6.1 Introduzione
In questa sezione si analizza il noise nei sistemi con amplificatori, open loop e in configurazione feedback. Si introduce un noise addizionale prodotto dalla circuiteria di feedback che sara’ utilizzato nel calcolo di Eno e Eni. Si introducono le tecniche per determinare di Eno e Eni per una qualsiasi rete con o senza feedback.
6.2 Il noise e alcuni concetti base di feedback
Il feedback e’ un mezzo per alterare, migliorandole, le prestazioni dei circuiti elettronici, in particolare di circuiti con amplificatori. I parametri critici del circuito sono migliorati di un fattore (1 + Aβ) quando si applica il feedback negativo, ma questo vale anche per il noise?
Si mostra che il feedback non aumenta o diminuisce il noise equivalente di input, ma che gli elementi resistivi del feedback aggiungono noise.
Un circuito con due amplificatori in una rete di feedback puo’ essere descritto da un diagramma a blocchi come il seguente, con una sorgente di segnale di input Vin e tante tensioni di noise E introdotte nei punti critici del sistema. Gli elementi A1, A2
rappresentano amplificatori con guadagno e β rappresenta la rete di feedback.
L’output Vo e’ una funzione di tutti i 5 input:
Vo = E4 + A2[E3+ A1(E2+ Vin+ E1 − βVo)] (35) Arrangiando l’espressione, la tensione in output diventa:
Vo = A1A2
1 + A1A2β(Vin+ E1 + E2) + A2E3
1 + A1A2β + E4
1 + A1A2β (36)
Per confronto, si scrive la stessa espressione per lo stesso circuito ad anello aperto, quindi senza il feedback, ma con A1 e A′2 come blocchi di guadagno.
L’output in questo caso e’ :
Vo= A1A′2(Vin+ E1+ E2) + A′2E3+ E4 (37) Imponendo la condizione che per un confronto sensato il guadagno sia il medesimo sia con che senza feedback, si ha per A′2
A′2 = A2/(1 + A1A2β)
Imponendo questa condizione e quindi quel valore per A′2 si ottiene per l’output del circuito aperto:
Vo= A1A2
1 + A1A2β(Vin+ E1+ E2) + A2E3
1 + A1A2β + E4 (38) Dal confronto si vede come il feedback non aiuta in nessun caso le sorgenti di noise in input agli amplificatori indipendentemente se le sorgenti sono prima o dopo i nodi sommatori. Il noise inserito dopo l’output degli amplificatori e’ attenuato nel circuito del feedback. Se per caso viene aggiunta una sorgente di noise sull’output, ad esempio un carico con il suo noise, questa avra’ certamente degli effetti sul noise equivalente di input, Ei, a seconda se il feedback e’ presente o no. Per quei casi in cui il noise e’ introdotto all’input
dell’amplificatore o all’interno del loop del feedback, il feedback non influisce per niente. In conclusione, il fattore (1 + Aβ) che il feedback applica ai segnali in input non ha effetto sul noise.
6.3 Modello del noise di amplificatore per input differenziali
Gli amplificatori per la maggior parte di casi sono in configurazione differenziale o
invertente o non invertente, con o senza feedback. Per ciascuna di queste configurazioni si possono definire dei modelli di noise.
Il modello di noise per l’amplificatore differenziale ricalca lo schema generale di noise di un amplificatore, En− In applicato ai due input differenziali come in figura. I noise equivalenti En e In sono ora agganciati al terminale di input invertente e non invertente. Queste 4 sorgenti di input si possono ridurre ancora ad una sola sorgente di input Eni , come nel caso generale.
Si consideri una tipica configurazione di amplificatore operazionale come nella figura seguente e nel circuito ridotto, se l’op amp e’ ideale, la tensione di output e’ una funzione delle due tensioni di input, Vp, Vn, riferite entrambe al ground .
La tensione di output e’ una funzione delle due tensioni di input:
Vo = ( R4
R3+ R4
)(R1+ R2
R1
)Vin2− (R2
R1
)Vin1 (39)
Si ha un amplificatore differenziale perfetto quando i coefficienti di Vin1 e Vin2 sono uguali e di segno opposti. Si ottiene questa condizione prendendo R1R4 = R2R3 o alternativamente R2/R1 = R4/R3. In queste condizioni l’espressione della tensione di output diventa
Vo= (R2/R1)(Vin2− Vin1).
