Il metodo usuale per misurare fenomeni fisici, anche debolissimi, e’ di usare un sensore o trasduttore che converta il segnale fisico in un segnale elettrico. L’importante e’ che il sensore sia tale da non modificare il segnale e che a sua volta non induca del segnale ( rumore ) non desiderato. Inoltre spesso il segnale risulta talmente debole da dover
richiedere di essere amplificato e quindi anche questo dispositivo deve essere scelto in modo da non sommergere il segnale con il suo noise. Tutti i sensori hanno generatori interni di rumore e sono caratterizzati dal loro proprio rapporto segnale/rumore, S/N. Nel seguito si vuole introdurre i metodi di analisi dei sistemi sensori-amplificatori.
8.1 Modellazione del noise
Per sviluppare un modello di noise di un sensore si parte dal suo diagramma circuitale, poi si disegna il circuito equivalente ac che includa tutte le impedenze e i generatori. A
ciascuna resistenza e generatore di corrente si aggiungono i generatori di noise propri; in questo modo si arriva ad un circuito equivalente di noise. Le resistenze hanno noise termico e possibilmente excess noise, i generatori di corrente possono avere shot noise, 1/f o excess noise. Dal circuito equivalente si ricava l’espressione per il guadagno di sistema e per il noise equivalente di input, che sara’ confrontabile con il segnale.
E’ vantaggioso, tuttavia, studiare tutto il sistema elettronico sensore-amplificatore, che comprende ovviamente un circuito di accoppiamento al generatore di segnale. Una volta individuati questi tre componenti sara’ facile ottenere un noise equivalente del sistema.
Si possono individuare tre passi per ricavare il noise equivalente di input per il sistema:
1. Determinare il noise totale di output.
2. Calcolare il guadagno di sistema.
3. Calcolare il noise equivalente di input dividendo il noise eq. di output per il guadagno di sistema.
Poiche’ ogni dispositivo e’ caratterizzato per quanto riguarda il rumore dalle sue
componenti resistive e generatrici di corrente, si puo’ ricavare un modello di noise ed una espressione per il noise equivalente di input. Nel seguito si accennera’ soltanto ad alcuni tipi di sensori, invitando lo studente curioso ad approfondire l’argomento in seguito. Qui si introduce un metodo per l’analisi di un sistema generale sensore-amplificatore e per
determinarne il rapporto S/N.
8.2 Un modello generale di noise
Un sistema sensore-amplificatore puo’ essere diagrammato mettendo in evidenza la rappresentazione En− In delle sue tre parti principali: segnale+sensore, rete di
accoppiamento e rete di amplificazione, come nella fig. (a). Il sensore e’ descritto dalla tensione del segnale,Vs, dalla sua impedenza interna, Zs, e dal generatore di noise En che rappresenta tutte le sorgenti di noise del sensore. Per rendere generale il sistema, la rete di accoppiamento e’ rappresentata dalla impedenza ZC e da una sorgente di noise EC in combinazione shunt col sensore. L’obiettivo e’ di combinare assieme il tutto e riflettere tutte le sorgenti di noise all’input, come mostrato in fig. (b) e (c).
Una forma generale per la tensione equivalente di noise di input e’ :
Eni2 = A2Es2+ B2En2+ C2In2Zs2+ D2EC2 (80) Alternativamente si puo’ definire la corrente di noise equivalente di input, con
Ins2 = Es2/R2s, come:
Ini2 = J2Ins2 + K2En2
Zs2 + L2In2+ M2EC2
ZC2 (81)
Per calcolare questi noise equivalenti bisogna determinare i coefficenti A2,B2, ...
Le espressioni, (78) e (79), del noise equivalente di input, Eni e Ini, si possono usare indistintamente l’uno o l’altro.La scelta dipende dal tipo di sensore che viene usato. Se la sorgente di segnale e’ un generatore di corrente, e’ piu’ adatta la espressione della corrente di noise equivalente di input, (79). Se il segnale e’ un generatore di tensione allora la forma della tensione di noise equivalente e’ in generale la piu’ adatta.
Per quanto riguarda i coefficenti A, B, .. questi dipendono da diversi fattori. Generalmente il termine A e’ unitario poiche’ esso e’ in serie con la sorgente di segnale, il termine B tiene conto della impedenza di shunt nella rete di accoppiamento, il termine C e’ determinato dalla impedenza in serie tra sensore e rete di accoppiamento.
