4.1 Lo studio pilota
4.1.2 L’attivit` a con la prima A
La prima A `e una classe di una scuola secondaria di primo grado di Assemini. Viene descritta dall’insegnate come eterogenea ma con un livello medio alto. Gli studenti presenti, e che quindi hanno partecipato al laboratorio, erano 22 di cui un DSA. La metodologia del laboratorio `e spesso utilizzata dal- l’insegnate quindi la classe `e abituata a risolvere autonomamente problemi, anche lavorando in gruppo, e a condividere e discutere risultati e strategie. Durante l’anno scolastico avevano gi`a affrontato problemi sulle regolarit`a e sulle successioni di figure.
Delle attivit`a con le classi della prima secondaria di primo grado questa `
e stata la prima in ordine cronologico.
I problemi
Sono stati utilizzati due problemi. Il primo riguardava la stessa successione di figure delle griglie quadrate utilizzata con la quinta ma le domande sono state somministrate tutte insieme utilizzando una sola scheda mostrata nella Tabella 4.3.
Il secondo problema, che usa una successione di griglie rettangolari for- mate da quadretti tutti uguali, `e un riadattamento del problema delle griglie quadrate utilizzato dal Centro crsem3 di Cagliari durante le attivit`a di spe-
rimentazione realizzate nell’anno scolastico 2010-2011 con insegnanti della scuola secondaria di primo grado.4 La struttura `e la stessa del problema delle griglie quadrate con la differenza che, anche per il primo quesito, si chiede esplicitamente di fornire la giustificazione della risposta data. Il testo `
e mostrato nella Tabella 4.4.
3Centro di Ricerca e Sperimentazione dell’Educazione Matematica.
4La descrizione dell’intera attivit`a `e reperibile all’indirizzo http://cli.sc.unica.it/
crsem/images/pdf2/Sperimentazione/Lab alunni/2010 2011/come$%$20una$% $20verifica$%$20pu$%$F2$%$20diventare$%$20laboratorio.pdf.
Tabella 4.3: Testo del problema delle grigie quadrate usato nella prima fase di risoluzione collettiva con la prima A.
Problema: Le tre figure seguenti sono formate da quadretti tutti uguali.
Da quanti quadretti sar`a formata la Figura 10? Marco afferma: “La Figura 12 sar`a composta da 144 quadretti!!!”
Marta aggiunge: “La Figura 25 sar`a formata da 225 quadretti!!”
Sei d’accordo con Marco? E con Marta? Spiega perch´e.
Le possibili strategie e le tipologie attese di giustificazione delle risposte date sono le medesime del problema con la quinta primaria, riportate a pag. 72.
Organizzazione del laboratorio
Il primo problema delle griglie quadrate `e stato utilizzato nella prima fase del laboratorio ed `e stato risolto durante una discussione collettiva gestita dall’insegnante della classe. Le immagini relative alle figure sono state dise- gnate alla lavagna e le domande sono state lette a voce alta. Questa modalit`a `
e stata concordata con l’insegnante che ha valutato il problema molto facile rispetto al livello degli studenti che, inoltre, ne avevano affrontato gi`a uno simile all’inizio dell’anno scolastico. Il tempo previsto per questa fase era di 15 minuti.
Tabella 4.4: Testo del problema delle grigie rettangolari usato nella seconda fase del laboratorio con la prima A.
Problema: Osservate le figure in sequenza.
a) Da quanti quadretti sar`a formata la Figura 10? Spiega come hai trovato la risposta.
b) Claudio afferma che la Figura 14 sar`a formata da 60 quadretti.
Silvia dice che la Figura 30 sar`a formata da 120 quadretti.
Siete d’accordo con Claudio? E con Silvia? Giustificate la vostra risposta.
L’attivit`a sul secondo problema delle griglie rettangolari `e stata suddivisa nelle tre fasi abitualmente programmate dall’insegnante per le attivit`a di laboratorio.
