Uno specchio sferico `e una calotta sferica riflettente; a seconda di quale delle due superfici sia riflettente viene detto specchio concavo o convesso L’asse di simmetria della calotta si definisce asse ottico dello specchio. L’asse ottico passa per il centro C della sfera da cui `e stata ricavata la calotta. Inoltre si dice
vertice dello specchio il punto V di intersezione fra l’asse ottico e la superficie riflettente.
Specchio sferico concavo
C P P0 M V h ϕ ϕ0 i i0
Figura 1.8: Uno specchio sferico concavo
Dato un punto P sull’asse ottico di uno specchio concavo si vuole costruire la sua immagine riflessa P′.
Per far ci`o, con riferimento alla figura 1.8, si considerino due raggi luminosi uscenti da P ; il primo `e il raggio che si propaga sovrapposto all’asse ottico, questo giunge sul vertice V con angolo di incidenza di 90◦, quindi si riflette su s´e stesso. Il secondo raggio incide nel generico punto M dello specchio,
distante h dall’asse ottico. Il suo angolo di incidenza `e quello formato dal raggio di incidenza P M con la perpendicolare alla superficie riflettente nel punto di incidenza; tale perpendicolare `e la retta passante per il centro C. Si indica, come d’uso, con i l’angolo di incidenza e con i′ l’angolo di riflessione. Siano inoltre
θ l’angolo M bCV , φ l’angolo M bP V e φ′ l’angolo M bP′V ; per il teorema dell’angolo esterno applicato ai
triangoli CM P e CM P′ valgono le relazioni
1.3. SPECCHIO SFERICO. 105
per la seconda legge della rifrazione, vale i = i′ e quindi
φ + φ′= 2 θ . (1.3)
Ora, posto P V = p, P′V = p′, CV = r, per angoli piccoli valgono le seguenti approssimazioni
φ≃ tg φ ≃ h p , θ≃ tg θ ≃h r , φ ′≃ tg φ′≃ h p′ (1.4) quindi la (1.3) diventa h p+ h p′ = 2h r (1.5) e quindi 1 p+ 1 p′ = 2 r . (1.6)
Questa equazione `e nota col nome di legge dei punti coniugati.
Osservazioni
1. Si noti che la (1.6) `e indipendente da φ; quindi tutti i raggi che uscenti da P si riflettono verso
P′, nell’ipotesi di angoli piccoli; in tale limite quindi lo specchio sferico `e, con buona
approssi-mazione, un dispositivo stigmatico. La validit`a di questa approssimazione dipende dalla validit`a dell’approssimazione h≃ MV cio`e dell’identificazione di h con l’arco MV ; questa viene meno per
specchi con concavit`a molto accentuata o di apertura eccessiva. Salvo diverso avviso, in tutto quel che segue si user`a questa approssimazione.
2. Si osservi che, coerentemente con il principio di invertibilit`a dei cammini ottici, se si pone l’oggetto in P′ l’immagine si forma in P . Per questo P e P′ sono detti punti coniugati.
3. Se p → ∞, cio`e se l’oggetto `e molto lontano dallo specchio, il primo addendo della (1.6) `e
trascurabile, rimane quindi
1
p′ =
2
r −→ p′ =r
2 (1.7)
quindi l’immagine di un punto molto lontano dallo specchio si forma su un punto che si trova nel punto medio del segmento CV ; tale punto `e detto fuoco dello specchio sferico concavo. I raggi emessi da una sorgente molto lontana, si pensi per esempio al Sole, giungono allo specchio paralleli, si pu`o quindi concludere che
i raggi luminosi che incidono lo specchio paralleli all’asse ottico danno origine a un fascio di raggi riflessi omocentrico, con centro nel fuoco.
