Si consideri ora una superficie piana perfettamente riflettente e una sorgente luminosa S ed un altro punto arbitrario P ; si vuole trovare la traiettoria percorsa dalla luce che unisce S con P , con il vincolo di riflettersi sullo specchio; in altre parole, si deve determinare in quale punto si deve riflettere la luce perch´e da S raggiunga P . Si consideri il punto S′ simmetrico di S rispetto al piano dello specchio ed si
∗ P
S
S0
N M
Figura 1.3: La riflessione da uno specchio piano.
unisca il punto P ed il punto S′ con un segmento; tale segmento incontra lo specchio nel punto M . Ora
M `e il punto cercato, cio`e che la traiettoria percorsa dalla luce `e la spezzata SM P . La dimostrazione `e per assurdo. Si consideri sullo specchio un punto N diverso da M e si consideri la traiettoria SN P ; essa `
e pi´u lunga della traiettoria SM P . Infatti per la simmetria di S ed S′ rispetto al piano dello specchio
vale SM ≃ S′M , similmente SN ≃ S′N . Quindi la spezzata SM P `e lunga quanto il segmento S′P e
la spezzata SN P `e lunga quanto la spezzata S′N P ; ma in ogni triangolo la somma di due lati `e sempre
maggiore del terzo lato, quindi per il triangolo P N S′ la spezzata S′N P `e pi´u lunga del segmento S′P
e quindi la traiettoria SN P `e pi´u lunga della traiettoria SM P . Ora le due traiettorie sono entrambe percorse nello stesso mezzo (per esempio in aria), quindi con la stessa velocit`a, pertanto per il principio di Fermat la luce sceglier`a la pi´u corta, che `e quanto si doveva dimostrare.
Da questo fatto `e possibile ricavare la legge della riflessione su specchi piani. Si consideri la retta per-pendicolare allo specchio nel punto di incidenza M ; si definiscono angolo di incidenza e, rispettivamente,
∗ P S S0 M i i0 α β
Figura 1.4: La legge della riflessione.
angolo di riflessione gli angoli i ed i′formati dal raggio incidente e dal raggio riflesso con detta
perpendi-colare. Si dimostri ora che i due angoli sono uguali. Si osservi preliminarmente che l’angolo α e l’angolo
β formati dai segmenti SM ed S′M e lo specchio sono uguali. Ora l’angolo i `e complementare di α e
conseguentemente i′ `e complementare di β quindi, essendo complementari di angoli uguali, i ed i′ sono
uguali.
Si osservi inoltre che se si vuole che la spezzata SM P abbia lunghezza minima i due segmenti SM ed
M P devono stare sullo stesso piano della perpendicolare allo specchio.
Si possono a questo punto enunciare le due leggi della riflessione.
Se un raggio luminoso incide su una superficie riflettente si genera un raggio riflesso in modo che
1. il raggio incidente ed il raggio riflesso siano complanari alla perpendicolare
nel punto di incidenza.
2. l’angolo di incidenza `e uguale all’angolo di riflessione.
Si considerino ora pi´u di un raggio uscente da S e se ne costruiscano i raggi riflessi. Si osservi che i raggi
∗ P
S
S0 Figura 1.5: La formazione dell’immagine.
riflessi risultano tutti uscenti dal punto S′. Con riferimento alla figura 1.5, se in P si trova un occhio
che guarda verso lo specchio, questo vede S′ come sorgente dei raggi riflessi, in altre parole vede S in
S′. Questo fatto, familiare a tutti coloro che si siano guardati allo specchio, giustifica per S′ il nome
1.2. RIFLESSIONE: CASO DELLO SPECCHIO PIANO. 103
piano `e un punto simmetrico al punto sorgente rispetto allo specchio.
Si tratta ora di costruire l’immagine di un oggetto esteso. Si consideri, ad esempio, un segmento orientato
P Q posto di fronte ad uno specchio piano. Poich´e ogni punto del segmento ha come immagine il punto
P
Q
P0
Q0
Figura 1.6: La formazione dell’immagine di un oggetto esteso.
simmetrico, evidentemente l’immagine del segmento `e il segmento simmetrico P′Q′. Si osservi che
l’im-magine ottenuta ha le stesse dimensioni, e lo stesso verso dell’oggetto che l’ha prodotta. Si vedr`a nelle prossime pagine che esistono dispositivi che producono immagini ingrandite, rimpicciolite e capovolte.
Osservazioni
1. Gli angoli di incidenza e di riflessione sono definiti rispetto alla retta per perpendicolare al piano
nel punto di incidenza, e non rispetto al piano dello specchio, per poter generalizzare la validit`a delle leggi della riflessione a superfici curve, si veda la figura 1.7.
Figura 1.7: Riflessione su una superficie curva.
2. Si osservi che i ruoli del raggio incidente e riflesso sono scambiabili. Cio`e, con riferimento alla figura 1.4, se il raggio incidente fosse il segmento P M allora il raggio riflesso sarebbe il segmento M S. Questo fatto ha validit`a assolutamente generale e prende il nome di principio di invertibilit`a dei cammini ottici.
3. Un fascio di raggi che passino tutti per un medesimo punto si dice omocentrico . Un fascio di
raggi paralleli si dice omocentrico con centro all’infinito.
4. Due raggi che siano uno incidente e l’altro emergente dallo stesso dispositivo (per esempio uno
specchio od una lente) si dicono raggi coniugati. Se raggi coniugati formano due fasci entrambi omocentrici i rispettivi centri sono detti punti coniugati e se uno `e sorgente del fascio incidente,
l’altro `e immagine e viceversa. I dispositivi che abbiano la propriet`a di aver sempre fasci omo-centrici coniugati di fasci omoomo-centrici, si dice dispositivo stigmatico, per tali dispositivi, per la costruzione dell’immagine `e sufficiente condurre due soli raggi riflessi fino al loro punto di incontro, eventualmente determinato dai prolungamenti dei raggi riflessi (vedi sotto l’osservazione 5). Lo specchio piano studiato sopra `e un dispositivo stigmatico.
5. `E chiaro che solo in un dispositivo stigmatico un punto ha come immagine un punto. Pi´u in generale ci si deve accontentare del fatto che l’immagine di un punto sia una regione ristretta di spazio.
6. Se i raggi di un fascio omocentrico emergente si incontrano effettivamente in un punto fisico reale
allora l’immagine che producono `e detta immagine reale; se viceversa, come accade per lo specchio piano, si verifica che i raggi emergenti sono divergenti e solo i loro prolungamenti si incontrano in un punto oltre la superficie limite del mezzo (nel nostro caso ‘dentro’ lo specchio) l’immagine `e detta
virtuale.