Durante la prima fase gli studenti hanno lavorato individualmente rispon- dendo a tutti i quesiti del problema. Il tempo concesso era di 10 minuti. `E seguita una breve discussione per il confronto dei risultati e delle strategie utilizzate.
La seconda fase `e stata di lavoro di gruppo. La consegna era di confron- tare le risposte scritte da ciascuno nella fase individuale per produrre una risposta condivisa, eventualmente individuando diverse strategie risolutive. I 6 gruppi sono stati formati dall’insegnate secondo un criterio di omogeneit`a. Per questa fase era previsto un tempo di 20 minuti.
La fase successiva di discussione collettiva `e stata organizzata sulla ba- se di ci`o che era stato osservato durante le due fasi precedenti. Sono state quindi stabilite tre parti: una prima parte di esposizione, da parte dei grup- pi, della risposta condivisa e della relativa motivazione; una seconda parte avviata con l’introduzione della nuova domanda sareste in grado di determi- nare il numero dei quadretti per una figura qualsiasi della successione? con lo scopo di indurre gli studenti ad una formulazione generale dell’algoritmo seguito per rispondere alle domande della scheda, eventualmente anche me- diante l’utilizzo del linguaggio simbolico; la terza parte di riproposta della medesima domanda ma variando la numerazione delle figure chiamando la prima “Figura 0” anzich´e “Figura 1” con lo scopo di far insorgere la necessit`a di esplicitare il legame fra il numero che indica la posizione della figura e il numero di quadretti.
Dati raccolti dall’analisi degli elaborati
Bench´e diminuisca negli ultimi due quesiti, il numero di risposte corrette `e molto alto: 19 su 22 per il primo quesito, in cui tutti forniscono comunque una risposta, e 17 su 22 nel secondo e nel terzo dove 3 studenti non forniscono nessuna risposta.
In Tabella 4.5 sono mostrate le frequenze delle strategie utilizzate per rispondere a ciascun quesito.
Tabella 4.5: Dati relativi alle strategie utilizzate per rispondere a ciascun quesito del problema delle griglie rettangolari.
strategia Figura 10 Figura 14 Figura 30
non risponde 1 6 3
disegno 1 0 0
ricorsiva 1 1 2
moltiplicazione 19 14 16
lineare 0 1 1
La possibilit`a di calcolare mediante moltiplicazione il numero di quadretti di tutte le figure fino a quella oggetto del quesito, contemplata fra le stra- tegie a priori, non si `e verificata pertanto non viene presa in considerazione nella tabella. Si sono verificati invece due casi di utilizzo della propriet`a di linearit`a della funzione che associa alla posizione della figura il numero di quadretti corrispondente: nel primo caso `e stata utilizzata l’additivit`a rela- tivamente alla figura 14, partendo dal numero di quadretti della figura 10
che era noto; nel secondo caso `e stata usata l’omogeneit`a per determinare il numero di quadretti della figura 30 determinando prima quelli della figura 15 e raddoppiandoli.
Tabella 4.6: Dati relativi alle modalit`a di spiegazione fornite per giustificare le risposte ai quesiti.
modalit`a di spiegazione Figura 10 Figure 14 e 30
non fornisce spiegazione 1 3
basata sul risultato delle opera- zioni
9 13
a parole con riferimento al caso particolare
4 2
a parole generale senza riferimen- to al numero della figura
4 3
a parole generale con riferimento al numero della figura o a figure precedenti
4 1
anche mediante linguaggio simbo- lico
0 0
La Tabella 4.6 mostra che la maggioranza degli studenti fornisce motiva- zioni basate sul risultato dell’operazione effettuata. Nella maggior parte delle risposte la giustificazione delle operazioni effettuate fa chiaro riferimento alla base e all’altezza dei rettangoli e in alcuni casi la moltiplicazione `e preceduta dalla formula per il calcolo dell’area di un rettangolo come nell’esempio in Figura 4.3. `E quindi evidente il forte ruolo delle competenze e conoscenze geometriche nella determinazione della soluzione del problema. `E chiaro an- che il ruolo del contenuto aritmetico radicato delle tabelline moltiplicative: alcune giustificazioni dell’utilizzo della moltiplicazione sono del tipo “perch´e ad ogni figura vengono aggiunti 4 quadretti”.