Cosi’ il guadagno in tensione del modo differenziale del circuito ideale,in figura (a), e’
R2/R1. Per analizzare il comportamento del noise dell’amplificatore, si ridisegna il circuito equivalente di Thevenin all’input non invrtente come in (b), dove Rp] = R3||R4 e
Vin2′ = (R4Vin2)/(R3 + R4)
Aggiungendo le sorgenti di noise di tensione e corrente del op amp e quelle equivalenti di Thevenin per il noise delle sorgenti, si ha lo schema come nella seguente figura. Si puo’
cosi’ scrivere le equazioni per determinare l’effetto delle sorgenti di segnale e di noise sull’output dell’op amp. Questo modo e’ un po’ complicato per via che si deve lavorare in quadratura, trattandosi di rms.
center
La semplificazione, a livello di formulazione delle equazioni, si ottiene se si adotta il criterio di sostituire tutte le sorgenti di noise con sorgenti di segnale indipendenti e scorrelate, che hanno polarita’ arbitrarie e di considerare l’op amp ideale, ma con un guadagno a loop
aperto finito A. Si possono cosi’ scrivere quattro equazioni del circuito:
Vo = A(Vp− Vn) (40)
Vp = Vin2′ + RpI2+ Vtp+ V2 (41) Vn= Vin1− R1Iin+ Vt1+ V1 (42) Vin1− R1Iin+ Vt1= Vo+ Vt2+ R2(Iin+ I1) (43) Avendo sostituito tutte le sorgenti di noise con sorgenti di segnale, dall’ultima relazione si ricava Iin, poi combinando e semplificando queste equazioni si ottiene:
Vo(1
A+ R1
R1+ R2) = Vin2′ −Vin1+ V2−V1+ Vtp−Vt1+ RpI2+ ( R1
R1+ R2)(Vin1+ Vt1−Vt2−I1R2) (44) Per il caso di un amplificatore operazionale ideale, si prende A− > ∞ e riaggiustando si ottiene: I coefficienti di ciascun termine rappresentano il guadagno di sistema Kt, o guadagno di trasferimento o guadagno di transresistenza, rispetto all’output dove e’ preso Vo.
Nel procedimento seguito si erano sostituiti i termini rms in segnali di tensione in modo da evitare di lavorare in quadratura, ma ora si puo’ ristabilire la corretta nomenclatura e quindi la espressione diventa ’
Eno2 = (1 + R2
R1)2(En22 + En12 + Etp2 + In12 R2p) − (R2
R1
)2(E12) + Et22 + In12 R22 (46) Questa equazione mostra come ciascuna sorgente di noise contribuisca al noise totale di output quadratico. Specificatamente entrambe le tensioni equivalenti di noise di input e il noise da Rp sono riportati sull’output dal guadagno di tensione non invertente quadratico (1 + R2/R1)2. La corrente di noise di input positivo passa attraverso Rp stabilendo una tensione di noise che a sua volta e’ riflessa all’output dal medesimo guadagno quadratico (1 + R2/R1)2. Il noise da R1 e’ riflesso all’output col guadagno invertente quadratico (R2/R1)2. La corrente di noise di input negativa passa attraverso la resistenza di feedback R2 portando il noise direttamente all’output, come pure il noise della R2.
Per determinare il noise equivalente di input bisogna decidere quale terminale e’ quello di riferimento. Questo e’ importante perche’, da come si vede dalle equazioni precedenti, il fattore guadagno di sistema Kt e’ diverso per il terminale invertente e per il terminale non invertente, a meno di non essere nelle condizioni di un amplificatore differenziale ideale, per cui il guadagno su entrambi i terminali e’ ±R2/R1.
Per prima cosa si riporta Eno2 sull’input invertente dividendo la eq. (44) per (R2/R1)2 e si ottiene
Eni12 = (1 + R1
R2)2(En22 + En12 + Etp2) + R21It22 + Et12 + In12 R21+ In22 Rp2(1 + R1
R2)2 (47) dove R21It22 = R21(Et22/R22).
