In alternativa alle tecniche di regressione, vi sono le tecniche di misurazione non parametriche, ossia tecniche di programmazione lineare. Le più conosciute sono due:
1. la Data Envelopment Analysis (DEA); 2. la Free Disposal Hull (FDH).
La Data Envelopment Analysis è una tecnica (di frontiera, non parametrica, deterministica) che prende in esame un insieme di unità operative omogenee (Decision Making Units) al fine di valutarne l’efficienza relativa.
La DEA permette di classificare (ranking) le diverse unità operative distinguendo quelle efficienti da quelle inefficienti.
Tale tecnica sta ricevendo molti consensi in letteratura per quanto riguarda la sua applicazione alla misura della produttività degli ospedali, in quanto consente di tenere conto del carattere eterogeneo dell’output erogato dalle diverse unità decisionali27. Come detto, essa si caratterizza per la possibilità di determinare l’efficienza relativa di unità decisionali simili in assenza di una dettagliata descrizione del processo produttivo, cioè senza che venga predeterminato un certo numero di parametri al fine di spiegare la
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La DEA è stata ampiamente utilizzata nell’ambito della produzione di servizi pubblici (Coelli et al., 2005; Cooper et al., 2006).
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struttura dell’insieme di produzione e ciò sembra rendere tale approccio particolarmente flessibile e generalizzabile. Utilizzando tecniche proprie della ricerca operativa, il modello DEA determina l’efficienza di ciascuna unità produttiva comparando la sua tecnologia con tutte le possibili tecnologie derivanti dalla combinazione lineare delle produzioni osservate per le altre unità produttive considerate. Inoltre, il metodo non richiede la definizione di una funzione obiettivo valida per tutti e lascia, anzi, a ciascuna unità decisionale la possibilità di ponderare gli input e gli output, in modo da massimizzare il proprio indice di efficienza rispetto alle altre28.
Per enunciare il modello DEA, si considerino m output, k input ed n imprese. Per ciascuna impresa vogliamo ottenere una misura del rapporto tra tutti gli output e tutti gli input, , dove è un vettore (mx1) dei pesi dell’output e è un vettore (kx1) dei pesi degli input. Si ipotizzino rendimenti di scala costanti (Dea-Rsc). I pesi ottimi sono ottenuti risolvendo il seguente problema di programmazione lineare per l’impresa i-esima:
sotto i vincoli
Occorre individuare i valori per u e v in modo tale che la misura di efficienza per l’impresa i sia massima, rispettando il vincolo che tutte le misure di efficienza siano inferiori o uguali a uno. Tale formulazione presenta l’inconveniente di avere un numero infinito di soluzioni. Questo problema può essere risolto introducendo il vincolo v’xi = 1. Utilizzando la dualità nella
programmazione lineare è possibile riformulare il problema nel seguente modo:
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Un'altra caratteristica desiderabile della DEA è che consente di dare delle indicazioni su come le unità produttive non efficienti potrebbero rendersi efficienti, utilizzando il concetto di gruppo di riferimento (peer group) di unità decisionali efficienti che producono un output simile (per quantità e qualità) a quello dell’unità inefficiente.
94 sotto i vincoli
dove è uno scalare e è un vettore di costanti (nx1). Tale formulazione implica un numero inferiore di vincoli rispetto alla precedente formulazione (k+m < n+1) e viene in genere preferita. Il problema prende in considerazione l’impresa i-esima e cerca di contrarre radialmente il vettore degli input xi il più
possibile pur rimanendo nell’insieme degli input utilizzabili. La contrazione radiale del vettore degli input xi genera un punto di proiezione (X , Y ) sulla
frontiera. Tale punto è una combinazione lineare di altri punti osservati. Il valore di così ottenuto rappresenta l’indicatore di efficienza per l’impresa i-esima. Ciascun è inferiore o uguale a uno. Un valore pari a uno indica che l’impresa i-esima è situata sulla frontiera e, pertanto è tecnicamente efficiente. Tale problema di programmazione lineare deve essere risolto n volte, una volta per ciascuna impresa. Infine, occorre puntualizzare come l’isoquanto rispetto al quale ciascuna impresa viene comparata è del tipo convesso lineare a tratti. In altre parole, l’isoquanto viene costruito in modo tale che ciascuna osservazione sia a destra o al di sopra dell’isoquanto. Si veda la figura 3.2 nel caso di due input e un output.