Nelle risposte relative alle prime due righe della tabella non c’`e alcun tentativo di generalizzazione poich´e le spiegazioni sono riferite esclusivamente al caso specifico trattato nel quesito. Un tentativo di generalizzazione si ha invece nelle risposte che fanno parte della penultima modalit`a riportata nella
Figura 4.3: Esempio di risposta in cui la giustificazione del procedi- mento seguito `e basata esclusivamente sulle propriet`a geometriche della figura specifica.
tabella. La Figura 4.4 mostra due esempi: la prima immagine `e relativa a una delle due risposte in cui si fa riferimento al numero della figura ma senza esplicitare la relazione di questo con il numero di quadretti di cui la figura `
e composta; la seconda `e la spiegazione generale della strategia ricorsiva utilizzata per rispondere al quesito.
La spiegazione generale senza riferimento al numero della figura pu`o es- sere considerata una posizione intermedia fra le due.
In questa classe, dunque, la maggior parte degli studenti fornisce una spiegazione senza tentare di descrivere un algoritmo generale.
La possibilit`a di descrivere l’algoritmo mediante il linguaggio simbolico non si `e verificata. Solo quattro studenti hanno fatto riferimento al numero della figura o hanno descritto in termini generali un procedimento ricorsivo. Si deve sottolineare per`o che gli studenti che hanno fatto riferimento alla posizione della figura, che sono 2, non hanno esplicitato la relazione fra questa e il numero di quadretti che la compone.
Figura 4.4: Due esempi delle risposte che fanno parte della penultima modalit`a.
Il fatto che il numero di risposte che rientrano nella categoria alta gene- ralizzazione diminuisca ulteriormente per le ultime due figure non `e dovuto alle caratteristiche dei quesiti ma piuttosto al fatto che molti, avendo gi`a
fornito una spiegazione generale per il primo quesito tendono, a non ripetere la stessa spiegazione in quelli successivi.
La discussione sulla figura qualsiasi `
E possibile con questi dati affermare che gli studenti di questo gruppo abbiano basse capacit`a di generalizzazione ovvero che non siano in grado di parlare di quantit`a generali o variabili? O la quasi assenza di descrizioni generali dell’algoritmo potrebbe essere dovuta ad altri fattori?
L’ipotesi formulata con l’insegnante nell’osservare le risposte scritte nelle schede durante il lavoro individuale era che, se i quesiti fanno riferimento solo a particolari figure, gli studenti non sono portati a descrivere un algoritmo generale e neanche a formulare esplicitamente il legame con la posizione della figura, questo soprattutto se la grandezza a cui applicano una formula (geo- metrica o aritmetica nota) corrisponde esattamente alla posizione della figura nella successione come succede nei due problemi proposti relativamente alla misura della base.
In Tabella 4.7 `e riportato un estratto della discussione collettiva finale, che `e seguita al lavoro di gruppo. L’estratto mostra cosa succede quando l’insegnante propone una nuova situazione in cui non si fa riferimento ad una specifica figura.
Tabella 4.7: Estratto della discussione successiva al lavoro di gruppo sul problema delle griglie quadrate.
Studente 1 Praticamente la formula di questo `e base per altezza
Insegnante Per trovare. . .
Studente 1 Per trovare. . . questa. . .
Insegnante Qualunque figura. . . e se non conosci la base come faresti?
Studente 1 In che senso se non conosci la base?
