L’attivit` a con la quinta primaria

La classe

La scuola primaria a cui appartiene la quinta che ha partecipato all’attivit`a fa parte di un istituto comprensivo di Cagliari che comprende, oltre alla scuola primaria, anche scuola dell’infanzia e secondaria di primo grado.

La classe `e composta da 24 alunni di cui 18 maschi e 6 femmine. Due dei bambini sono DSA ma l’insegnante ha segnalato la presenza di altri 6 studenti con difficolt`a di apprendimento.

La modalit`a del laboratorio `e utilizzata spesso dell’insegnante di questa classe, gli studenti sono quindi abituati a lavorare in gruppo. L’aula `e in- fatti concretamente organizzata in “isole” formate dai banchi raggruppati. Problemi sulle successioni di figure erano gi`a stati proposti dall’insegnante durante l’anno scolastico.

I problemi

La risoluzione del problema `e stato divisa in due fasi: una prima fase di lavoro individuale e una seconda fase di lavoro di gruppo.

Durante il lavoro individuale e di gruppo agli studenti `e stato chiesto di rispondere a domande diverse relative per`o alla stessa successione di figure consistente in griglie quadrate formate da quadretti tutti uguali.

I testi delle schede utilizzate durante il lavoro individuale e di gruppo sono riportati rispettivamente nelle Tabelle 4.1 e 4.2.

Le due schede sono state costruite rielaborando il quesito 7 della prova invalsi per la classe quinta primaria dell’anno scolastico 2008/2009.

Si `e deciso di far risolvere individualmente il quesito relativo alla figura 10 in modo che ogni studente potesse individuare autonomamente la struttura della successione e potesse scegliere da solo la strategia con cui individuare la risposta.

Le strategie possibili, individuate a priori, erano le seguenti:

• disegnare successivamente ogni figura e contarne i quadretti fino ad arrivare alla figura richiesta dal quesito;

• disegnare solo la figura richiesta e contare i quadretti;

• determinare il numero dei quadretti di ogni figura utilizzando una strategia ricorsiva;

Tabella 4.1: Testo del problema delle grigie quadrate usato nella fase di lavoro individuale nella quinta primaria.

Problema: Le tre figure seguenti sono formate da quadretti tutti uguali.

Da quanti quadretti `e formata la Figura 10?

• determinare il numero dei quadretti di ogni successiva figura calcolando il prodotto del numero dei quadretti della base e dell’altezza;

• determinare il numero dei quadretti della figura richiesta moltiplicando il numero dei quadretti della base per quello dei quadretti nell’altezza senza calcolare quello delle figure precedenti.

Nella scheda utilizzata per il lavoro di gruppo una parte del quesito richie- de che si scriva la motivazione delle risposte fornite. La richiesta “Spiegate perch´e” non `e stata posta per ciascuna figura ma `e stata inserita dopo le domande relative alle due figure. Questo perch´e si voleva indurre a cercare una giustificazione unica per entrambe le risposte che portasse quindi ad una spiegazione generale non riferita all’operazione specifica eseguita per ciascu- na figura.

Le tipologie di risposta attese erano dunque le seguenti:

• motivazione basata sul risultato delle operazioni svolte ma senza spie- gazione o giustificazione del procedimento utilizzato;

• spiegazione o giustificazione a parole del procedimento utilizzato con riferimento ai calcoli specifici effettuati sulla figura oggetto del quesito; • spiegazione o giustificazione generale, ovvero senza riferimento alla par- ticolare figura utilizzata, del procedimento o dell’algoritmo utilizzato,

Tabella 4.2: Testo del problema delle grigie quadrate usato nella fase di lavoro di gruppo nella quinti primaria.

Problema: Le tre figure seguenti sono formate da quadretti tutti uguali.

Marco afferma: “La Figura 12 sar`a composta da 144 quadretti!!!”

Marta aggiunge: “La Figura 25 sar`a formata da 225 quadretti!!”

Siete d’accordo con Marco? E con Marta? Spiegate perch´e.

senza far riferimento al numero della figura ma solo a “base”, “altezza” o “lato”;

• spiegazione o giustificazione generale, ovvero senza riferimento alla par- ticolare figura utilizzata, del procedimento o dell’algoritmo utilizzato, facendo riferimento al numero della figura o alle figure precedenti; • spiegazione o giustificazione generale dell’algoritmo utilizzato anche

mediante linguaggio simbolico, eventualmente con simboli non canonici, con riferimento al numero della figura.

Per i quesiti del lavoro di gruppo sono state scelte figure per le quali il numero di quadretti aumentasse notevolmente rispetto alla precedente: l’i- potesi era che una figura pi`u grande scoraggiasse l’utilizzo della stratega del disegno e del conteggio in chi l’avesse eventualmente utilizzata per le figure precedenti. Lo scopo era infatti quello di favorire una strategia aritmeti- ca che potesse quindi essere giustificata attraverso la descrizione, mediante linguaggio verbale o simbolico, dell’algoritmo applicato.

Organizzazione del laboratorio

L’attivit`a `e stata suddivisa in quattro fasi.

Come anticipato, la prima fase `e stata di lavoro individuale sul problema in Tabella 4.1. Questa fase `e durata poco pi`u di dieci minuti dopo i quali tutti gli studenti avevano risposto al quesito.

La successiva discussione collettiva, gestita dal ricercatore, aveva sia lo scopo di verificare che tutti avessero individuato la risposta corretta, sia di dare l’opportunit`a agli studenti di condividere la strategia utilizzata in modo che tutti potessero riflettere sull’esistenza di altre strategie corrette. Tutti gli studenti erano concordi su quale fosse la risposta esatta e anche la descrizione delle diverse strategie non ha richiesto molto tempo. Quindi anche questa fase di discussione ha richiesto pochi minuti.

