L’attivit` a con la terza L

L’ultima attivit`a del progetto pilota nella scuola secondaria di primo grado `

e stata realizzata con una terza. Questa scelta `e stata dettata dal voler ana- lizzare l’utilizzo del linguaggio simbolico in studenti che hanno gi`a affrontato il calcolo letterale e le equazioni di primo grado. L’attivit`a `e stata pertanto svolta alla fine dell’anno scolastico.

La classe

La scuola di appartenenza della classe coinvolta `e ancora la scuola secondaria di secondo grado “V. Alfieri” di Cagliari. Gli studenti che hanno partecipato sono 23 e l’insegnante della classe `e la stessa della prima L, coinvolta nelle attivit`a precedenti.

I problemi e l’organizzazione dell’attivit`a laboratoriale

Il laboratorio `e stato condotto dalla docente della classe ed `e stato suddiviso in due fasi: la prima di lavoro individuale e la seconda di lavoro di gruppo.

Alla fine di ciascuna delle due fasi i risultati del lavoro sono stati discussi con l’intera classe.

Tabella 4.15: Testo del problema degli stuzzicadenti utilizzato durante la fase individuale del laboratorio con la terza

Problema: Giocando con gli stuzzicadenti Mara forma una successione di figure. Le prime tre sono rappresentate qui sotto.

a) Quanti stuzzicadenti dovr`a usare Mara per formare la Figura 10? Spiega come hai trovato la risposta.

b) Mara dice che per costruire la Figura 15 dovr`a usare 225 stuzzicadenti. Sei d’accordo con Mara?

c) Sei in grado di determinare il numero di stuzzicadenti necessari per qualsiasi figura? Se s`ı, spiega come.

La formazione dei gruppi `e stata stabilita dalla docente secondo criteri di eterogeneit`a in modo che in ciascun gruppo fosse presente almeno un “ele- mento trainante”.

Il problema utilizzato per la fase di lavoro individuale (mostrato in Ta- bella 4.15) `e analogo a quelli utilizzati nelle prime L e M: la successione di figure `e stata cambiata ma i quesiti sono i medesimi quindi le strategie e le risposte attese sono analoghe.

Per quanto riguarda la strategia ricorsiva, che consite nell’aggiungere 4 al numero di stuzzicadenti della figura precedente [sn = sn−1+ 4], in realt`a non

ci si aspettava che venisse utilizzata anche se contemplata fra le strategie a priori. Il motivo di questa ipotesi `e che ci si aspettava che la maggior parte degli studenti rispondesse al quesito mettendo in gioco le proprie conoscen- ze geometriche e quindi utilizzando la formula per determinare il perimetro.

Pertanto fra le strategia dirette attese una, quella corretta, consiste nel mol- tiplicare il numero che rappresenta la posizione della figura nella successione per 4 [sn = 4n]. `E stata considerata anche una strategia diretta errata cor-

rispondente al calcolo dell’area della figura in luogo del perimetro, ovvero l’elevamento al quadrato del numero della figura [sn= n2].

Nel lavoro di gruppo `e stato utilizzato il problema riportato in Tabel- la 4.16, scritto modificando uno dei problemi illustrati in Lannin et al. (2006). In questo caso la successione numerica non `e generata da una successione di figure ma dal numero di macchinine da disporre nelle file.

Tabella 4.16: Testo del problema delle macchinine utilizzato durante la fase di lavoro di gruppo del laboratorio con la terza.

Problema: Claudio ha una collezione di macchinine e vuole disporle su un grande tavolo nella sua stanza nel seguente modo: nella prima fila sistema 6 macchinine, nella seconda ne mette quattro in pi`u rispetto alla prima, nella terza quattro in pi`u rispetto alla seconda e cos`ı via. . . .

a) Quante macchinine dovr`a mettere Claudio nella fila 10? Spiegate come avete trovato la risposta.

b) Quante nella fila 35? Spiegate come avete trovato la risposta.

c) Sapreste determinare il numero di macchinine per qualsiasi fila? Se s`ı, spiegate come.

d) In quale fila ci saranno 94 macchinine? E in quale fila 200? Spiegate come avete trovato le risposte.

Anche in questo caso le strategie attese per rispondere ai primi due quesiti erano: il disegno; la strategia ricorsiva, la strategia diretta e l’applicazione della linearit`a.

In particolare la strategia ricorsiva corretta consiste nel determinare il numero delle macchinine dell’n−esima fila (mn) aggiungendo 4 a quello della

fila precedente. Le strategie ricorsive errate contemplate fra quelle a priori consistono:

∗ nell’aggiungere 2 anzich´e 4, se si considerano nella figura le macchine che, per ogni fila, “sporgono” da un lato: mn = mn−1+ 2

∗ nell’aggiungere 6 anzich´e 4, se si utilizza il numero di macchinine nella prima fila: mn = mn−1+ 6.

