4.2 La sperimentazione con le prime della scuola secondaria d
4.2.2 Risultati e analisi dei dati
Analisi delle strategie utilizzate e della loro evoluzione
Il grafico in Figura 4.13 mostra che, in tutti e tre i problemi, le frequenze dei tipi di strategia utilizzata si distribuiscono in modo analogo. Infatti in tutti i problemi la strategia applicata dal maggior numero di studenti `e quella diretta mentre la meno utilizzata `e il disegno. Anche il numero di chi non risponde `e sempre compreso fra il numero di chi applica una strategia ricorsiva e chi disegna.
Figura 4.13: Andamento delle frequenze del tipo di strategia utilizzata nei tre problemi.
Nonostante questa analogia fra le distribuzioni, nel problema delle mac- chinine si osserva una differenza rispetto agli altri due: il numero degli stu- denti che hanno utilizzato la strategia ricorsiva `e sostanzialmente uguale al numero di coloro che hanno utilizzato una strategia diretta, mentre negli altri due problemi la differenza fra questi due dati `e considerevole. Se si analizza il grafico in un’ottica temporale si vede infatti che, mentre il numero di chi usa una strategia diretta resta pressoch´e invariato, passando da 49 a 46 a 49, il numero di chi applica una strategia ricorsiva passa da 17 nel problema delle griglie quadrate a 27 nel problema degli stuzzicadenti fino a raggiungere 48 nel problema delle macchinine.
L’incremento della frequenza delle strategie ricorsive `e osservabile anche analizzando i dati di ciascuna classe riportati, separatamente per ciascun problema, nelle tabelle 4.28, 4.29 e 4.30. Anche separando i dati per classe
la strategia pi`u utilizzata `e quasi sempre quella diretta la cui frequenza, a parte nella prima D, diminuisce nel corso dei tre problemi. La frequenza di chi usa una strategia ricorsiva, aumenta da un problema all’altro in tutte le classi (a parte dal primo al secondo problema della prima D) e, addirittura, nella prima A e nella prima E arriva a superare quella delle strategie dirette. Il comportamento rispetto alle strategie `e quindi analogo nelle cinque classi che, si ricorda, hanno tutte insegnanti diverse. La variabile “insegnante” non ha quindi determinato differenze significative nel tipo di strategia utilizzata dagli studenti per rispondere ai quesiti aritmetici dei tre problemi.
Tabella 4.28: Distribuzione delle diverse strategie per ciascuna classe. In tabella sono riportate le frequenze assolute mentre nel grafico le frequenze percentuali rispetto alla numerosit`a della classe. Dati relativi al problema delle griglie quadrate.
Classe Strategia Totale
non risponde disegno ricorsiva diretta linearit`a
A 2 2 4 11 19 D 4 2 6 8 20 E 3 1 4 6 14 G 2 2 12 16 I 3 1 3 12 1 20 Totale 14 8 17 49 1 89
L’andamento delle frequenze delle strategie non rispecchia ci`o che si era prospettato al momento della progettazione del percorso. Come illustrato nel Paragrafo 4.2.1, infatti, la prima fase delle discussioni collettive aveva come
Tabella 4.29: Distribuzione delle diverse strategie per ciascuna classe. In tabella sono riportate le frequenze assolute mentre nel grafico le frequenze percentuali rispetto alla numerosit`a della classe. Dati relativi al problema degli stuzzicadenti.
Classe Strategia Totale
non risponde disegno ricorsiva diretta linearit`a
A 2 5 10 2 19 D 8 6 8 22 E 2 6 10 18 G 2 2 6 10 20 I 7 4 4 8 23 Totale 21 6 27 46 2 102
obiettivo anche quello di indurre gli studenti, per mezzo del confronto fra le diverse strategie proposte, ad abbandonare le strategie del disegno e quelle ricorsive a favore delle strategie dirette, pi`u adatte al fine ultimo di essere descritte mediante una formula algebrica.