Alternativamente si pu`o dire che il fuoco di uno specchio sferico concavo `e il punto coniugato dell’infinito. La propriet`a dei raggi incidenti paralleli all’asse di generare raggi riflessi passanti per il fuoco `e molto utile nella costruzione delle immagini degli oggetti estesi, come si vedr`a pi´u sotto. A questo riguardo, si osserva qui che, per il principio di invertibilit`a dei cammini ottici, un raggio incidente che passi per il fuoco genera un raggio riflesso passante parallelo all’asse ottico. Indicando con f la distanza del fuoco da V , vale
f = r
e quindi la (1.6) pu`o essere riscritta nella forma pi´u usuale 1 p+ 1 p′ = 1 f . (1.9)
4. Se p = r allora, dalla (1.6) si ottiene p′= r; quindi il centro C `e coniugato di s´e stesso. Si osservi che
qualsiasi raggio proveniente dal centro C incide lo specchio perpendicolarmente e quindi l’angolo di incidenza e quello di riflessione sono entrambi retti; tutti i raggi riflessi quindi si sovrappongono ai rispettivi raggi incidenti e costituiscono quindi un fascio omocentrico con centro in C. La propriet`a dei raggi incidenti passanti per il centro di generare raggi riflessi passanti anch’essi per il centro `e molto utile nella costruzione delle immagini degli oggetti estesi.
Molto importante `e il caso in cui la sorgente luminosa si trova fra il fuoco e lo specchio, cio`e se vale 0 < p < f ; in tale caso infatti risulta
1 p′ = 1 f −1 p= p− f pf < 0 (1.10)
la distanza dell’immagine dallo specchio `e dunque negativa; per dare un senso a questo risultato conviene considerare un asse delle ascisse con l’origine nel vertice e orientato nel verso dal vertice al centro dello specchio, come in figura 1.9. Si vede dunque che nel caso p < f l’immagine si forma, come gi`a visto per
x F P
P0
Figura 1.9: Immagine virtuale in uno specchio sferico concavo
lo specchio piano, dall’incontro dei prolungamenti dei raggi riflessi; i raggi riflessi sono s´ı omocentrici, ma il loro centro, e quindi l’immagine P′, `e virtuale. Il segno negativo di p′ quindi `e il segnale del fatto che
l’ascissa dell’immagine `e negativa e cio`e che l’immagine `e virtuale.
Si affronta ora il problema della costruzione dell’immagine di un oggetto esteso. Occorre qui distinguere tre casi a seconda della distanza dell’oggetto dallo specchio.
Caso p > 2f.
Si consideri la situazione rappresentata in figura 1.10, ove dell’estremo P di un oggetto P Q, posto a distanza p > r = 2f dallo specchio, `e stata costruita l’immagine tracciando due raggi: uno parallelo all’asse ottico, che, come visto sopra (osservazione 3), si riflette per il fuoco, e uno passante per il fuoco F che si riflette parallelo all’asse ottico (si veda ancora l’osservazione 3). I due raggi riflessi si incontrano nel punto P′ che quindi `e l’immagine di P (si ricordi che nella approssimazione di angoli piccoli lo specchio
sferico `e un dispositivo stigmatico, vedi sopra osservazione 1.)2 L’immagine di Q si forma sull’asse ottico
2In figura `e stato disegnato, tratteggiato, anche il raggio incidente passante per il vertice; il suo raggio riflesso `e il suo
1.3. SPECCHIO SFERICO. 107 x C F P Q P0 Q0 V
Figura 1.10: Immagine reale di un oggetto esteso.
e quindi nel punto dell’asse avente la stessa ascissa di P′; ne risulta la costruzione riportata in figura
1.10. Quindi se l’oggetto si trova a una distanza dallo specchio maggiore del raggio, l’immagine si forma fra il fuoco ed il centro ed `e reale, rimpicciolita e capovolta.
Caso f < p < 2f.
Il caso in cui l’oggetto si trovi fra il fuoco e il centro `e facile da trattare in quanto basta applicare il prin-cipio di invertibilit`a dei cammini ottici al caso precedente; in quel caso infatti l’immagine di un oggetto pi´u lontano del centro si forma fra il fuoco ed il centro; quindi, invertendo i cammini ottici, l’immagine di un oggetto posto fra il fuoco e il centro si forma oltre il centro ed `e reale, ingrandita e capovolta; non viene riproposto il disegno della situazione in questione poich´e si tratta di ripetere esattamente il disegno di figura 1.10 scambiando i ruoli di P Q e P′Q′.
Caso p < f. x C F P Q P0 Q0 V
Figura 1.11: Immagine virtuale di un oggetto esteso.
