ontogenica?
Il Progetto ArAl, cos`ı come tutti gli studi che propongono di partire dal- la scuola primaria per prevenire le future difficolt`a in algebra, `e inquadrato
7La presentazione del Progetto ArAl, la descrizione delle attivit`a e dei
risultati e le pubblicazioni relative alle ricerche sono consultabili nel sito http://www.aralweb.unimore.it/site/home.html
nello stesso ambito dell’early algebra, ovvero degli studi che sostiengono ad- dirittura la possibilit`a di introdurre gi`a a questo livello l’insegnamento di un’algebra precoce. In D. Carraher, Brizuela, e Schliemann (2000) ; D. Car- raher, Schliemann, e Brizuela (2001) ; D. Carraher e Schliemann (2002) ; D. W. Carraher, Martinez, e Schliemann (2008) ; A. D. Schliemann, Car- raher, e Brizuela (2000) ; A. Schliemann, Carraher, e Brizuela (2012) sono illustrati e sono riportati i risultati di alcuni dei teaching experiments realiz- zati partendo dalla congettura che fin dall’et`a di 9 anni i bambini siano in grado di lavorare con le incognite, di risolvere semplici equazioni lineari e di scrivere con il linguaggio dell’algebra le relazioni che sussistono fra grandezze note e incognite di un problema.
Questi studi si contrappongono a quelli pi`u classici riguardanti l’et`a ot- timale per l’introduzione all’algebra in cui si sostiene che fino ad una certa et`a gli studenti non possiedano ancora il grado di astrazione e di maturit`a cognitiva necessario per affrontare l’algebra.
Una prima linea di demarcazione in questo senso `e stata ipotizzata da Filloy e Rojano (1989) come risultato dell’analisi uno studio precedente (Filloy & Rojano, 1984) in cui veniva chiesto a studenti che non avevano ancora in- contrato l’algebra di risolvere alcune equazioni. Il risultato di questa analisi `
e stata l’individuazione di un didactic cut che, secondo gli autori, si verifi- ca nel momento in cui gli studenti incontrano per la prima volta equazioni lineari con occorrenze dell’incognita in entrambi i membri. Per questo mo- tivo distinguono fra equazioni “aritmetiche” – del tipo ax + c = d − e – e equazioni“non aritmetiche” – del tipo ax + b = cx + d, eventualmente con d = 0. Infatti mentre il primo tipo di equazioni pu`o essere risolto applicando ordinatamente a d − e le operazioni inverse di quelle che compaiono a primo membro, il secondo tipo di equazioni viene risolto dal loro campione di stu- denti solo per prove ed errori. Gli autori affermano quindi che la transizione dalla risoluzione di equazioni del primo tipo a quella del secondo tipo non `
e immediata ma “it’s necessary to construct, or acquire, some elements of an algebraic syntax, properly speaking”(ivi, pag. 19). Affinch`e gli studenti riescano in questa transizione sono necessari dei cambiamenti nelle abitudini aritmetiche, cambiamenti che non possono avvenire spontaneamente. Allo stesso tempo le conoscenze aritmetiche devono essere preservate. “What is required is an operational level of knowledge which can be placed between the arithmetical and the algebraic one, i.e. a level of pre-algebraic knowledge” (ivi, pag. 20). ”
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E con lo scopo di individuare i limiti delle procedure informali utilizzate dagli studenti per cimentarsi con il calcolo letterale che Herscovics e Linche- vski (1994) hanno realizzato uno studio sottoponendo a 27 studenti di 12-13
anni (quindi di una classe corrispondente al secondo anno della scuola secon- daria di primo grado italiana) una batteria di 29 equazioni che differivano fra loro per le operazioni coinvolte, il numero di occorrenze dell’incognita e il fatto che l’incognita comparisse o meno in entrambi i membri dell’equazione. L’analisi dei risultati di tale studio porta i due ricercatori a rifiutare la tesi del didactic cut di Filloy e Rojano definendo la linea di demarcazione fra aritmetica e algebra in termini di cognitive gap dovuta a “the inability to operate with or on the unknown”(ivi, pag. 63). La giustificazione a questa affermazione sta nel fatto che
at no time did we see any evidence of students directly performing operations on or with the unknown. Thus we can conclude that students solve these equations by working around the unknown at a purely numerical level”.(Herscovics & Linchevski, 1994, pag. 70)
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E chiaro il fatto che venga riconosciuta l’esistenza di un ostacolo ontolo- gico nel passaggio dall’aritmetica all’algebra. Gli autori scrivono infatti
If even after an introduction to algebra, students experience dif- ficulties in performing operations with or on a letter represen- ting an unknown or a generalized number, one can hardly expect them to do so spontaneously without any instruction. Although the letter in an equation or on algebraic expression may have a numerical referent in the pupil’s mind, this does not necessarily render it operational. Meaning for these operations with literal symbols still has to be constructed. (ivi, pag. 63)
Le ricerche basate sull’algebrizzazione dell’aritmetica e le attivit`a proget- tate nell’ambito dell’early algebra dimostrano la possibilit`a che gli studenti siano in grado di comprendere il significato di una lettera in un’espressione algebrica addirittura gi`a alla scuola primaria. Questo non significa che essi siano in grado da soli di applicare spontaneamente le regole per operare con le incognite ma probabilmente sarebbero in grado di “scoprirle” e compren- derne il significato gi`a al primo anno della scuola secondaria di primo grado se opportunamente guidati dall’insegnante. E probabilmente le difficolt`a e gli atteggiamenti negativi degli studenti nei confronti dell’algebra potreb- bero derivare anche dal fatto che incontrino questo nuovo modo di parlare di numeri e operazioni troppo tardi, ovvero dopo che per sette anni hanno interpretato i simboli della matematica utilizzando i tradizionali significati dell’aritmetica.