Ci`o che ci si aspettava era dunque l’incremento delle frequenze delle stra- tegie di tipo diretto e la diminuzione del numero di studenti che fanno uso della ricorsione, a prescindere dalle caratteristiche dei problemi somministra- ti che invece hanno certamente influito su questo aspetto.
Una variabile che differenzia infatti il problema delle griglie quadrate da quello degli stuzzicadenti riguarda la natura della successione. La succes- sione delle griglie quadrate si pu`o ottenere in modo ricorsivo aggiungendo
Tabella 4.30: Distribuzione delle diverse strategie per ciascuna classe. In tabella sono riportate le frequenze assolute mentre nel grafico le frequenze percentuali rispetto alla numerosit`a della classe. Dati relativi al problema delle macchinine.
Classe Strategia Totale
non risponde ricorsiva diretta linearit`a
A 1 11 8 1 21 D 9 11 20 E 12 7 19 G 8 11 19 I 2 8 12 22 Totale 3 48 49 1 101
al numero di quadretti di una figura un numero di quadretti che pu`o es- sere determinato nei due modi seguenti: qn = qn−1 + (qn−1 − qn−2) + 2 e
qn = qn−1+ (2n + 1). Quindi nella successione delle griglie quadrate il nu-
mero di quadretti da aggiungere ad ogni passaggio varia in base al numero della figura. Invece la successione degli stuzzicadenti `e una successione arit- metica infatti per determinarla in modo ricorsivo, ad ogni passaggio si deve aggiungere sempre lo stesso numero di stuzzicadenti, individuabile gi`a os- servando le prime tre figure riportate nel testo del problema. Questo fatto ha favorito l’individuazione e l’applicazione di una strategia ricorsiva efficace.
Anche la successione del problema delle macchinine `e una successione aritmetica in cui la ragione costante da aggiungere ad ogni passaggio `e 4. Se
le due successioni sono strutturalmente uguali, cosa ha provocato l’ulteriore aumento del numero di studenti che hanno utilizzato la strategia ricorsiva in questo problema? Questa volta la causa non va ricercata nella natura della successione ma nella formulazione del problema. Infatti, a differenza del problema degli stuzzicadenti, la ragione costante da aggiungere ad ogni passaggio viene chiaramente indicata nel testo in cui si dice:
nella prima fila sistema 6 macchinine, nella seconda ne mette quattro in pi`u rispetto alla prima, nella terza quattro in pi`u rispetto alla seconda e cos`ı via. . .22
Le differenze fra i tre problemi hanno quindi avuto pi`u influenza, nella scelta della strategia da applicare, rispetto alle considerazioni fatte durante le discussioni, dal ricercatore e dagli studenti stessi, sulla maggiore velocit`a e sul minor numero di calcoli necessari utilizzando una strategia diretta.
Per trovare ulteriori concause dell’incremento degli studenti che utilizzano una strategia ricorsiva sono state analizzate le strategie utilizzate da questi studenti nei problemi precedenti, in particolar modo se la strategia ricorsiva era stata preceduta da una diretta.
Fra i 27 studenti che nel problema degli stuzzicadenti hanno utilizzato una strategia ricorsiva, 9 avevano utilizzato una strategia diretta nel pro- blema delle griglie quadrate. Si potrebbe ipotizzare che il passaggio da una strategia diretta ad una ricorsiva, oltre che dalle differenze fra i problemi gi`a commentate, possa essere causato dal fallimento della strategia diretta, ovvero dall’aver determinato una risposta errata nel problema delle griglie quadrate. Ma di questi 9 studenti, 5 hanno risposto correttamente al secon- do quesito numerico del problema delle griglie quadrate. Quindi il fallimento della strategia precedentemente utilizzata non `e il motivo dell’abbandono della strategia diretta verso una ricorsiva.