Come gi`a visto poco sopra, in questo caso l’immagine `e virtuale. Nella figura 1.11 l’immagine `e costruita tracciando il raggio incidente parallelo all’asse ottico, il cui raggio riflesso passa per il fuoco, e il raggio incidente nel vertice, il cui raggio riflesso `e il simmetrico del raggio incidente rispetto all’asse ottico. I due raggi riflessi, come nel caso dello specchio piano, divergono; ma sono comunque omocentrici ad un centro
esempio, il cui uso si vedr`a fra poco, `e il raggio incidente passante per il centro. Il lettore studioso spieghi perch´e qui non `e
virtuale. Quindi l’immagine di un oggetto che si trovi fra lo specchio ed il fuoco `e virtuale, ingrandita e diritta.
Si esamina ora come determinare l’ingrandimento prodotto da uno specchio. Si definisce ingrandimento
trasversale I il rapporto fra la dimensione trasversale (cio`e perpendicolare all’asse ottico) y′
dell’im-magine e quella y dell’oggetto, cio`e, con riferimento alla figura 1.12.
x C F P Q P0 Q0 V M
Figura 1.12: Ingrandimento trasversale per uno specchio concavo.
I =y
′
y . (1.11)
In generale,
se|I| > 1 l’immagine `e ingrandita rispetto all’oggetto;
se|I| < 1 l’immagine `e rimpicciolita rispetto all’oggetto;
se|I| = 1 l’immagine `e equivalente all’oggetto.
Il valore assoluto `e necessario perch´e, come si vedr`a tra poche righe, I pu`o assumere valore negativo. Sia dunque P′Q′ l’immagine di P Q costruita mediante il raggio incidente parallelo all’asse ottico (che d`a
origine a un raggio riflesso passante per il fuoco) e quello passante per il centro (che incidendo lo specchio perpendicolarmente d`a origine a un raggio riflesso che si sovrappone a quello incidente); osservando che i triangoli CP Q e CP′Q′ sono simili, e quindi hanno i lati in proporzione, si ottiene un’espressione per il
rapporto fra la dimensione dell’immagine e quella dell’oggetto. Vale:
I =y ′ y = CQ′ CQ = r− p′ p− r . (1.12)
Per un noto teorema di geometria piana, la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in due parti proporzionali ai lati dell’angolo; applicando questo teorema al triangolo M QQ′ e
alla bisettrice M C si ottiene M P′: M P = CP′ : CP . Nella solita approssimazione di piccoli angoli vale
M P′≃ Q′V = p′ e M P ≃ QV = p; si arriva quindi a p′
p = r− p′
p− r (1.13)
si pu`o cos´ı riscrivere l’ingrandimento trasversale nella semplice forma:
I =p
′
p . (1.14)
`
E chiaro che l’immagine `e ingrandita se p′> p, mentre `e rimpicciolita se 0 < p′ < p. Nel caso in cui sia
1.3. SPECCHIO SFERICO. 109
cosicch´e l’immagine virtuale risulta sempre ingrandita. Infatti, dalla (1.9) si ottiene:
I = p
′
p = p′
f − 1 < −1 , (1.15) la disuguaglianza segue dal fatto che p′ e f sono discordi; quindi|I| > 1.
Specchio sferico convesso
Lo specchio sferico convesso si comporta in modo simile a quello concavo; si pu`o dimostrare, in modo analogo a quanto visto per lo specchio concavo, che per angoli piccoli si tratta di un dispositivo stigmatico; l’unica differenza `e che i raggi incidenti paralleli all’asse ottico generano raggi divergenti, si tratta cio`e di un fascio omocentrico con centro virtuale; il fuoco `e dunque virtuale, come rappresentato in figura 1.13.
C F x
Figura 1.13: Il fuoco di uno sferico convesso.
Per un specchio convesso vale ancora la legge dei punti coniugati; in questo caso per`o, essendo il fuoco virtuale, vale f < 0; dalla (1.9) si trova
1 p′ = 1 f −1 p= p− f pf < 0 ; (1.16)
si osservi che il secondo membro della precedente equazione `e negativo per qualsiasi valore di p, il che signi-fica che l’immagine generata da uno specchio convesso `e sempre virtuale, per ogni posizione dell’oggetto. Si osservi inoltre che per l’ingrandimento I vale
I =p
′
p = f
p− f (1.17)
Per l’ingrandimento vale la relazione−1 < I < 0; `e infatti negativo perch´e p e p′ sono discordi e vale
f
p− f >−1 (1.18)
infatti, moltiplicando entrambi membri di questa disequazione per la quantit`a positiva p− f, si ottiene f >−p + f −→ p > 0 , (1.19)
che, essendo vera, garantisce la verit`a della (1.18). L’immagine di un oggetto formata da uno specchio convesso `e quindi sempre rimpicciolita.
