E immediato rendersi conto che il serbatoio fornisce, tramite un’isoterma reversibile a temperatura
T , un calore Q, quindi la sua variazione di entropia `e ∆SSERB =−Q
T =−nR logVB
VA
=−nR log 2 (6.50) La variazione totale dell’entropia `e nulla, come ci si deve attendere da un sistema isolato che compie una trasformazione reversibile.1
6.4 Interpretazione microscopica dell’entropia.
In molta letteratura divulgativa si usa mettere in relazione l’entropia con il disordine dello stato di un sistema. Senza avere la pretesa si essere esaustivi su questo punto complesso, in quanto una trattazione completa dell’argomento richiede nozioni di Termodinamica Statistica che esulano dagli scopi di questo corso, credo che sia utile dare almeno qualche cenno che consenta il formarsi di un’idea, almeno vaga, di che cosa significhi disordine e perch´e sia in relazione con l’entropia.
Per fissare le idee ci si riferisce al caso del gas perfetto gi`a studiato in dettaglio. Si `e visto che lo stato di equilibrio di un gas perfetto pu`o essere descritto da alcune grandezze macroscopiche quali pressione, volume e temperatura, che rendono conto del comportamento medio delle molecole del gas. Si dice allora che il gas si trova in uno stato macroscopico descritto da certi valori di V , p e T .
Evidentemente tale stato macroscopico pu`o essere realizzato da diverse configurazioni microscopiche cio`e esiste una grande variet`a (un numero decisamente enorme) di posizioni e velocit`a diverse che ciascuna
6.4. INTERPRETAZIONE MICROSCOPICA DELL’ENTROPIA. 65
molecola pu`o assumere producendo lo stesso stato macroscopico. Uno stato macroscopico pu`o cio`e essere realizzato mediante molti stati microscopici.
Si definisce disordine di uno stato macroscopico mediante il numero degli stati microscopici che lo real-izzano: uno stato macroscopico `e tanto pi´u disordinato quanto maggiore `e il numero di stati microscopici che lo realizzano.
Si consideri il seguente esempio. Si abbiano tre oggetti indicati dai numeri 1, 2, 3 e tre scatole. Si consideri lo stato in cui vi sia un oggetto in ogni scatola; `e chiaro che questo stato pu`o essere realizzato nei seguenti modi:
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 3 2 2 1 3 3 2 1
ci sono quindi sei modalit`a di realizzare lo stato richiesto.
Si consideri ora lo stato in cui si abbiano due oggetti nella prima scatola, uno nella seconda e nessuno nella terza. Questo stato pu`o essere nei seguenti modi:
1 2 3 2 3 1 3 1 2
cio`e vi sono tre modi di realizzare lo stesso stato.
Infine, si consideri lo stato in cui tutti gli oggetti stanno nella prima scatola. Chiaramente ci`o `e realizzato nell’unico modo
1 2 3
Si definisce, per quanto tale definizione sia impropria dal punto di vista matematico, probabilit`a di uno
stato macroscopico il numero di stati microscopici che lo realizzano. Ci`o sembra ragionevole e torna con l’intuizione: uno stato `e tanto pi´u probabile quanto maggiori sono le modalit`a con cui pu`o realizzarsi. Con riferimento all’esempio sopra riportato dei tre oggetti nelle tre scatole, il primo stato, che pu`o venir realizzato in sei modi diversi, `e il pi´u disordinato e quindi anche il pi´u probabile, mentre l’ultimo `e il pi´u ordinato ed il meno probabile.
Se A `e uno stato del sistema in esame si indica con il simbolo W(A) la sua probabilit`a secondo la
definizione data sopra. Boltzmann2nella seconda met`a dell’Ottocento ha dimostrato che l’entropia S(A) dello stato termodinamico A `e legata alla sua probabilit`a mediante la relazione
S(A) = kBlogW(A) , (6.51)
ove la costante kB = 1.3806504(24)· 10−23J K−1 `e detta costante di Boltzmann. Il logaritmo che
compare nella precedente equazione `e un logaritmo naturale ed `e una funzione crescente del suo argo-mento, cio`e al crescere di x cresce anche log x, evidentemente all’aumento dell’entropia S corrisponde un aumento della probabilit`a W. Quindi, visto che l’evoluzione degli stati fisici avviene nel senso
del-l’aumento dell’entropia, `e chiaro che un sistema fisico evolve in modo da aumentare il proprio disordine, nel senso sopra definito, e non viceversa. Il processo di diffusione di una goccia di inchiostro blu in un bicchiere d’acqua `e una vivida manifestazione di questa legge.
