Nello studio qualitativo delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali pu`o tornare spesso utile la conoscenza di qualche “costante del moto” ovvero di qualche quantit`a conservata lungo le soluzioni del sistema stesso. Nel seguito di questo capitolo ci restringeremo ai sistemi autonomi del tipo
(7.1) y0 = g(y)
dove g : A⊆ Rn→ Rn `e continua, A aperto.
Definizione 7.1 Un integrale primo dell’equazione (7.1) `e una funzione E : A→ R costante lungo tutte le soluzioni, cio`e tale che per ogni soluzione y : I → Rn di (7.1) si abbia E(y(t)) = costante per ogni t∈ I.
Definizione 7.2 Un sistema (7.1) si dice sistema conservativo se ammette almeno un integrale primo.
Normalmente nella definizione di integrale primo si richiede in pi`u che E non sia localmente costante cio`e non sia costante su alcun aperto contenuto in A. Questa ulteriore condizione serve per evitare casi banali: per esempio, ogni funzione costante E `e un integrale primo (di una qualsiasi equazione) ma `e chiaro che non d`a alcuna informazione sul comportamento delle soluzioni! Un facile criterio per verificare che E sia un integrale primo `e dato dal seguente lemma.
INTEGRALI PRIMI E SISTEMI CONSERVATIVI 121 Lemma 7.3 Se E∈ C1(A) soddisfa
h∇E(y), g(y)i = 0 per ogni y∈ A, allora E `e integrale primo per (7.1).
Dimostrazione Data y : I → Rnsoluzione di (7.1) si ha d
dtE(y(t)) = DE(y(t))y
0(t) =∇E(y(t)), y0(t) = ∇E(y(t)), g(y(t)) = 0
per ogni t∈ I dunque E(y(t)) `e costante in I.
Se E `e integrale primo di (7.1) e y : I → Rn `e soluzione del problema
di Cauchy associato con y(0) = y0 si ha dunque E(y(t)) = E(y0) per ogni
t∈ I ovvero, in altri termini, y(t) ∈ E−1 E(y0) cio`e y(t) ∈ Ec dove
Ec:=y ∈ Rn: E(y) = c = E−1({c}),
`e l’insieme di livello c = E(y0) della funzione E. Lo studio degli insiemi
di livello di un integrale primo pu`o fornire molte informazioni riguardo alle soluzioni del sistema in considerazione. Per esempio vale il seguente
Corollario 7.4 Se E `e un integrale primo di (7.1) e gli insiemi di livel- lo di E sono compatti, allora tutte le soluzioni (massimali) di (7.1) sono globalmente definite in passato e futuro.
Dimostrazione Basta utilizzare la precedente osservazione e il Teore-
ma 4.1.
Chiaramente pu`o accadere che alcuni insiemi di livello siano compatti ed altri no; in questo caso il corollario si applica a tutte le soluzioni che sono contenute negli insiemi di livello che sono compatti.
Che struttura hanno gli insiemi di livello di E? In generale si pu`o dimo- strare che se f : A⊆ Rn→ Rn−p con p > 0 `e di classe C1 e per ogni x∈ A
il differenziale Df (x) ha rango massimo (= n− p) allora per ogni c ∈ Rn−p
l’insieme fc={x ∈ A : f(x) = c}, se non vuoto, `e una variet`a differenziale
di classe C1 e dimensione p. In particolare
• se p = n − 1 si hanno le ipersuperfici; • se p = 2 si hanno le superfici;
Pi`u in generale, posto N ={x ∈ A : Df(x) non ha rango massimo} si pu`o dimostrare che per ogni c ∈ Rn−p l’insieme fc\ N, se non vuoto, `e una
variet`a differenziale di classe C1 e dimensione p.