La strategia ricorsiva per il problema degli stuzzicadenti `e stata utilizzata anche dalla maggior parte degli studenti che nel problema delle griglie qua- drate avevano disegnato e contato. Di questi, che erano 14, 8 hanno scelto una strategia ricorsiva e solo 2 una diretta.
Se si effettua lo stesso tipo di analisi nel passaggio dal problema degli stuzzicadenti a quello delle macchinine, si trova che fra i 48 studenti che hanno utilizzato la strategia ricorsiva nel problema delle macchinine, 14 avevano utilizzato una strategia diretta in quello degli stuzzicadenti. Anche in questo
22L’enfasi, non presente nel testo del problema `e stata qui utilizzata per evidenziare le
caso la distribuzione fra chi aveva ottenuto un risultato corretto e chi aveva ottenuto un risultato errato `e sostanzialmente equa - rispettivamente 6 e 8. Quindi neanche in questo caso si pu`o attribuire al fallimento della strategia diretta la causa dell’abbandono di tale strategia per una ricorsiva.
In questo problema, il numero di chi utilizza una strategia ricorsiva `e stato incrementato anche da 12 dei 19 studenti che, nel secondo quesito arit- metico del problema degli stuzzicadenti, non avevano fornito alcuna risposta.
Con queste ultime osservazioni e per il fatto che questo comportamento relativo alle strategie ricorsive sia comune in tutte e cinque le classi si giunge alla conclusione che l’aumento del numero degli studenti che usano una stra- tegia ricorsiva `e dovuto principalmente alle caratteristiche delle successioni utilizzate e dei testi dei problemi. Quindi le caratteristiche dei problemi non influiscono solo sulla necessit`a di esplicitare una regola generale, come con- fermato dallo studio pilota, ma anche sul tipo di strategia messa in atto per rispondere ai quesiti aritmetici.
Nonostante tali caratteristiche, il numero complessivo di studenti che uti- lizzano una strategia diretta resta comunque costante e alcuni studenti passa- no da una strategia ricorsiva a una diretta: nel problema degli stuzzicadenti questo succede per 6 degli studenti che nel problema delle griglie quadra- te avevano usato una strategia ricorsiva; nel problema delle macchinine 11 fra gli studenti che nel problema degli stuzzicadenti avevano utilizzato una strategia ricorsiva, hanno poi applicato una strategia diretta. Come avviene dunque la genesi delle diverse strategie nella risoluzione di un problema sulle successioni? Il paragrafo che segue propone e argomenta una possibile rispo- sta a questa domanda.
Genesi evolutiva delle strategie attraverso le discussioni orali e i testi scritti degli studenti
L’ipotesi, formulata a priori sul fatto che il confronto delle strategie avreb- be portato ad un aumento di quelle dirette a discapito delle altre era stata rafforzata sia da alcune risposte fornite per il quesito di generalizzazione da coloro che avevano utilizzato una strategia ricorsiva o il disegno, sia dalle affermazioni fatte dagli studenti durante le discussioni. Ma mentre le aspet- tative sull’abbandono del disegno sono state soddisfatte, i dati riguardanti le strategie ricorsive sono in disaccordo con le risposte e i commenti degli studenti.
Di seguito vengono riportate le risposte ai quesiti di generalizzazione di studenti che pur avendo determinato la risposta ai quesiti aritmetici utiliz- zando una strategia ricorsiva, ne hanno evidenziato esplicitamente i difetti.