Eccone un altro esempio. Un sasso appoggiato sul pavimento `e costituito da moltissime molecole che vibrano in ogni direzione in modo assolutamente disordinato. L’energia di vibrazione si manifesta macro-scopicamente come temperatura del sasso, che come `e noto, misura l’energia interna3. Le vibrazioni di
2Ludwig Boltzmann (1844-1906), fisico matematico austriaco.
3La relazione fra temperatura ed energia interna, nel caso del sasso, `e evidentemente pi´u complicata che nel caso del gas
ogni molecola avvengono in direzione casuale ed indipendente dalle direzioni di vibrazione delle altre molecole, quindi, mediamente, la vibrazione totale del sasso `e nulla e infatti il sasso non si muove. Se per`o le molecole in un certo istante vibrassero tutte nella stessa direzione, per esempio verso est, eviden-temente il sasso si sposterebbe verso est poich´e tutte le molecole da cui `e composto hanno una velocit`a diretta in quella direzione. Ora, lo stato macroscopico in cui tutti gli atomi si muovono in una stessa direzione `e evidentemente molto poco probabile, nel senso visto sopra, cio`e sono molto pochi gli stati microscopici che lo realizzano. Ecco perch´e non ci capita di vedere sassi che, spontaneamente, si spostano verso qualche direzione.
Questo esempio mostra quindi che la legge di aumento dell’entropia, e quindi del disordine ad essa col-legato dalla (6.51), `e vera solo in senso probabilistico. Ma la probabilit`a che avvenga un processo con diminuzione di disordine, e quindi di entropia, `e cos´ı bassa che, se calcolata, mostra che per il suo verifi-carsi occorre aspettare un tempo maggiore dell’et`a dell’universo; il che `e un altro modo di dire che non accade mai.
Osservazioni
1. Si osservi che se lo stato microscopico che realizza un dato stato macroscopico A `e uno solo, cio`e se
W(A) = 1, vale S(A) = kBlog 1 = 0. Questo si verifica, per esempio, in un gas perfetto quando la temperatura assoluta `e nulla, cio`e quando T = 0 K; in tal caso infatti l’energia cinetica media delle molecole `e nulla, cosa che pu`o avvenire solo se tutte le molecole del gas sono ferme e vi `e un solo microstato che realizza un tale stato, quindi per questo stato vale W(A) = 1. Resta cos´ı provato
che l’entropia di un gas perfetto alla temperatura T = 0 K `e nulla.
2. L’osservazione precedente pu`o essere generalizzata per ogni sistema fisico e prende il nome di terzo
principio della termodinamica, formulato per la prima volta da Nernst4 nel 1906:
L’entropia di un sistema fisico alla temperatura di zero kelvin `e nulla.
Da questo principio si pu`o giungere a dimostrare che non `e possibile raffreddare un sistema fisico fino alla temperatura di zero kelvin, cosicch´e spesso il terzo principio e enunciato in questa forma.
3. La costante di Boltzmann kB`e legata al numero di Avogadro e alla costante dei gas dalla seguente relazione:
kB= R
N0 , (6.52)
`
E quindi possibile riscrivere l’equazione (2.4), che esprime l’energia interna di un gas monoatomico, nella forma
U = 3
2nN0kBT ; (6.53)
ma nN0 `e uguale al numero totale N delle particelle costituenti il gas, quindi
U = 3
2N kBT , (6.54)
da cui si pu`o scrivere l’energia (cinetica) media di ciascuna particella del gas nella forma u = U/N con
u = 3
2kBT . (6.55)
Parte II
Oscillazioni e onde.
Moti periodici.
Esiste in natura un’importante classe di moti che hanno l’interessante propriet`a di ripetersi sempre uguali nel tempo. Bench´e questa sia, in realt`a, un’astrazione e un’approssimazione, `e noto che, per esempio, il moto della Luna attorno alla Terra o della Terra attorno al Sole sono moti che si ripetono sempre uguali nel tempo. O meglio, si ripetono uguali ogni volta che sia passato un certo tempo T . Si dicono periodici i moti che hanno questa caratteristica e periodo il tempo T .
Pi´u precisamente un punto si muove di un moto periodico di periodo T se la sua legge del moto verifica la condizione
x(t + T ) = x(t) (1.1) comunque si scelga l’istante t.
1.1 Moto armonico.
Fra tutti i moti periodici, riveste particolare importanza il moto armonico, definito come segue.
Si dice armonico un moto centrale in cui l’accelerazione sia un vettore proporzionale al vettore posizione, avente la stessa direzione e verso opposto.
a =−ω2x . (1.2)
La costante ω `e detta pulsazione del moto armonico ed ha le dimensioni del reciproco di un tempo: [ω] = s−1.