Nel caso in considerazione, per quasi ogni valore di c ∈ R l’insieme di livello Ec rappresenta quindi una ipersuperficie in Rn. Si osservi che in
questo caso la condizione sul rango equivale a dire che il gradiente di E non si annulla mai. Eventualmente l’analisi precedente si pu`o applicare a un singolo insieme di livello; infatti, se per qualche c il gradiente di E non si annulla in Ec ed esiste un intorno aperto U di Ec su cui il gradiente non
si annulla (ci`o accade se per esempio Ec `e compatto), allora applicando il
risultato sopra all’aperto U si ha che Ec`e una variet`a di dimensione p = n−1.
Potrebbe per`o accadere che per altri valori di c ci`o non sia verificato. Pu`o inoltre succedere che un sistema di equazioni differenziali abbia pi`u di un integrale primo; in questo caso l’orbita di ogni soluzione del sistema sar`a contenuta nell’intersezione degli insiemi di livello relativi a ciascun in- tegrale primo. Per esempio, se il sistema (7.1) ammette due integrali primi E1 ed E2, per ogni soluzione y : I → Rn del sistema tale che y(0) = y
0 si avr`a y(t) ∈ E1 c1 ∩ E 2 c2 dove ci = E i(y
0), i = 1, 2. Si osservi che, introdotta
la funzione E : A→ R2 definita da E(y) = (E1(y), E2(y)), si ha y(t)∈ Ec
dove c = (c1, c2). Per quanto visto, se il differenziale di E ha rango massimo
(= 2) l’insieme Ecrappresenta una variet`a differenziale di dimensione n− 2.
Si osservi che il rango di DE `e massimo se ∇E1 e ∇E2 non sono paralleli
e, visto che∇Ei `e un vettore normale all’ipersuperficie Ei
c, ci`o significa che
le due ipersuperfici Ec1, Ec2 si intersecano trasversalmente. Questa osserva- zione si estende a un numero arbitrario di integrali primi; in generale, dato un sistema inRn, se si conoscono m integrali primi indipendenti (nel senso
che i loro gradienti sono linearmente indipendenti, dunque m≤ n e in realt`a m≤ n − 1) allora l’intersezione degli insiemi di livello, a cui appartengono le orbite delle soluzioni, `e una variet`a di dimensione n− m. In particolare, se si conoscono n− 1 integrali primi indipendenti le intersezioni dei relativi insiemi di livello rappresenteranno delle variet`a di dimensione n−(n−1) = 1 cio`e curve, che dunque conterranno il supporto delle orbite delle soluzioni. Per sistemi planari baster`a quindi conoscere un integrale primo, per sistemi inR3 si dovranno invece trovare (se esistono!) due integrali.
Esempio 7.5 Dato il sistema in R3 x0 = yz y0=−xz z0 =−k2xy,
INTEGRALI PRIMI E SISTEMI CONSERVATIVI 123 dove k > 0 `e una costante, verifichiamo che le funzioni E1(x, y, z) = x2+y2e E2(x, y, z) = k2x2+ z2sono integrali primi. Il campo vettoriale g ∈ C∞(R3) `e dato da g(x, y, z) = (yz,−xz, −k2xy), quindi il sistema ha esistenza e
unicit`a locale per i problemi di Cauchy associati. Non valgono invece le ipotesi dei vari teoremi di esistenza globale. Si ha facilmente
∇E1(x, y, z) = (2x, 2y, 0), ∇E2(x, y, z) = (2k2x, 0, 2z),
da cui h∇E1(x, y, z), g(x, y, z)i = 0 e h∇E2(x, y, z), g(x, y, z)i = 0, dun-
que E1, E2 sono integrali primi. Fissato un dato iniziale (x0, y0, z0), det-
ta (x(t), y(t), z(t)) la soluzione del relativo problema di Cauchy, e posto c1 = E1(x0, y0, z0) = x20 + y02, c2 = E2(x0, y0, z0) = k2x20 + z02 si ha
(x(t), y(t), z(t)) ∈ Ec11 ∩ Ec22. Gli insiemi di livello di E1 sono dei cilindri di sezione circolare e asse coincidente con l’asse z, mentre quelli di E2 sono
sempre cilindri di sezione ellittica e asse coincidente con l’asse y. Si osservi che gli uni e gli altri sono insiemi illimitati ma la loro intersezione `e invece un insieme compatto. Volendo essere pi`u precisi, per ogni t si ha
|x(t)|, |y(t)| ≤px2(t) + y2(t) =qx2 0+ y02,
|z(t)| ≤pk2x2(t) + z2(t) =qk2x2 0+ z02,
perci`o la generica soluzione, avendo le coordinate limitate, `e contenuta in un compatto quindi, per il Teorema 4.1, `e globalmente definita in futuro e passato cio`e inR. L’analisi del sistema proseguir`a nell’Appendice finale.