Siamo d’accordo con Fabio ma non `e molto pratico. Agg sempre 3 (Classe 1A; Problema degli stuzzicadenti)
S`ı, se ne hai voglia ma io non ne ho voglia perch´e ci impiego molto (Classe 1I; Problema degli stuzzicadenti)
No, secondo me non `e possibile perch´e non trovo il modo di associare il numero della fila al numero delle macchine se non scrivendole tutte (Classe 1A; Problema delle macchinine)
No, perch´e dovresti sapere il numero di macchine della figura prima e quelle della figura prima etc (Classe 1D; Problema delle macchinine) No, non saprei determinare sempre il numero di macchine col metodo che ho usato perch´e ci vorrebbe troppo tempo per calcolare (Classe 1E; Problema delle macchinine)
Gli aspetti negativi delle strategie ricorsive elencate, insieme alle altre, nella prima parte delle discussioni, erano stati evidenziati dagli studenti stes- si nel corso delle discussioni. Nella Tabella 4.31, ad esempio, `e riportato l’estratto della discussione avvenuta nella prima E dopo che un compagno ha spiegato la strategia ricorsiva da lui utilizzata per rispondere ai quesiti aritmetici delle griglie quadrate.
Tabella 4.31: Estratto della discussione sul problema delle griglie quadrate in seguito alla spiegazione della strategia ricorsiva utilizzata da un compagno (Classe 1E).
Ricercatore Chi userebbe il metodo di Christian?23
In quattro compreso Christian alzano la mano Ricercatore Ok. Invece il metodo che abbiamo ripassato
all’inizio?24
La maggior parte alza la mano [. . . ]
Studente In quello di Christian ci viole un sacco di tempo [. . . ]
Studente Arrivare ad un certo numero troppo alto poi ti confondi
23Si riferisce alla strategia ricorsiva proposta da uno studente. 24Si riferisce alla strategia diretta.
In questo estratto `e chiaro che la maggior parte della classe, potendo sce- gliere, utilizzerebbe la strategia diretta. Inoltre, lo studente che interviene sottolinea sia il maggior impiego di tempo sia il fatto che, se si deve deter- minare la risposta per una figura che ha un numero di posizione troppo alto, la quantit`a dei calcoli potrebbe far confondere chi lo applica.
Nell’estratto in Tabella 4.32 viene invece sottolineato il pregio della stra- tegia diretta di essere pi`u veloce. Il dialogo `e tratto dalla discussione nella prima D, dopo che tutte le tre strategie corrette individuate dagli studenti sono state elencate alla lavagna.
Tabella 4.32: Estratto del dialogo della discussione sul problema delle griglie quadrate durante il confronto delle diverse strategia. (Classe 1D).
.
Ricercatore
C’`e qualcuno che aveva usato un metodo di que- sti tre e adesso. . . invece, se lo dovesse rifare, cambierebbe metodo?
[. . . ]
Studente Io non c’ero l’altra volta per`o userei base per altezza25
Ricercatore perch´e useresti questo? Studente perch´e `e pi`u veloce
Anche nell’estratto in Tabella 4.33 le due strategie, diretta e ricorsiva, vengono confrontate dal punto di vista del tempo impiegato: lo studente che interviene afferma infatti sia che con la strategia ricorsiva impiegherebbe “tantissimo tempo” sia che con quella diretta invece “lo sai subito”.
Tabella 4.33: Estratto della discussione sul problema delle griglie quadrate. Sono state appena elencate e riportate alla lavagna le diverse strategie corrette utilizzate durante l’incontro precedente per rispondere ai quesiti aritmetici (Classe 1D).
Ricercatore Quindi questi metodi funzionano tutti?
Studente Nel secondo metodo se non hai una figura di partenza da ampliare non potrai mai sapere quanto. . .
[. . . ]
Insegnante Tu sai qual `e la figura di partenza? Sapresti individuarla?
continua nella pagina seguente
25Si riferisce alla strategia diretta che consente di determinare il numero di quadretti di
Tabella 4.33: continua dalla pagina precedente
Studente Ci vuole troppo tempo. . . direttamente fai base per altezza e lo sai subito
Ricercatore Stai confrontando questi due?26
Studente S`ı perch´e tu non puoi. . . che ne so io ho una figura 50. . . non posso. . . cio`e ci metto tantissimo tempo a risalire alla figura uno.