Notare come le due tensioni di noise dell’amplificatore oltre a Etp2 siano tutte aumentate all’input del fattore (1 + RR21)2. Usualmente in una normale applicazione di un amplificatore ad alto guadagno R1 ≪ R2, cosicche’ le prime tre sorgenti di tensione di noise
contribuiscono direttamnente ad Eni1 come del resto fa Et1. La corrente di noise della resistenza di feedback e’ moltiplicata da R21. In effetti il generatore di noise di corrente R2 e’ in parallelo con l’input. La corrente di noise In1 passa atttraverso R1 fornendo un contributo diretto a Eni12 . La corrente di noise di In2 passa attraverso Rp per produrre una tensione di noise e questi si riflette all’input invertente con lo stesso fattore (1 + RR21)2 dei primi tre termini.
Nel caso non-invertente bisogna dividere la (45) per il fattore (1 +R2R1)2 e si ottiene Eni22 = (En22 + En12 + Etp2) + ( R1
R1 + R2)2(Et22 + ( R1
R1+ R2)2(Et12) + In12 (R1||R2) + In22 Rp2 (48) Di qui si vede come le due tensioni di noise dell’amplificatore e il noise della resistenza Rp
contribuiscono direttamente alla formazione del noise equivalente di input, La tensione di noise della resistenza di feedback e’ ridotta dal fattore quadratico di guadagno del
feedback. Il noise in R1 e’ un po; diminuito, ma e’ praticamente non cambiatro quando R1 ≪ R2. La corrente di noise invertente fluisce attraverso la combinazione parallela di R1
e R2 e contribuisce direttamnet a Eni2 , come pure la corrente di noise nonivertente attraverso Rp contribuisce direttamente alla tensione quadratica di noise di input, Eni2 . Si consideri ora il caso speciale in cui si riesce a mettere insieme un amplificatore differenziale ideale scegliendo opportunamente le resistenze come R1R4 = R2R3. Con queste condizioni allora , Kt1= −R2/R1, kt2 = R2/R1 e Kt12 = Kt22 = Kt2 ed in piu’
Eni12 = Eni22 = Eni2 = Eno2 /Kt2. Ne risulta che l’espressione del noise equivalente di input per un amplificatore operazionale differenziale ha una unica formulazione, identica al caso invertente (45): Come regola generale neegli op amp e’ usato un primo stadio differenziale bilanciato con dei transistor simili e correnti di bias uguali, per cui ci si aspetta che in queste condizioni En1 = En2. Dai fogli di descrizione si ricava En lo si divide per √
2 e si ricavano i valori da inserire nel modello di circuito per studiare il noise secondo la schema precedente.
6.4 Feedback negativo invertente
La configurazione dell’amplificatore con feedback resistivo invertente e’ una delle configurazioni piu’ comuni.
Lo schema per questa configurazione lo si ottiene da quello generale precedente, mettendo a terra Vin2′ e rimpazzando la resistenza R1 con la resistenza di segnale Rs. La tensione di offset di input, dovuta alla corrente di bias, sara’ cancellata rendendo Rp una singola resistenza uguale al parallelo tra Rs e R2.
Aggiustando la (46) come detto si ottiene:
Eni12 = (1 + Rs
R2)2(En12 + En22 + Etp2 + In22 R2p) + (R1
R2)2(Et22) + Ets2 + In12 R2s (50)
Che si riscrive come
Eni12 = Ets2 + R2s(In12 + It22 + (1 + Rs
R2)2(En12 + En22 + Etp2 + In22 R2p) (51) essendo It2 = Et2/R2. Il data sheet dell’amplificatore fornira’ normalmente i valori di En e In, che sono legati allo schema del precedente amplificatore secondo
En=p(En12 + En22 )
Cosi’ si vede come il valore, unico, di tensione di noise, En, specificato sui fogli di
descrizione, e’ proprio la somma degli rms delle due tensioni di noise di input per ciascun terminale di input. Un riarrangiamento della (46) con una semplificazione porta a
Eni2 = Eni12 = Ets2 + In2R2s+ R2sIn12 + It22 + (1 + Rs
R2)2(En2 + Etp2 + In22 R2p) + Iit22 Rs2 (52) Si definisce una nuova tensione di noise equivalente dell’amplificatore Ena2 come
Ena2 = (1 + RR2s)2(En2+ Etp2 + In22 R2p) + Iit22 R2s
Si puo’ riscrivere il noise equivalente di input come :
Eni2 = Ets2 + Ena2 + In2R2s
In questo modo l’amplificatore invertente a loop chiuso puo’ essere equivalentemente
rappresentato da questo circuito semplificato open loop. Notare che tutto il noise dovuto ai resistori di feedback R2 e di aggiustamento di offset Rp come il noise dell’amplificatore sono contenuti nella sorgente equivalente di noise En.