Le strategie dirette attese a priori erano invece:

∗ moltiplicare il numero precedente del numero della fila per 4 e aggiun- gere 6: mn = 6 + 4(n − 1);

∗ moltiplicare il numero della fila per 4 e aggiungere 2: mn = 2 + 4n

oltre ai procedimenti errati di

∗ moltiplicare il numero della fila per 4: mn = 4n;

∗ moltiplicare il numero della fila per 6: mn = 6n;

∗ moltiplicare il numero della fila sia per 6 che per 4 e sommare i risultati: mn= 6n + 4n

In questo problema `e stato aggiunto un quarto quesito, il quesito d), che corrisponde a risolvere un’equazione di primo grado. Quello che ci si aspettava era infatti che, avendo gli studenti gi`a affrontato il tema delle equazioni, almeno in qualche caso la risposta a questo quesito sarebbe stata determinata mediante l’impostazione e la risoluzione di un’equazione. Le strategie attese erano dunque le seguenti:

• procedere per prove ed errori determinando il numero di macchinine in diverse file usando la stessa strategia utilizzata per i primi due quesiti; • applicare la strategia ricorsiva fino al raggiungimento o superamento

del numero di macchinine richiesto;

• determinare una formula inversa di quella utilizzata per i primi due quesiti;

Tabella 4.17: Tabella riassuntiva dei dati relativi al problema degli stuzzicadenti, risolto individualmente. Classe: terza L.

Quesito a) Esito Corretto 21 Errato 2 Strategia Diretta 19 Ricorsiva 2 Disegno 2 Non risponde 0 Quesito b) Esito Corretto 21 Errato 1 Strategia Diretta 21 Ricorsiva 1 Disegno 0 Non risponde 1

Quesito c) Modalit`a di spiegazione dell’algoritmo Formula 4 A parole completa 3 A parole incompleta 6 Esempio 8 Non risponde 2

Analisi dei dati ricavati dagli elaborati

In Tabella 4.17 sono riportati i risultati del lavoro individuale. Come si vede solo due studenti forniscono una risposta errata ai primi due quesiti, segno che il problema fosse alla portata degli studenti che lo hanno risolto in quin- dici minuti. La strategia utilizzata sostanzialmente da tutti `e stata quella diretta: ovvero la moltiplicazione del numero degli stuzzicadenti di un lato per 4. Alcuni hanno giustificato questa strategia parlando di perimetro del quadrato, altri osservando che per ogni figura si aggiungono 4 stuzzicadenti e che quindi sia sufficiente utilizzare la tabellina moltiplicativa del 4. Il numero delle risposte corrette e il fatto che la strategia maggiormente utilizzata sia quella diretta confermano le aspettative a priori.

Lo stesso non si pu`o dire per i successivi due quesiti. Nel quesito c) la spiegazione con la frequenza maggiore `e stato l’esempio e 16 dei 23 studenti non hanno fornito una spiegazione generale completa dell’algoritmo. Inol- tre anche i 4 studenti che hanno utilizzato il linguaggio simbolico lo hanno fatto comunque mediante abbreviazioni o parole intere: nessuno ha scritto un’espressione algebrica utilizzando il simbolismo canonico. Le risposte in cui viene utilizzato il linguaggio simbolico con parole o abbreviazioni sono

riportate in Figura 4.6.

Figura 4.6: Le quattro risposte al quesito c) del problema degli stuzzicadenti in cui viene utilizzato anche il linguaggio simbolico.

Degli studenti che hanno provato a fornire una spiegazione a parole, solo 3 hanno descritto correttamente l’algoritmo. Gli altri 6 hanno fornito una descrizione incompleta in cui non si faceva riferimento al numero della figura ma solo al numero degli stuzzicadenti in un lato.

Nel lavoro di gruppo si nota un progresso per quanto riguarda le moda- lit`a di spiegazione dell’algoritmo seguito. Nel secondo problema infatti tutti i gruppi forniscono una spiegazione completa o mediante il solo linguaggio ver- bale o anche utilizzando il linguaggio simbolico ma ancora non convenzionale (Figura 4.7). Probabilmente conseguenza di ci`o, al contrario di quello che ci si aspettava, nessun gruppo imposta e risolve una equazione per rispondere al quarto quesito.

Figura 4.7: Linguaggio simbolico utilizzato nella spiegazione generale dell’algoritmo fornita da due dei gruppi per rispondere al quesito c) del problema delle macchinine.

Osservazioni

Come anticipato, le risposte fornite al quesito c) si sono rivelate molto lonta- ne dalle aspettative. Ci si aspettava innanzitutto che gli studenti della terza

Tabella 4.18: Tabella riassuntiva dei dati relativi al problema delle macchinine, risolto durante il lavoro di gruppo. Classe: terza L.

Quesito a) Esito Corretto 5 Errato 0 Strategia Diretta 3 Ricorsiva 2 Disegno 0 Non risponde 0 Quesito b) Esito Corretto 5 Errato 0 Strategia Diretta 3 Ricorsiva 0 Disegno 0 Non risponde 1

Quesito c) Modalit`a di spiegazione dell’algoritmo Formula 3 A parole completa 2 A parole incompleta 0 Esempio 0 Non risponde 0 Quesito d) Esito 94 Corretto 4 Errato 1 Esito 200 Corretto 2 Errato 3 Strategia Equazione 0 Formula inversa 5 Ricorsiva 0 Prove ed errori 0 Non risponde 0

sappia lavorare con i polinomi e le espressioni algebriche.

Questo, insieme al fatto che nessuno studente abbia pensato di impostare un’equazione per risolvere il quarto quesito, conferma le affermazioni che si trovano nella letteratura, alcune delle quali riportate nel paragrafo 2.1, ri- guardo alla percezione che gli studenti hanno del calcolo letterale: un insieme di regole prive di significato e anche di utilit`a.