Figura 3.2 - Isoquanto Dea
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X2.
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.
.
.
X1 L(y)95
L’ipotesi di rendimenti di scala costanti è valida solo quando tutte le imprese operano in corrispondenza della scala ottima. Banker, Charnes e Cooper (1984) suggeriscono un’estensione al modello appena analizzato ipotizzando rendimenti di scala variabili (Dea-Rsv).
Il problema di programmazione lineare deve essere modificato introducendo il vincolo aggiuntivo di convessità (N1)’ =1, dove (N1) è un vettore di dimensione (nx1) composto unicamente dalla costante 1. Il nuovo problema viene così definito:
sotto i vincoli
Tale vincolo garantisce che ciascuna impresa inefficiente venga confrontata con imprese di dimensione simile. In altre parole, il punto che viene proiettato sulla frontiera è una combinazione convessa delle imprese osservate. Tale restrizione di convessità non viene imposta nel caso di rendimenti di scala costanti, dove la somma dei può assumere un valore maggiore o minore di uno (figura 3.3).
Figura 3.3 - Frontiere di produzione Dea-Rsc e Dea-Rsv
X
Y Rsc
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Le misure dell’efficienza tecnica possono essere di due tipi, orientate all’input e orientate all’output. In base alla prima definizione si cerca di rispondere alla domanda “quanto possono essere ridotte proporzionalmente le quantità degli input utilizzati a parità di output?”. In base alla seconda definizione si può chiedere “quanto possono essere aumentate proporzionalmente le quantità dell’output a parità di input impiegati?”. Sino ad ora tutte le definizioni presentate sono del tipo input-oriented. È possibile dimostrare che in presenza di rendimenti di scala costanti le due misure sono equivalenti. Nella figura 3.4 viene rappresentata una tecnologia con un solo
output e un solo input. La misura dell’efficienza input oriented è pari a AB/AP.
La misura dell’efficienza output oriented è pari a CP/CD. Le due misure sono identiche.
Lo stesso non si può dire in presenza di rendimenti di scala variabili (in questo caso decrescenti) come rappresentato nella figura 3.5.
D Y C X F(x) B A Y C X B P A D F(x)
Figura 3.5 - Frontiera di produzione. Rendimenti di scala variabili Figura 3.4 - Frontiera di produzione. Rendimenti di scala costanti
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Il modello di Free disposal hull (FDH) indebolisce l’ipotesi di convessità dell’insieme di produzione. Le uniche due ipotesi che vengono mantenute sono le seguenti: 1) la frontiera di produzione deve contenere tutti gli insiemi di produzione osservati; 2) la frontiera deve contenere come propri elementi tutti gli insiemi di produzione caratterizzati da un livello dell’output inferiore o uguale agli insiemi di produzione osservati e da un livello di input superiore o uguale agli insiemi di produzione osservati. Questa ipotesi è conosciuta con il nome di Free disposal hull. In termini più analitici per determinare il grado di efficienza per ciascun insieme di produzione osservato occorre risolvere il seguente problema di programmazione lineare:
sotto i vincoli
Occorre puntualizzare come tale problema differisce dalla Dea con rendimenti di scala variabili nella restrizione imposta sui valori di . In particolare il vincolo (N1)' = 1 di convessità della Dea viene ora sostituito con il vincolo di Free disposal hull .
In termini grafici l’isoquanto stimato e la frontiera di produzione sono rappresentati nelle figure 3.6 e 3.7. Anche per questa tecnica si può adottare un approccio orientato all’input o all’output con considerazioni analoghe a quelle sviluppate per la Dea.
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