Nei due estratti che seguono, riportati nelle Tabelle 4.34 e 4.35, ai due tipi di strategie vengono associati gli aggettivi “lungo” e “scomodo” parlando del procedimento di tipo ricorsivo e “conveniente” e “pratici” parlando dei procedimenti di tipo diretto. Il primo estratto `e relativo alla discussione sul problema delle griglie quadrate avvenuta nella prima A; il secondo al problema degli stuzzicadenti nella prima I.
Tabella 4.34: Estratto della discussione sul problema delle griglie quadrate. Era stato appena illustrato un esempio per utilizzare il metodo ricorsivo proposto da due studenti (Classe 1A).
Ricercatore Funziona questo metodo? Tutti Si per`o `e lungo
Ricercatore E lungo! Perch´` e per sapere il numero dei quadretti di una figura cosa devo calcolare prima?
Tutti Tutte le altre / Tutte quelle prima Studente 1 Il pi`u conveniente `e il terzo in realt`a.27
Studente 2 Il primo e il terzo in realt`a.28
Studente 3 Il terzo ancora di pi`u. [. . . ]
Ricercatore Quale vi piace di pi`u? Tutti La terza!
[. . . ]
Ricercatore Quello pi`u scomodo di tutti qual `e? Tutti Il secondo!29
26Indica le due strategia, ricorsiva e diretta, riportate alla lavagna.
27Con “terzo metodo” si sta facendo riferimento alla strategia diretta che consente di
determinare il numero di quadretti di una figura n calcolando il quadrato del successore di n.
28Con “primo metodo” si sta facendo riferimento alla strategia di disegnare la figura e
contarne i quadretti.
Tabella 4.35: Estratto della discussione sul problema degli stuzzicadenti. Sono state illustrate ed elencate alla lavagna tutte le strategie corrette utilizzate negli elaborati (Classe 1I).
Ricercatore Facciamo cos`ı: c’`e qualcuno che cambierebbe il suo metodo per uno che c’`e scritto alla lavagna? Studente 1 Io il metodo di Riccardo30
Ricercatore Che metodo useresti? Studente 1 O Riccardo o Davide31
Ricercatore perch´e?
Studente 1 perch´e sono pi`u pratici [. . . ]
Studente 2 Io scambio con quello di Davide Ricercatore Quale avevi usato prima? Studente 2 Quello di Lorenzo32
Gli estratti riportati sopra mostrano quindi che, quando gli studenti con- frontano le due strategie dal punto di vista del numero di calcoli necessari, il tipo diretto sembra essere quello preferito. Nelle discussioni le strategie vengono per`o confrontate non solo dal punto di vista dell’economia nel cal- colo ma anche da quello della facilit`a. Gli studenti stessi utilizzano i termini “facilit`a” e “velocit`a” in alcuni casi contrapponendoli, mostrando quindi di considerare distinte queste due caratteristiche. `E un esempio l’estratto ri- portato in Tabella 4.36 tratto dalla discussione sulle griglie quadrate della prima D. Da questo estratto si evince che, nonostante la strategia ricorsiva sia oggettivamente pi`u lunga viene comunque percepita da alcuni come “pi`u facile” e “pi`u sicura” perch´e ricalca “il processo” che genera la successione. Tabella 4.36: Estratto del discorso sul problema delle griglie quadrate. Si stanno confrontando le diverse strategie utilizzate per rispondere ai quesiti aritmetici (Classe 1D).
Ricercatore
C’`e qualcuno che aveva usato un metodo di questi tre e adesso invece, se lo dovesse rifare, cambierebbe metodo?
[. . . ]
Nicola Io non c’ero l’altra volta per`o userei base per altezza33
continua nella pagina seguente
30Si riferisce ad una delle strategie dirette proposta da un compagno. Questo studente
aveva utilizzato invece una strategia ricorsiva.
31Si tratta di due strategie dirette. 32Si riferisce alla strategia ricorsiva. 33Si riferisce alla strategia diretta.
