TIPICA LUNGHEZZA D'ONDA λ (µm)
2.4. LA TEORIA DELLA SIMILARITÀ
2.4.2 La Teoria della Similarità per l’intero PBL
( )
>
+
<
= +
0 per 5
1
0 per 5
. 0
1 23 32
*3 ζ ζ
ζ ε ζ
u
kz [2.99b]
2.4.2 La Teoria della Similarità per l’intero PBL
La limitazione principale della teoria della Similarità di Monin-Obukhov sta nella possibilità di prevedere il profilo verticale delle principali variabili meteorologiche (medie ed i principali momenti di ordine superiore) solo nel SL e ciò è dovuto al fatto che essa considera come variabili rilevanti solo la forzante meccanica (u*), la forzante convettiva (H0) ed il
0.01 0.10 1.00
Parametro di Stabilit - z/L 0.1
1.0 10.0
σT/|T*|
galleggiamento (g T). Se, però, si inserisce tra le variabili rilevanti anche l’estensione verticale del PBL (zi), è ancora possibile sviluppare una teoria della Similarità che tenga conto dell’effetto di confinamento esercitato dal PBL stesso. I risultati ottenuti sono notevolissimi (soprattutto grazie a nuove misure in quota ora disponibili) ed in pratica attualmente sono disponibili relazioni di Similarità che di fatto costituiscono un modello di PBL diagnostico totalmente algebrico valido quando ci si trova in situazioni di elevata omogeneità orizzontale ed in condizioni quasi-stazionarie. Va però sottolineato che le relazioni di Similarità valide per l’intero PBL così ottenute presentano ancora un elevato grado di incertezza nelle situazioni stabili sia per le difficoltà di misura che esse presentano sia per l’insorgere di fenomeni oscillatori che si generano sull’atmosfera stabile (es. onde di gravità) e che si vanno a sovrapporre alla turbolenza.
2.4.2.1 Il profilo verticale del vento
Il profilo verticale del vento è l’oggetto principale della Teoria della Similarità di Rossby, ben descritta in Sorbjan (1989) e Garratt (1992). Una delle Relazioni di Similarità più usate è quella che deriva da Zilitinkevich (1989) e Yamada (1976), nella forma proposta da Ratto (1996), valida per l’intero PBL sia in condizioni convettive, che in situazioni adiabatiche e stabili. Dato un sistema di assi cartesiani ortogonali con l’asse x orientato nella direzione media del vento al suolo (o ad una quota di riferimento zr prossima al suolo), le due componenti orizzontali del vento ad una generica quota z (ux e uy) sono date dalla relazione seguente:
( ) ( )
I coefficienti a e b dipendono dalla stabilità atmosferica ed in particolare dal parametro
( )
fL ku*µ= . Si nota immediatamente come una tale relazione possa essere impiegata solo lontano dall’equatore, dove f si annulla e µ tende all’infinito. Premesso ciò, la dipendenza dei coefficienti presenti nelle relazioni precedenti dal parametro µ è la seguente:
- nelle situazioni convettive si ha che:
µ µ - nelle situazioni adiabatiche si ha che:
−4
µ =
a a*µ =4.5 bµ =−10 bµ* =5.5 - nelle situazioni stabili si ha che:
µ =−4.0−10.20 µ
2.4.2.2 Il profilo verticale della temperatura potenziale
Nell’ambito della Teoria della Similarità di Rossby sono state proposte anche delle Relazioni per descrivere il profilo verticale della temperatura potenziale media, una delle quali (Yamada 1976, Brutsaert 1982, Garratt 1992 e Stull 1988), è:
( )
θ[ ( ) ( ) ( )
µ]
θ z − )=−T* k⋅ ln h z +ΨH z L −C
[2.101a]
in cui θ)è una temperatura potenziale di riferimento, spesso definita come il valor medio entro il PBL della temperatura potenziale, h è l’altezza del PBL, ΨH è la funzione di Similarità nel SL per la temperatura, µ è il parametro di stabilità µ=h Le C è la Funzione Universale di Similarità di Rossby che, secondo Yamada (1976) è data dalle relazioni seguenti:
( ) ( )
La presenza diθ) rende la (2.101a) impossibile da usare direttamente, quindi per la determinazione del profilo verticale di temperatura potenziale entro il PBL, si può adottare la metodologia seguente:
- sia nota la temperatura potenziale ad una quota di riferimento zr, prossima al suolo; con tale informazione, noti anche i parametri che caratterizzano la turbolenza del SL (u*, T* e L) e del PBL (h) è possibile dalla (2.101a) ottenere il valore diθ);
- noto θ), l’impiego diretto della (2.101a) fornisce il profilo desiderato entro l’intero PBL.
Questa relazione di Similarità, nelle situazioni convettive, è in grado di riprodurre il profilo verticale della temperatura potenziale media solo fino alla sommità dello Strato Rimescolato (Mixed Layer) ma non può descrivere il forte gradiente positivo che si riscontra nell’entrainment layer. Metodi per superare tale limitazione sono riportati in Sozzi e al. (2002).
2.4.2.3 Il profilo verticale della varianza delle componenti del vento
Qui di seguito si farà riferimento ai risultati ottenuti da Rodean (1996) nel suo lavoro di sintesi dell’enorme massa di risultati sperimentali e teorici attualmente disponibili sull’argomento.
Il profilo verticale della varianza della componente verticale del vento.
