L’effetto Doppler1`e tipico della fenomenologia delle onde che si manifesta quando la sorgente delle onde e l’osservatore sono in moto relativo. Si noti che il caso della sorgente in moto e dell’osservatore in moto non sono fisicamente equivalenti; il mezzo in cui le onde si propagano infatti gioca un ruolo essenziale esso infatti `e fermo in entrambi i casi; non si passa quindi da un caso all’altro con un semplice cambio di sistema di riferimento. Si considerano separatamente i due casi.
A. Si consideri la sorgente S in moto rispetto al mezzo e l’osservatore O sia fermo. Sia vS la velocit`a della sorgente e sia TS l’intervallo di tempo che separa due istanti successivi in cui la sorgente emette due onde successive, tale intervallo `e, evidentemente, il periodo delle onde emesse da S. Si supponga inoltre che la sorgente emetta la prima onda all’istante 0 e in quell’istante si trovi in S1 a distanza r1 dall’osservatore fermo. Se v `e la velocit`a di propagazione delle onde nel mezzo in questione, la prima onda viene ricevuta da O all’istante t1= r1/v. Dopo un tempo TSdalla prima emissione S emette una seconda onda dalla posizione S2 che si trova a distanza r2 da O; quindi questi riceve la seconda onda all’istante
t2= TS+ r2/v. Pertanto l’intervallo di tempo fra le due onde successive, cio`e il periodo, misurato da O `e
TO= t2− t1= TS−r1− r2
v , (2.36)
i due intervalli di tempo quindi non sono uguali, pertanto S ed O misurano periodi, e quindi frequenze e lunghezze d’onda, diverse. In particolare se v ha lo stesso segno di r1− r2, cio`e se S si sta avvicinando ad O, allora il periodo misurato da O `e minore di quello dell’onda emessa da S; viceversa, se S si allontana da O il periodo misurato da O `e maggiore di quello dell’onda emessa. Nel caso in cui sia
O
S2 S1
r1 r2
α
Figura 2.10: Effetto Doppler con sorgente in movimento.
r1 ≃ r2 ≫ S1S2 (il che significa che l’onda si muove molto pi´u velocemente della sorgente, cosa quasi sempre molto ragionevole; si veda oltre) si pu`o scrivere, con riferimento alla figura 2.10 (il lettore studioso spieghi perch´e) r1− r2 ≃ S1S2cos α; (si osservi che questa relazione `e esatta nel caso in cui S si muova
2.9. L’EFFETTO DOPPLER. 89
proprio verso O, con α = 0) ma S1S2`e lo spazio percorso da S nel tempo TS, cio`e: S1S2= vSTS, quindi si trova ∆tO= ∆tS ( 1−vS v cos α ) ; (2.37)
Nel caso, poi, in cui sia α = 0 e quindi S si muova verso O, l’ultima equazione si semplifica ulteriormente diventando ∆tO= ∆tS ( 1−vS v ) ; (2.38)
B. Si consideri ora la sorgente S ferma rispetto al mezzo ove invece si muove l’osservatore O con velocit`a
vO; sia TS il periodo di emissione della sorgente. La prima onda viene emessa da S all’istante 0; O riceve questa onda nel punto O1 che dista r1 da S all’istante t1 = r1/v, ove, come nel caso A, v `e la velocit`a della propagazione ondosa nel mezzo in questione. La seconda onda viene emessa da S all’istante TS e
O1 O2
S
r1
r2 α
Figura 2.11: Effetto Doppler con osservatore in movimento.
viene ricevuta da O nel punto O2, che dista r2 da S all’istante t2 = TS + r2/v; cosicch´e O misura un periodo
TO= t2− t1= TS−r1− r2
v ; (2.39)
la (2.39) `e formalmente identica alla (2.36); in realt`a nel caso A la quantit`a r1 − r2 si riferisce allo spostamento (bench´e non vi coincida) di S nel tempo TS, mentre in questo caso si riferisce allo spostamento di O nel tempo TO; si tratta quindi di due quantit`a diverse indicate per comodit`a con lo stesso simbolo. Per esplicitare tali differenze conviene fare le stesse approssimazioni viste nel caso precedente. Queste infatti consentono di scrivere r1− r2= vOTOcos α quindi
TO= TS−vO v TOcos α =⇒ TS = TO ( 1 + vO v cos α ) . (2.40)
da cui si vede ancora che il periodo `e minore quando l’osservatore si avvicina alla sorgente e maggiore quando se ne allontana, ma l’espressione matematica, e quindi il valore numerico della differenza fra le due frequenze `e diversa. Nessuna sorpresa: fin dall’inizio `e stato sottolineato che i due casi non sono fisicamente equivalenti. Nel caso in cui sia α = 0 quindi O si muova verso S, l’ultima equazione si semplifica ulteriormente diventando
∆tS = ( 1 + vO v ) ∆tO ; (2.41)
Osservazioni
1. Nel caso delle onde sonore, che verr`a discusso con qualche dettaglio nel seguito, l’effetto Doppler si manifesta tramite un fenomeno familiare a tutti coloro che abbiano ascoltato la sirena di un’ambu-lanza in movimento. Finch´e l’ambulanza si avvicina alle nostre orecchie sentiamo una certa nota che cambia non appena l’ambulanza ci ha oltrepassato e comincia ad allontanarsi. Questo `e dovuto al fatto che, come si vedr`a pi´u avanti, la nota percepita dipende dalla frequenza. E, come illustrato in figura (in cui le circonferenze rappresentano, per esempio, le creste delle onde successivamente emesse in punti sempre diversi), la lunghezza d’onda, e quindi il periodo, `e percepita minore per l’osservatore O1 verso cui l’ambulanza S si muove, e maggiore per l’osservatore O2 da cui S si allontana.
x
b
S O1
O2
Figura 2.12: Effetto Doppler per le onde sonore.
2. Non sempre la sorgente (o l’osservatore) si muovono molto pi´u lentamente delle onde; esempi contrari si possono trovare in certi aerei che si muovono pi´u veloci del suono, o nei motoscafi che si muovono a velocit`a maggiore delle onde del mare. Quindi, in questi casi, le approssimazioni che ci hanno portato alla (2.37) e alla (2.40) non sono pi´u validi. In questi casi `e necessario attenersi alle (2.36) e (2.39). Nel caso α = 0, invece, come osservato sopra, le (2.38) e (2.41) hanno validit`a generale.
3. Se la velocit`a della sorgente `e uguale o superiore a quella dell’onda sonora (ma un discorso analogo vale per altri tipi di onda), si verifica un fenomeno detto boom sonico. Questo si verifica perch´e l’energia portata da molti fronti d’onda raggiunge simultaneamente l’orecchio dell’osservatore. Nel caso in cui la sorgente sia pi´u veloce dell’onda, i fronti d’onda generati sono tutti tangenti alla superficie di un cono (il lettore studioso provi a darne la non semplice dimostrazione), detto cono
di Mach,2 il cui angolo di apertura θ `e dato da tg θ = vs
v = Ma . (2.42)
Ma `e il numero di Mach ed `e il rapporto fra la velocit`a della sorgente e la velocit`a dell’onda sonora. Per un’applicazione di questi concetti ad un ambito diverso dalle onde sonore si consideri il cono di Mach nella figura a destra e lo si paragoni alla sc´ıa lasciata da un motoscafo.