Tabella 4.36: continua dalla pagina precedente
Ricercatore perch´e useresti questo? Studente 5 perch´e `e pi`u veloce
Ricercatore perch´e `e pi`u veloce. . . Cosa dite Andrea, Tommaso e Jessica che avete scelto il secondo?34
Andrea Io sono d’accordo con Nicola per`o. . . io dico che comunque, anche se ci metto tanto a fare il secondo metodo. . . credo sia pi`u facile
Jessica La stessa cosa
Ricercatore E pi`` u facile fare questo?
Andrea E pi`` u veloce fare base per altezza. . .
Ricercatore E pi`` u veloce per`o perch´e sceglieresti questo?35
Jessica Perch´e `e pi`u facile
Andrea Perch´e penso che mi dia pi`u sicurezza di aver fat- to giusto. . . cio`e calcolando tutti so quello che `e esattamente giusto
Tommaso Il processo Studente Sono pi`u sicuro
Ricercatore Anche tu sei pi`u sicuro con questo? Studente S`ı
[. . . ]
Ricercatore Chiede chi userebbe la strategia diretta: 8 studenti alzano la mano.
Ricercatore Chiede quindi chi userebbe la strategia ricorsiva: 14 studenti alzano la mano.
Ricercatore Samuel anche tu useresti questo? Samuel S`ı
Ricercatore perch´e ti piace di pi`u? Samuel E pi`` u facile
La facilit`a che gli studenti associano alle strategie ricorsive non `e relativa solo alla loro applicazione ma anche alla sua individuazione, soprattuto se la successione `e di tipo aritmetico per i motivi gi`a discussi. In questo studio il passaggio da una strategia ricorsiva a una diretta `e inteso come un’evo- luzione per il fatto che l’applicazione di una strategia diretta presuppone l’individuazione di una relazione fra la posizione dell’elemento e il numero di oggetti di cui `e composto, relazione che invece non `e necessario riconoscere per utilizzare una strategia ricorsiva. Gli estratti che seguono mostrano che
34Si riferisce alla strategia ricorsiva. 35Si riferisce alla strategia ricorsiva.
in alcuni casi l’individuazione di una strategia diretta `e in realt`a preceduta dall’individuazione di una ricorsiva. Quindi, nell’evoluzione delle strategie, quella ricorsiva “precede” quella diretta non soltanto metaforicamente per quanto spiegato, ma anche temporalmente nella genesi delle diverse strate- gie. Gli estratti nelle Tabelle 4.37 e 4.38 dimostrano che effettivamente il primo procedimento che viene individuato da queste due coppie di studenti, e anche applicato per rispondere al primo quesito, `e di tipo ricorsivo ma, en- trambe le coppie, affermano di dover trovare una strategia per “velocizzare” l’individuazione della risposta. Nel secondo estratto addirittura affermano di voler trovare una strategia “un po’ pi`u facile” associando, al contrario di quanto accaduto in altre discussioni, la facilit`a alla velocit`a.
Tabella 4.37: Estratto del dialogo di due studenti della prima A che, lavorando in coppia, cercando di rispondere al primo quesito aritmetico del problema degli stuzzicadenti.
Elias
Quindi si va sempre avanti di tre Ale. . . quattro sette. . . sette dieci. . . quattro pi`u tre sette. . . sette pi`u tre dieci
Alessandro E vero perch´` e vedi
Elias Per`o dobbiamo trovare un modo per velocizzare un pochino le cose
Alessandro Quindi nella figura quattro ce ne saranno tredici Elias E ma non dobbiamo. . . non possiamo farlo uno
alla volta come facevo io36. . . dobbiamo arrivare direttamente a uno
Tabella 4.38: Estratto del dialogo di due studenti della prima A che, lavorando in coppia, cercano di rispondere al primo quesito aritmetico del problema degli stuzzicadenti. Hanno appena capito che aggiungendo ricorsivamente tre al numero degli stuzzicadenti di una figura si trova il numero di stuzzicadenti di quella successiva.