Il metodo di calcolo di En e In e’ il medesimo per ogni sensore: partendo da un diagramma equivalente di noise, si calcola il noise equivalente totale di output Eno mediante la legge di Kirchhoff, o simulazione e dividendo questo per il guadagno di sistema, Kt, si calcola la Eni. Da ricordare che il Kt puo’ essere un guadagno riferito alla tensione o corrente, secondo come lo si usa, e che ne’ Eni ne’ Ini dipendono dalla impedenza di input o guadagno dell’amplificatore, mentre ne dipende Eno.
8.3 Effetto della resistenza parallela di carico
Lo schema piu’ semplice di sensore e’ rappresentato da una resistenza in serie con un generatore di tensione come si vede nella figura seguente.
Nello schema e’ anche mostrata una rete di shunt consistente di una resistenza Rp e di un generatore di noise Ep. Questa rete aggiuntiva praticamente spesso si identifica con la rete di alimentazione di tensione del sensore. Per esempio un sensore potrebbe essere un sensore di spostamento fatto da un potenziometro di precisione, il cui indice e’ misura lo
spostamento. Questo sensore naturalmente ha bisogno di avere una tensione di bias , per misurare la variazione di posizione, e quindi il segnale Vs, di qui il rumore aggiuntivo; senza il bias anche Vs sarebbe zero.
Il segnale Vs ed il noise Es del sensore sono in serie con la resistenza della sorgente. Il rapporto di potenza signal-to-noise di input e’ semplicemente il rapporto di Vs2 con Es2. Quando una resistenza di carico come la Rp o di altri elementi della rete vegono aggiunti si degrada il rapporto signal-to-noise di output.
Per calcolare l’effetto della resistenza di shunt sul noise equivalente di input o sul rapporto R/N si procede in due passi.
Per prima cosa si calcola direttamente il noise di output e il segnale di output, poi si ricava il noise equivalente di input dividendo il noise eq. di output per il guadagno di sistema.
Nel caso di Rp ≫ Rs si ha :
S
N = Vso2
Eno2 = Vs2
Es2 (82)
Esempio: Determinare il rapporto di output S/N quando Rp = Rs.
Quando Rp non e’ infinita essa deve essere inclusa nel calcolo; poiche’ Rp = Rs, allora anche Es = Ep per cui
Dalla relazione precedente si puo’ concludere che una resistenza in shunt diminuisce il segnale piu’ del noise ed il risultato e’ che il rapporto S/N ne risulta diminuito.
Dall’esempio si vede che per una resistenza Rp che e’ uguale a quella della sorgente Rs il rapporto S/N e’ ridotto del 50% (3dB) rispetto al valore senza resistenza di carico.
Lo schema seguente presenta un modello di circuito per un’analisi piu’ completa. Ancora e’
presente una resistenza in shunt che genera rumore, che e’ rappresentato come un generatore di rumore di corrente, Inp=p(4kT/Rp); sono aggiunti anche i generatori dell’amplificatore En e In. Per calcolare l’effetto delle sorgenti di noise si deve calcolare quindi il noise equivalente di input.
Si procede nel seguente modo:
1. Si calcola il noise equivalente di output Eno dal circuito equivalente:
Eno2 = Es2( Rp Rp+ Rs
)2+ En2 + (In2+ Inp2 )( RpRs Rp+ Rs
)2 (85)
2. Si calcola il guadagno di sistema Kt, la funzione di trasferimento da sensore all’output, Kt= Rp
Rs+ Rp
(86) 3. Si divide la Eno per il guadagno di sistema e si ottienel aEni:
Eni2 = Eno2
Kt2 = Es2+ (Rs+ Rp Rp
)2En2+ (In2+ Inp2 )Rs2 (87) Rispetto alla espressione generale per la Eni introdotta precedentemente ci sono due
differenze, nel coefficente del termine En e nel termine aggiuntivo alla In, che richiedono una spiegazione. Il termine En, come previsto dalla (78) ha un coefficente che dipende dalla resistenza di shunt, se la resistenza Rp fosse molto grande, Rp ≫ Rs ,il coefficente tenderebbe all’unita’ e quindi sarebbe ristabilita la espressione generale; per il termine aggiuntivo alla In, cioe’ il termine in piu’ Inp questo e’ un termine determinato dal noise termico della resistenza du shunt Rp. Da ricordare che l’impedenza di input
dell’amplificatore non contribuisce al noise.