In figura 1.14 `e mostrata la costruzione dell’immagine di un oggetto esteso per uno specchio convesso, dove si `e utilizzato un raggio incidente parallelo all’asse ottico, che viene riflesso in direzione del fuoco, e un raggio incidente diretto verso il fuoco che viene riflesso parallelo all’asse.
x C F P Q P0 Q0 V
Figura 1.14: Costruzione dell’immagine per uno sferico convesso.
Si osservi, confrontando le figure 1.11 e 1.14, che si ottiene una dall’altra invertendo i cammini ottici; le propriet`a dello specchio convesso, qui ricavate analiticamente, si sarebbero potute ottenere utilizzando il principio di invertibilit`a dei cammini ottici a partire dalle propriet`a dello specchio concavo con oggetto posto fra il fuoco e lo specchio.
Per chiarezza, si riassumono qui di seguito le regole fondamentali per la costruzione geometrica delle immagini prodotte dagli specchi sferici.
1. Limitandosi a raggi che formano piccoli angoli con l’asse ottico, uno specchio sferico `e un dispositivo stigmatico.
2. Per costruire l’immagine di un punto bastano quindi due raggi.
3. Un raggio incidente parallelo all’asse ottico si riflette passando per il fuoco. 4. Un raggio incidente passante per il fuoco si riflette parallelo all’asse ottico. 5. Un raggio incidente passante per in centro si riflette su s´e stesso.
6. Un raggio incidente nel vertice si riflette simmetricamente all’asse ottico.
Osservazioni
1. Come esempio dell’applicazione del principio di Fermat alla riflessione si consideri un’ellisse la cui
superficie interna sia perfettamente riflettente. Ponendo una sorgente luminosa nel fuoco F1(si veda la figura 1.15), tutti i raggi riflessi andranno a finire sull’altro fuoco F2. Infatti, per la propriet`a focale dell’ellisse, qualsiasi sia il punto P di riflessione, la distanza percorsa dalla luce, F1P F2, `e sempre la stessa, quindi la luce pu`o scegliere indifferentemente qualsiasi percorso per andare da F1 a F2, ed infatti `e quello che accade: tutti i raggi uscenti da F1 si riflettono verso F2.
2. Gli specchi sferici sono stigmatici solo per angoli piccoli, come detto sopra; per angoli non piccoli,
ovvero per raggi incidenti lontano dall’asse ottico, lo stigmatismo `e perduto. Quindi, per esempio, raggi incidenti paralleli all’asse ottico, ma da esso lontano, non producono un fascio di raggi ri-flessi omocentrico e quindi i raggi riri-flessi non s’incontrano tutti nel fuoco ma formano una figura detta caustica di riflessione. Lo specchio che ha la propriet`a di far convergere sul fuoco tutti i raggi incidenti paralleli all’asse ottico indipendentemente dalla loro distanza dall’asse `e ottico e lo
1.3. SPECCHIO SFERICO. 111
b
b
F1 F2
P
Figura 1.15: Uno specchio ellittico.
specchio parabolico. Il lettore studioso provi a dimostrare analiticamente che qualsiasi raggio
luminoso che incida su uno specchio parabolico con direzione parallela all’asse si riflette in direzione del fuoco.
C
F
Figura 1.16: Caustica di riflessione in uno specchio sferico e uno specchio parabolico.
Per concludere `e utile riassumere che tipo di immagini si formano mediante gli specchi sferici nei diversi casi
1. Specchi sferici concavi: p > 0, f > 0; si hanno quattro sottocasi:
i) se p > 2f allora f < p′< 2f : l’immagine `e reale, rimpicciolita, capovolta.
ii) se p = 2f allora p′= p: l’immagine `e reale, equivalente all’oggetto, capovolta.
iii) se f < p < 2f allora p′> 2f : l’immagine `e reale, ingrandita, capovolta.
iv) se 0 < p < f allora p′< 0: l’immagine `e virtuale, ingrandita, diritta.
2. Specchi sferici convessi: p > 0, f < 0; in ogni caso p′ < 0 e l’immagine `e sempre virtuale,