Insegnante
Eh! Noi ve l’abbiamo data. . . vi abbiamo detto Figura 30, Figura. . . Giusto? Quindi fino ad ora avete ragionato sulla base perch´e la base c’era, giusto? E se noi non vi avessimo dato la base? Voi l’avete dedotta dal numero della figura Studente 2 [sovrapponendosi ] dal numero della figura! Insegnante Dal numero della figura, giusto? E se noi non
vi diciamo il numero della figura? Studente 2 ce la dovevamo calcolare noi. Insegnante e come avreste fatto?
Tabella 4.7: continua dalla pagina precedente
Studente 2
Eee. . . pi`u che altro io avrei sostituito il nu- mero, come abbiamo fatto anche in altri eser- cizi, per esempio con una lettera, per esempio quattro per x, x `e un’incognita.
Ricercatore E x . . . per cosa la stai mettendo? Al posto di cosa la stai mettendo?
Studente 2 Perch´e lei ha detto: se non vi diamo il numero del. . .
Studente 3 Della base.
Ricercatore Quindi la stai usando per cosa? Studente 4 x `e la base
Ricercatore x `e la base?
Studente 4 Anzich´e mett. . . se non sai il numero. . . la x. . . Studente 5 Fai l’altezza per x che `e l’incognita del. . . Studente 4 della base
Parlano tutti insieme
Studente 4 Se non sai neanche l’altezza a per b Ricercatore Se non sai neanche l’altezza
Studente 4 [sovrapponendosi ] o se no a per quattro
Ricercatore ok a per quattro. . . a per quattro ci d`a il numero. . . di che cosa?
Studente 6 E una formula`
Studente 4 Devi applicarla perch´e base per altezza d`a l’area Ricercatore Di quale figura?
Studente 4 Della figura che stai calcolando. . . del rettangolo! Ricercatore Ma di quale? Di quale figura della successione? Studente 6 Di una qualunque
Da questo estratto si capisce che gli studenti sono in grado produrre una formula generale per determinare il numero dei quadretti di una qualsiasi figura della successione ed `e bastato che l’insegnante ponesse la domanda affinch´e qualcuno pensasse subito di utilizzare una lettera al posto del dato mancante, che in questo caso era la lunghezza della base.
Nell’ultima parte dell’estratto si nota che, nonostante la richiesta di chia- rimenti sul dato rappresentato dalla x (o dalla a), nessuno ha fatto riferimen- to alla posizione della figura: la variabile viene intesa come la misura della base anzich´e come il numero della figura come dovrebbe essere. A questo proposito, gi`a durante il lavoro di gruppo, l’insegnante aveva osservato che la ragione di tale mancanza sarebbe potuta risiedere nel fatto che il dato
necessario a determinare il numero di quadretti, ovvero la lunghezza del la- to della figura, coincida con la posizione della figura nella successione. Per questo motivo, come anticipato, la domanda su come fare a determinare il numero di quadretti per una figura qualsiasi `e stata riproposta variando per`o la numerazione delle figure e quindi nominando “Figura 0” quella che prima era la “Figura 1”. La discussione relativa `e stata per`o gestita con l’obiettivo di modificare la formula trovata per il caso precedente (ovvero 4 × x) in mo- do che funzionasse anche nella nuova situazione. La discussione ha portato alla scrittura di 4 × x + 4 a cui per`o non `e seguita un’argomentazione sul significato di tale formula o sul perch´e fosse effettivamente corretta.
La variazione della numerazione della successione non ha portato quindi il risultato sperato ma il motivo di ci`o `e stato attribuito al modo in cui la discussione era stata gestita. Per questo motivo, come si spiegher`a nelle osservazioni che seguono, `e stato ipotizzato che la relazione fra il numero che rappresenta la posizione della figura e il dato a cui si applica la formula (geometrica o aritmetica) nota sia una variabile significativa per far insorgere l’esigenza della descrizione generale dell’algoritmo da applicare al numero della figura per determinare la risposta.
