Da questa espressione risulta banale che ˜
ψS(x1, x2) =√2ψS(x1, x2)
Questa funzione per`o ha l’altro svantaggio di non essere normalizzata, e quindi di essere biricchina con le ampiezze di probabilit`a:
P (x1, x2) = |ψs(x1, x2)|2= 2 ˜ ψS(x1, x2) 2
Se invece di due particelle si trattano n particelle il fattore 2 che com-pare in queste relazioni diventa n! (dipende dagli scambi tra le possibili particelle).
Lo stesso ragionamento pu`o essere ottenuto per stati fermionici (anti-simmetrici)
|ψAi = √1
2(|ω1, ω2i − |ω2, ω1i)
Supponiamo di avere due fermioni non interagenti tra loro (e quindi di poter scrivere gli stati come il prodotto delle funzioni)
˜
ψA(x1, x2) = hx1x2|ψAi = √1
2[ω1(x1)ω2(x2) − ω2(x1)ω1(x2)] Questo pu`o essere scritto attraverso il calcolo di un determinante:
˜ ψA(x1, x2) = √1 2det ω1(x1) ω2(x1) ω1(x2) ω2(x2)
Questo determinante `e detto determinante di Slater. Questa scrittura `e molto comoda perch´e pu`o essere facilmente estesa a sistemi con pi`u fermioni, e tiene conto del principio di esclusione di Pauli, infatti se x1 = x2la matrice diventa singolare.
7.2.1 Interferenza
Come facciamo a capire se delle particelle sono bosoni o fermioni? Dobbiamo sfruttare le prorpiet`a degli stati simmetrici e antisimmetrici. Immaginiamo di preparare due particelle identiche da mettere in una scatola, e di studiarne la distribuzione di probabilit`a della posizione, indichiamo questa probabilit`a con
PS/A(x1, x2)
Intendendo con il pedice S la distribuzione relativa a bosoni, e con la A quella relativa ai fermioni, da quanto detto nella scorsa sezione:
PS/A(x1, x2) = 2 ψ˜S/A(x1, x2) 2 ˜ ψS/A= √1 2[ω1(x1)ω2(x2) ± ω1(x2)ω2(x1)] Sostituendo questa espressione nella precedente otteniamo:
PS/A(x1, x2) = |ω1(x1)ω2(x2) ± ω1(x2)ω2(x1)|2 = = |ω1(x1)ω2(x2)|2+ |ω2(x1)ω1(x2)|2±
± [ω1(x1)ω∗1(x2)ω2(x1)ω2∗(x2) + ω1(x2)ω∗1(x1)ω2(x2)ω2∗(x1)]
| {z }
Interferenza
Come si nota `e presente un termine aggiuntivo, che si somma o si sottrae alla probabilit`a a seconda se le particelle hanno un comportamento bosonico o fermionico. Questo termine `e detto interferenza. Questa probabilit`a `e molto differente da quella che avrebbero le particelle se fossero distinguibili, che si otterrebbe semplicemente sommando le probabilit`a:
PD(x1, x2) = |ω1(x1)ω2(x2)|2+ |ω2(x1)ω1(x2)|2
Dove con il pedice D abbiamo indicato la probabilit`a di due particelle di-stinguibili. Questo sistema pu`o essere usato ad esempio per capire se le particelle che abbiamo sono realmente indistinguibili. Supponiamo di ave-re delle particelle che ci sembrano indistinguibili, hanno uguale carica e massa, ma in realt`a esiste una caratteristica di queste particelle che ci `e oscura in cui differiscono, chiamiamola ipercarica, nell’insieme di particelle che sto considerando avr`o casualmente alcune con ipercarica uguale, altre con ipercarica differente, cos`ı solo alcune di loro daranno luogo al fenomeno dell’interferenza, che quindi non avr`a la stessa ampiezza che mi aspetterei.
Con questo trucco posso accorgermi se le particelle hanno qualche pro-priet`a che non conosco a priori. `E cos`ı infatti che si pu`o trovare che gli elettroni oltre a carica e massa hanno un altra caratteristica: lo spin.
L’interferenza compare perch´e per particelle identiche la probabilit`a di un fenomeno che pu`o avvenire in due vie diverse si ottiene sommando le ampiezze, non le singole probabilit`a come avviene per particelle distinguibili.