In pratica la resistenza di shunt deve essere la piu’ grande possibile per ridurre il suo contributo di noise. Il noise termico di questo componente puo’ essere ridotto riducendone la temperatura. A volte, per certe applicazioni, si puo’ sostituire la Rp con una induttanza, che non ha noise termico.
8.4 Effetto della capacita’ di shunt
Sebbene una capacita’ e’ praticamente noise free, cioe’ non genera rumore, essa puo’
accrescere il noise equivalente di input. Una capacita’ in shunt non tocca il rapporto S/N del sensore poiche’ essa diminuisce ugualmente il noise ed il segnale del sensore, invece ha influenza sul noise dell’amplificatore che segue.
Si consideri il circuito equivalente di noise che include la capacita’ in shunt mode. Si procede nel modo adottato precedentemente: si calcola Eno, si calcola il guadagno di sistema, Kt e poi si determina Eni
1. Dal circuito equivalente si ricava che Eno vale:
Eno2 = Es2( 1
1 + ω2R2sCp2) + En2 + In2( R2s
1 + ω2R2sCp2) (88)
2. Il guadagno di sistema Kt dal sensore all’output vale:
Kt2 = 1
1 + ω2Rs2Cp2 (89)
3. Dividendo Eno2 per Kt2 si ottiene Eni2 :
Eni2 = Es2+ (1 + ω2R2sCp2)En2 + In2R2s (90) La capacita’ in shunt non aggiunge noise di per se’ ma la En e’ aumentata di un
fattore dipendente da Cp, quindi solo la tensione effettiva di noise dell’amplificatore e’
aumentata per il fatto che c’e’ la capacita’ in shunt; la capacita’ pero’ non e’ una sorgente di rumore.
N.B. Da ricordare che la capacita’ Cp non e’ la capacita’ di input dell’amplificatore in quanto questa e’ tenuta in conto nella definizione dei valori di En,In e Kt.
8.5 Rumore di un circuito risonante
Un altro modello di sistema interessante di sensore-amplificatore e’ quello in cui il sensore e’ di tipo induttore risonante.
Il circuito equivalente di noise di un sensore risonante e’ il seguente in cui e’ inserito
l’elemento risonante. La espressione per il noise equivalente di input si ricava seguendo pari pari le procedura descritta precedentemente.
L’espressione vale:
Eni2 = Es2+ |1 + Rs(1 − ω2CsLp)
jωLp |2En2 + R2sIn2 (91) Entrambi i termini En e In sono influenzati dall’impedenza del sensore. Il coefficente di In e’ uguale a Rs per tutte le frequenze, ma il coefficente di En e’ aumentato di un termine che e’ la reattanza LC, eccetto alla risonanza quando (1 − ω2CsLp) = 0 e cosi’ il coefficente di En e’ di nuovo uno. In questo caso i contributi complessi a Zp si cancellano l’un l’altro per cui rimane solo Rs. Alla risonanza la (12) diventa soltanto:
Eni2 = Es2+ En2+ Rs2In2 (92) Gli elementi reattivi non entrano nella espressione del noise quando si lavora alla risonanza.
8.6 SOMMARIO
a. In un sistema elettronico gli elementi che contribuiscono maggiormente al noise sono: il sensore,l’amplificatore e la rete di accoppiamento.
b. Ciascun contributore puo’ essere sistituito dal suo circuito equivalente di noise per l’analisi del noise.
c. Per determinare il noise equivalente di input di un sistema bisogna dividere il noise equivalente di output per il guadagno di sistema.
d. Il noise totale in un qualsiasi nodo del sistema si puo’ calcolare come somma dei valori quadratici mei dei contributi di tutte le sorgenti a quel nodo, ciascuna sorgente essendo indipendente dalle altre.
e. Eni, nella sua formulazione piu’ semplice risulta dipendente da tre sorgenti di noise: il noise termico della resistenza del sensore Ets e dai parametri dell’amplificatore, En e In. f. In generale, la rete di accoppiamento tra il sensore e l’amplificatore, aumenta il noise En
e In; le componenti in shunt aumentano il contributo a En mentre quelle in serie aumentano il contributo a In.
g. Sebbene una capacita’ in shunt sia senza noise, essa aumentera’ il contributo di noise En ad alte frequenze.
h. Quando un sensore ha una impedenza reattiva, si puo’ utilizzare la condizione di risonanza per ridurre il noise.