Sistemi di ordine 2 conservativi: il caso dell’energia
Tra i “sistemi” conservativi si annoverano i sistemi omogenei di ordine 2
(7.2) y00= g(y)
dove g : A ⊆ Rn → Rn `e un campo vettoriale conservativo cio`e tale che
esiste V ∈ C1(A) con g(y) = −∇V (y) per ogni y ∈ A (il segno “−” `e
convenzionale). In definitiva si tratta di sistemi della forma
(7.3) y00=−∇V (y).
Verifichiamo che (7.3) o, meglio, il corrispondente sistema di ordine 1 equi- valente
(7.4)
( y0 = p
`e un sistema conservativo, con integrale primo dato dall’energia
(7.5) E(y, p) = kpk
2
2 + V (y).
Infatti, il campo vettoriale F : A× Rn → Rn× Rn del sistema (7.4) `e dato
da F (y, p) = (p,−∇V (y)), mentre il gradiente di E `e dato da
∇E(y, p) = (∂y1E(y, p), . . . , ∂ynE(y, p), ∂p1E(y, p), . . . , ∂pnE(y, p))
= (∂y1V (y), . . . , ∂ynV (y), p1, . . . , pn) = (∇V (y), p),
perci`o banalmente h∇E(y, p), F (y, p)i = 0 per ogni (y, p) ∈ A × Rn. Si
osservi inoltre che ∇E(y, p) = 0 se e solo se ∇V (y) = 0 e p = 0; l’insieme dei punti critici di E `e dunque contenuto nel sottospazio lineare di equazione p = 0 e dimensione n. In particolare E non `e costante su nessun aperto di A× Rn. Essendo integrale primo, E `e costante lungo le soluzioni (y(t), p(t))
di (7.4); in termini dell’equazione (7.3) si ha allora che E(y(t), y0(t)) = ky
0(t)k2
2 + V (y(t))
`e costante lungo le soluzioni di (7.3). La funzione L(t) = ky0(t)2 k2 si dice energia cinetica mentre P (t) = V (y(t)) si dice energia potenziale di y(t). Si avr`a quindi (y(t), y0(t))∈ Ec dove c = E(y0, y00).
Osservazione 7.6 Se n = 1, l’equazione del secondo ordine omogenea y00 = g(y), g continua, `e sempre conservativa; basta infatti prendere V (y) = −Ry
g(s) ds, perci`o la sua energia `e data da E(y, y0) = (y
0)2
2 −
Z y
g(s) ds.
Osservazione 7.7 L’analisi degli insiemi di livello dell’energia permette di avere informazioni sulle soluzioni o, meglio, sulle orbite delle soluzioni del sistema (7.4) nel relativo piano delle fasi A × Rn. Per esempio, si pu`o
dimostrare che se V :Rn→ R e limkyk→∞V (y) = +∞ (ovvero V `e funzione
“coercitiva”) allora c’`e esistenza globale delle soluzioni di y00 = −∇V (y); infatti, gli insiemi di livello dell’energia, se non vuoti, sono compatti. Fissato c∈ R l’insieme di livello Ec`e formato dai punti (y, p) soluzioni dell’equazione
kpk2
2 + V (y) = c. Per ipotesi segue che V ha un minimo globale Vmin su
tutto Rn (verificarlo per esercizio). Per ogni soluzione (y, p) si ha dunque
kpk2