Per dedurre le propriet`a e la legge del moto del moto armonico conviene partire da un’analisi del moto circolare uniforme. Si consideri un punto materiale P in moto uniforme lungo una traiettoria circolare di raggio r con velocit`a angolare ω e periodo T = 2π/ω. La descrizione di questo moto pu`o essere effettuata mediante la relazione che, con riferimento alla figura 1.1, esprime l’angolo φ in funzione del tempo; se il moto `e uniforme la velocit`a angolare `e costante e vale
φ(t) = ωt + θ , (1.3)
ove θ `e l’angolo che descrive la posizione all’istante t = 0. In termini di φ `e possibile esprimere le coordinate x e y del punto P in funzione del tempo come segue
x(t) = r cos φ(t) = r cos(ωt + θ)
y(t) = r sen φ(t) = r sen(ωt + θ) . (1.4)
1.1. MOTO ARMONICO. 69 x y P Px ϕ
Figura 1.1: Moto circolare uniforme.
Queste due equazioni descrivono le leggi del moto delle proiezioni del punto P sugli assi. Si consideri ad esempio il punto Px trovato proiettando P sull’asse x e se ne determinino velocit`a ed accelerazione. La velocit`a di Px`e evidentemente la proiezione sull’asse x della velocit`a di P . Quest’ultima `e tangente alla traiettoria, il suo modulo vale vP= ωr, e la sua proiezione lungo l’asse x pu`o essere scritta nella forma
v(t) =−ωr sen φ(t) . (1.5) Similmente, l’accelerazione di Px `e la proiezione sull’asse x dell’accelerazione centripeta aP = ω2r del
punto P . Pu`o quindi esser scritta nella forma
a(t) = aPcos φ(t) =−ω2r cos φ(t) . (1.6) I segni meno nelle precedenti equazioni si capiscono osservando i versi di r, v ed a.
Quindi la componente x del moto circolare uniforme si muove di moto armonico con pulsazione uguale alla velocit`a angolare del moto circolare in questione. Evidentemente, il moto armonico cos´ı definito ha lo stesso periodo del moto circolare. Com’`e ben noto, se ω `e la velocit`a angolare, il periodo del moto circolare si pu`o scrivere nella forma T = 2π/ω; tale quindi `e il periodo del moto armonico ove, nel presente contesto, ω `e la pulsazione.
Tutto ci`o pu`o essere generalizzato per qualunque moto armonico. `E possibile riassumere quanto trovato come segue.
a) Il moto armonico di pulsazione ω `e un moto oscillatorio simmetrico attorno ad una posizione di equilibrio, detta centro del moto armonico in cui posizione, velocit`a ed accelerazione variano nel tempo secondo le seguenti equazioni
x(t) = A cos(ωt + θ) v(t) =−Aω sen(ωt + θ) a(t) =−Aω2cos(ωt + θ) .
(1.7)
b) Il moto armonico di pulsazione ω `e un moto periodico di periodo
T = 2π
x y P v P v Px ϕ ϕ a x y P a P a Px ϕ ϕ b
Figura 1.2: Proiezione del moto circolare. a: la velocit`a, b: l’accelerazione.
che rappresenta il tempo impiegato a compiere un’oscillazione completa.
Osservazioni
1. La costante A, detta ampiezza, `e la massima distanza cui il punto materiale in moto armonico si possa trovare dal centro delle sue oscillazioni armoniche.
2. Si osservi che la velocit`a di un moto armonico `e massima quando la sua accelerazione `e nulla e viceversa `e nulla quando l’accelerazione `e massima.
3. Ogni moto armonico `e sempre un moto periodico, in generale non `e affatto vero che un moto periodico sia anche armonico; ad esempio il moto circolare uniforme `e senz’altro periodico ma non armonico.
4. La costante θ che appare nelle equazioni (1.7), `e anche detta fase del moto armonico; viene espressa in radianti e d`a informazioni circa la posizione dell’oscillatore all’istante t = 0 s. Per esempio, porre
θ = π/2, nella prima delle (1.7), corrisponde ad un’oscillazione che all’istante t = 0 s si trova nel
centro con accelerazione nulla e velocit`a massima.
5. Il numero delle oscillazioni compiute nell’unit`a di tempo `e detta frequenza; viene indicata con la lettera greca ν. La frequenza `e legata al periodo del moto dalla relazione
ν = 1
T . (1.9)
L’unit`a di misura della frequenza `e l’hertz1(simbolo Hz), e le sue dimensioni sono quelle del reciproco di un tempo: [ν] = s−1. La relazione fra pulsazione e frequenza, com’`e facile dimostrare `e data da
ω = 2πν . (1.10)