Durante la terza fase gli studenti, suddivisi in gruppi, hanno lavorato sulla scheda in Tabella 4.2. Ogni gruppo ha ricevuto una scheda collettiva in cui scrivere la risposta condivisa elaborata dopo la discussione. Oltre a questa scheda `e stata distribuita ad ogni componente del gruppo una scheda individuale su cui poter scrivere durante la discussione, prima di elaborare la risposta collettiva. La suddivisione in gruppi era quella abituale della classe, realizzata utilizzando criteri di omogeneit`a, quindi ogni gruppo era formato da studenti considerati dello stesso livello. Il lavoro in gruppo ha occupato 25 minuti.

L’ultima fase `e stata finalizzata alla discussione collettiva sulle risposte date ai quesiti durante il lavoro di gruppo.

La prima parte della discussione `e stata dedicata alla spiegazione da parte di ciascun gruppo, del procedimento utilizzato per rispondere ai due quesiti: il portavoce di ciascun gruppo ha quindi riportato sulla LIM la risposta scritta nella scheda.

La seconda parte `e stata dedicata a eventuali chiarimenti, forniti dagli alunni stessi, e discussioni sui procedimenti illustrati.

Dati raccolti con l’analisi degli elaborati

Le risposte fornite durante il lavoro individuale sono state classificate, sulla base dell’analisi a priori riportata a pag. 71, sia in base alla strategia risolu- tiva adottata, sia in base al tipo di spiegazione fornita. Nonostante non fosse esplicitamente richiesto nel testo del quesito, infatti, tutti gli studenti hanno fornito una giustificazione della risposta data.

Tutti gli studenti tranne uno hanno fornito la risposta corretta. Delle 5 strategie contemplate solo tre sono state effettivamente utilizzate per rispon- dere alla domanda sulla figura 10: un unico studente, che `e lo stesso che ha

fornito la risposta errata, ha disegnato la figura 10 e ha contato i quadretti, tutti gli altri hanno determinato la risposta moltiplicando 10 × 10.

Per quanto riguarda la tipologia di spiegazione fornita si sono verificate 4 delle 5 possibilit`a previste: 18 studenti hanno fornito una giustificazione facendo esclusivamente riferimento al caso particolare della figura 10 che era l’oggetto del quesito (un esempio `e mostrato in Figura 4.1(a)); 2 studen- ti hanno scritto una spiegazione generale utilizzando propriet`a geometriche delle figure ovvero base e altezza (Figura 4.1(b)); uno studente ha fornito una spiegazione generale facendo anche riferimento al numero della figura (Figu- ra 4.1(c)); un solo studente non ha giustificato a parole il risultato scrivendo solamene l’operazione effettuata (Figura 4.1(d)).

(a)

(b)

(c) (d)

Figura 4.1: Esempi di giustificazione della risposta fornita.

Nella seconda parte dell’attivit`a, tutti i gruppi hanno fornito la rispo- sta corretta eseguendo la moltiplicazione per determinare esclusivamente il numero di quadretti della figura richiesta nei quesiti. Le tipologie di spiega- zione che si trovano nelle scheda collettiva sono solo due: tre gruppi hanno fornito una spiegazione per ciascuna delle due figure, facendo riferimento al caso specifico; due gruppi hanno giustificato separatamente le due risposte

riferendosi esclusivamente al risultato della moltiplicazione effettuata senza spiegare la scelta dell’operazione.

Le risposte che si trovano nei fogli individuali di ciascun gruppo sono pres- soch´e le stesse, se non addirittura identiche, di quelle riportate nella scheda collettiva. Questo accade in tutti i gruppi tranne in quello che l’insegnante aveva presentato come formato dai pi`u forti della classe. Nelle schede indi- viduali di questo gruppo infatti le tipologie di spiegazione sono varie e tra queste si trova quella pi`u vicina alla generalizzazione fra tutte quelle pro- dotte nell’intera attivit`a con questa classe, mostrata in Figura 4.2(a). La giustificazione che per`o `e stata riportata nella risposta condivisa, mostrata in Figura 4.2(b) fa solo riferimento al risultato delle moltiplicazioni, senza ulteriori spiegazioni.

(a) Giustificazione fornita da un componente del gruppo.

(b) Giustificazione collettiva.

Figura 4.2: Alcune risposte del gruppo formato dagli studenti segnalati come pi`u forti.

Osservazioni

Il fatto che sia nella parte del lavoro individuale che in quella del lavoro di gruppo sostanzialmente tutti abbiano risposto correttamente determinando la risposta con la sola moltiplicazione, insieme al poco tempo utilizzato per individuare le risposte corrette, indicano che il problema era particolarmente facile per il livello di competenze della classe. Il problema infatti era stret- tamente connesso con le competenze riguardanti il concetto di area di una figura piana, in particolare del quadrato, che quindi `e ben noto e radicato negli studenti di questa quinta.

Quasi tutti hanno fornito una buona e completa giustificazione del pro- cedimento utilizzato ma restando per`o nell’ambito aritmetico della figura specifica, fornendo una giustificazione per ciascuna figura. Questo compor- tamento `e indice del fatto che la tendenza `e di restare nell’ambito aritmetico, solo in rari casi si ha uno spontaneo spostamento verso un pensiero pi`u al- gebrico, secondo la definizione usata in questo studio (si veda il Paragrafo 3.1.1) spiegando in termini generali come operare con una qualsiasi figura della successione.