Osservazioni
L’alta percentuale di risposte corrette e le strategie utilizzate, cos`ı come le relative spiegazioni fornite negli elaborati hanno portato alla conclusione che il livello di difficolt`a del problema fosse basso rispetto al livello di compe- tenze della classe. Le risposte erano ottenute facendo ricorso ai contenuti geometrici (formule per il calcolo dell’area di quadrati e rettangoli) e arit- metici (tabelline moltiplicative) ben noti agli studenti. La facilit`a con cui si giungeva alla risposta, anche per le figure ordinate con i numeri pi`u grandi, non ha fatto insorgere l’esigenza della ricerca di una relazione generale fra la posizione della figura e il numero di quadretti di cui era composta. Ci`o che invece `e successo nel momento della discussione, durante la quale una domanda diversa ha portato gli studenti a pensare in termini generali e a proporre l’uso di una lettera per indicare un dato non noto, ha portato ad ipotizzare che il mancato utilizzo di un linguaggio simbolico fosse dovuto non ad un’incapacit`a da parte degli studenti di pensare in termini generali e di utilizzare simboli per grandezze variabili, ma piuttosto alla natura del problema e dei quesiti.
All’inizio di questo capitolo si erano preannunciati i due obiettivi dello studio pilota:
a) verificare l’ipotesi, sostenuta da alcuni,5 secondo cui gli studenti siano
in grado di utilizzare simboli per rappresentare quantit`a incognite o variabili, ad un et`a inferiore rispetto a quella in cui, tradizionalmente, vengono introdotti al calcolo letterale;
b) individuare alcune delle variabili didattiche che possono favorire o osta- colare l’insorgere di processi di generalizzazione, soprattutto dal punto di vista delle caratteristiche dei problemi proposti.
Relativamente al punto a), come gi`a osservato, l’unica occasione in cui alcuni studenti hanno proposto l’uso di una lettera, e quindi la scrittura di un’espressione algebrica, `e stata durante la discussione mentre erano guida- ti dall’insegnante. Non `e possibile quindi affermare che questa ipotesi sia stata confutata dai risultati dell’attivit`a con la prima A. Questi piuttosto rinforzano quella secondo cui il modo in cui l’attivit`a in classe viene gestita dall’insegnante favorisce la comprensione del senso delle espressioni algebri- che. Le ipotesi i), iii) e iv) formulate a questo proposito, e riportate all’inizio di questo Capitolo, saranno oggetto del percorso sperimentale descritto nel Paragrafo 4.2.
Per quanto riguarda il punto b) se `e vero che, come suggerito da Bell (1995)6, i problemi che danno origine a successioni numeriche sono utili per
introdurre il lavoro con funzioni e formule, i risultati ottenuti nell’attivit`a appena descritta hanno portato la formulazione di due ipotesi: α) affinch´e negli studenti insorga la necessit`a di una generalizzazione non `e sufficiente che i problemi riguardino successioni numeriche ma un ruolo fondamentale `
e giocato anche dalla tipologia dei quesiti posti e β) il modo in cui tali successioni sono generate, ovvero la relazione che il numero che rappresenta la posizione della figura ha con le caratteristiche della figura stessa, pu`o avere un ruolo nel favorire l’individuazione e l’esplicitazione della relazione fra la posizione della figura nella successione e l’elemento corrispondente.
Queste due ipotesi sono andate quindi a completare l’ipotesi ii) formu- lata prima della realizzazione dello studio,7 che `e diventata: i problemi su pattern di figure che generano sequenze numeriche favoriscono la produzione degli algoritmi generali che possono essere poi riscritti mediante il linguaggio simbolico se formulati con determinati criteri.
5Si veda il Paragrafo 2.3. 6Si veda il Paragrafo 3.2.1 7Si veda pag. 69
L’ipotesi che tali criteri siano quelli individuati da α) e β) `e stata veri- ficata modificando le successioni di figure cos`ı come la tipologia dei quesiti posti per i problemi utilizzati nei due laboratori successivi realizzati con due diverse classi prime e descritti nel paragrafo che segue.