Da un punto di vista pratico bisogna fare attenzione ai fogli accompagnatori; nel caso di un low gain amplifier in cui sia necessario applicare un guadagno di loop chiuso di piu’ di 30, sono possibili altre semplificazioni perche’ in quelle condizioni si ha R2 ≫ Rs ≫ Rp e questo permette una ulteriore semplificazione
Eni2 = Ets2 + En2 + (In2+ It22)R2s
Questo dimostra che la corrente di noise termico del resistore di feedback R2 e’
effettivamente in parallelo con l’input. Per ridurre il suo contributo al noise, R2 deve essere grande.
6.5 Feedback negativo noninvertente
La configurazione con feedback di op amp noninvertente si ottiene dallo schema generale di op amp differenziale mettendo a terra Vin1 ed applicando il segnale di input direttamente alla sorgente Vin2′ . La resistenza Rp diventa la resistenza di sorgente, Rs, per la sorgente Vin2′ indicata ora semplicemente come Vin.
Si vuole semplificare e ridurre il circuito di analisi di feedback noninvertente ad una rete equivalente open loop. Usando la (45) come punto di partenza il noise quadratico di output della figura si scrive come
Eno2 = (1 + R2
R1)2(En12 + En22 + Ets2 + In22 R2s) + (R2 R1
)2(Et12) + Et22 − In12 R22 (53) Usando la relazione En=p(En12 + En22 ), Eno2 si semplifica
Eno2 = (1 + R2
R1)2(En2+ Ets2 + In22 R2s) + (R2
R1
)2(Et12) + Et22 − In12 R22 (54) Dividendo ora il noise di output Eno2 per il fattore di guadagno quadratico noninvertende (1 + R2/R1) si ricava il noise equivalente di input:
Eni2 = Ets2 + En2 + ( R1
R1+ R2
)2Et22 + ( R1
R1+ R2
)2Et12 + In12 (R1||R2)2+ In22 R2s (55) E usando le normali condizioni con In = In1 = In2 si puo’ riscrivere la relazione precedente del noise di input equivalente di un amplificatore noninvertente come una nuova definizione di noise equivalente Enb2
Enb2 = En2 + ( R1
R1 + R2)2Et22 + ( R1
R1+ R2)2Et12 + In12 (R1||R2)2 (56) Le due precedenti equazioni producono alla fine lo schema seguente dove il noise totale equivalente di input e’ descritto da Eni2 = Ets2 + Enb2 + In2R2s. Notare che tutto il noise, il noise dovuto ad entrambi resistori di feedback ed il noise dell’amplificatore, e’ contenuto nella sorgente di noise equivalente Enb2 .
Se inoltre il guadagno di circuito chiuso e’ maggiore di 30, allora anche Enb, il noise del resitore R2 di feedback diventa trascurabile. In questo caso Enb contiene la parte
dell’amplificatore En, il noise termico di R1 e la corrente di noise In che fluisce attraverso R1. Cosi’ bisogna ricordare che la resistenza R1 e’ essenzialmente in serie con la resistenza di sorgente sia come sorgente di noise termico all’input che come elemento di passaggio della corrente In.
6.6 Feedback positivo
Molti circuiti e sistemi hanno un feedback positivo, o introdotto deliberatamente come negli oscillatori o amplificatori o introdotto involontariamente con oscillazioni instabili in amplificatori ad alto guadagno e in molti altri casi. Il feedback positivo non cambia i principi base del noise indipendentemente da come il noise e’ incorporato nel circuito di analisi. I concetti e le tecniche per l’analisi del noise nei sistemi con feedback positivo sono le stesse di quelle mostrate nei casi precedenti per il feedback negativo. Richiede piu’
attenzione.