Le misure disponibili suggeriscono che la varianza della componente w del vento nelle
situazioni convettive è il risultato della sovrapposizione di due distinti contributi: il primo deriva principalmente dalla turbolenza di origine meccanica, ben rappresentata da u* e quindi proporzionale alla velocità del vento oltre che al livello di stabilità del SL, mentre il secondo contributo deriva dall’azione della convettività presente, cioè dell’effetto combinato del flusso di calore sensibile, del galleggiamento e dell’effetto di costrizione esercitato dall’estensione verticale zi del PBL. Questo secondo contributo è ben rappresentato globalmente dalla velocità convettiva di scala w*.. Tutti questi contributi sono stati evidenziati nei differenti lavori pubblicati ed in particolare in Hicks (1985), Nieuwstadt (1984) e Caughey e al. (1979). Dalla composizione di tutti questi contributi parziali è nata la Relazione di Similarità seguente:
( )
*2( )
32 *2( ) (
23)
22 z 1.7u 1 z h 1.3w z h 1 0.8z h
w = − + −
σ [2.102a]
dove con h si è indicata l’estensione verticale del PBL (sia stabile che convettivo). E’ importante sottolineare che la (2.102a) può essere usata sia nelle situazioni convettive che in quelle stabili, una volta che in queste ultime w* è stato posto a zero, e che quindi è in grado di rappresentare in maniera continua la transizione dalle condizioni diurne a quelle notturne.
Il profilo verticale della varianza delle componenti orizzontali del vento.
La prima domanda che ci si pone è se nel PBL le due componenti orizzontali del vento presentino la medesima deviazione standard. In Letteratura sono state espresse opinioni contrastanti, tuttavia visto che comunque le differenze sono relativamente piccole (se esistono), seguendo Lenschow e al. (1988) esse sono state ritenute uguali. Rodean, nel già citato lavoro, sintetizzando i risultati ottenuti in Caughey e Palmer (1979), Hicks (1985) e Lenschow e al.
(1988), ha ottenuto la relazione seguente:
( )
2( )
*2( )
32 *22 z v z 4.5u 1 z h 0.33w
u =σ = − +
σ [2.102b]
Anche in questo caso h è l’estensione verticale del PBL ed anche in questo caso la Relazione di Similarità si applica sia alle situazioni convettive che a quelle stabili, ricordando che per queste ultime w* viene considerato nullo.
2.4.2.4 Il profilo verticale della varianza della temperatura potenziale
Per quanto riguarda la varianza della temperatura potenziale, le misure disponibili sono veramente poche e le incertezze molte. Seguendo Sorbjan (1989), nelle situazioni convettive si può considerare la Relazione di Similarità seguente:
( ) (
23)
43( ) (
43)
232
*
2 T =2 z h − 1−z h +0.94 z h 1−z h −
σT [2.103a]
mentre da Caughey e al. (1979) è possibile derivare la seguente Relazione di Similarità valida per le condizioni stabili:
( )
*2( )
42 z T 61 z h
T = −
σ [2.103b]
L’impiego di queste relazioni deve essere molto cauto, dato che esse si basano su un numero di misure estremamente esiguo.
2.4.2.5 Il profilo verticale della dissipazione di energia cinetica turbolenta
La misura della dissipazione di energia cinetica turbolenta nel PBL è fuori dalla portata delle possibilità sperimentali attuali e i dati attualmente disponibili sono molto pochi. Di conseguenza definire una Relazione di Similarità per tale parametro è difficile e l’incertezza intrinseca è molto elevata, anche se nelle applicazioni pratiche, soprattutto legate alla modellizzazione della dispersione degli inquinanti, è necessario disporre di una relazione che ne descriva almeno il profilo verticale. In Rodean (1996) e in Rotach e al. (1995) sono disponibili informazioni al riguardo. In particolare, seguendo Rotach e al. (1995), si giunge alla Relazione di Similarità seguente, anch’essa valida sia nelle situazioni convettive che in quelle stabili (in cui w* è nullo):
( ) ( )
L’enorme sforzo sperimentale realizzato in questo ultimo mezzo secolo ha consentito la raccolta di una grossa mole di informazioni sperimentali, sia nello Strato superficiale che nel PBL e ciò ha permesso l’individuazione di un numero rilevante di Relazioni di Similarità. Il risultato emerso è un modello alternativo di PBL, di tipo completamente diagnostico ed algebrico, molto maneggevole, valido sia in condizioni convettive che in situazioni stabili, e le cui informazioni di ingresso sono costituite dalle sole forzanti superficiali (velocità di frizione, flusso turbolento di calore sensibile e latente e galleggiamento) e dall’estensione verticale del PBL. Il modello così individuato si applica a rigore solo in situazioni quasi-stazionarie con un elevato grado di omogeneità orizzontale e con assenza di orografia rilevante. Tuttavia, nella pratica può essere applicato, almeno come metodo di prima approssimazione, anche in quei casi in cui tali precondizioni non risultano completamente soddisfatte. In questi casi, il modello si scosterà dalla realtà tanto più quanto la situazione reale si allontana da quella ideale. Vista la sua semplicità, la sua adattabilità, i bassi tempi di calcolo richiesti ed il suo realismo, esso è attualmente il modello micrometeorologico più usato per determinare la struttura della turbolenza atmosferica necessaria ai modelli di simulazione della dispersione degli inquinanti in atmosfera di medio-alta complessità.