Meccanismi e modelli di trasmissione del calore
2.1 Meccanismi di trasmissione del calore nei materiali
I meccanismi di trasmissione del calore nei materiali sono essenzialmente tre, ossia conduzione, convezione e irraggiamento. La conduzione è la modalità di trasporto di calore tipica dei solidi e dei fluidi in quiete ed avviene in assenza di movimento apparente di materia. Interessa lo scambio di calore tra due corpi a contatto o tra parti dello stesso corpo che si trovano a temperature diverse. Il trasferimento di calore avviene essenzialmente grazie alla diffusione termica delle molecole, le quali scambiano energie con altre molecole a temperatura diversa. Nei metalli deve essere tenuto in considerazione anche il contributo legato al movimento degli elettroni, i quali, muovendosi all’interno del metallo, possono anch’essi trasferire il proprio contributo energetico.
La convezione riguarda tipicamente lo scambio di calore tra un solido e un fluido in movimento che lambisce la superficie del solido. È un meccanismo di trasporto di calore che avviene in presenza di moto macroscopico da parte del fluido.
L’irraggiamento è una modalità di trasporto di calore associata alla propagazione di onde elettromagnetiche emesse dai corpi in funzione dell’energia posseduta. Questo meccanismo è legato alla differenza di temperatura tra un corpo e gli oggetti circostanti, non richiede che vi sia contatto e avviene anche nel vuoto.
2.1.1 Conduzione
Si considerino due piastre poste ad una distanza Y, aventi inizialmente temperatura 𝑇0. Se si riscalda la piastra inferiore ad una temperatura 𝑇1, si origina un gradiente di temperatura. Nei primi istanti il materiale a stretto contatto con la piastra inferiore si porta anch’esso alla temperatura 𝑇1, in seguito dopo un certo tempo si raggiunge un profilo di temperatura lineare. Se si vuole mantenere stabile il profilo di temperatura ottenuto, è necessario fornire una certa quantità di calore 𝑄 al sistema. Si ha quindi:
𝑄 𝐴 ∝
𝑇1− 𝑇0
0 − 𝑌 (2.1) Il coefficiente di proporzionalità tra il flusso termico, dato dal rapporto tra portata e superficie, e la differenza spaziale di temperatura è dato dalla conducibilità termica 𝜆. Considerando che il trasferimento di calore avviene omogeneamente lungo gli assi 𝑥 e 𝑧, si ha che in termini differenziali il calore trasferito alla quota 𝑦 è:
𝑞𝑦 = −𝑘𝑑𝑇
𝑑𝑦 (2.2) Passando in notazione vettoriale, nel caso di un mezzo isotropico, in coordinate rettangolari si ha:
𝑞 = −𝑘𝛻𝑇 (2.3) Si può facilmente dimostrare che la conduzione è un meccanismo di trasporto per diffusione.
Si definisce infatti la diffusività termica α come il rapporto tra la conducibilità termica e il prodotto tra densità 𝜌 e il calore specifico 𝑐𝑝, come illustrato nell’equazione 2.4:
𝛼 = 𝑘
𝜌 · 𝑐𝑝 (2.4) L’equazione 2.3, nota anche come Legge di Fourier, può essere riscritta in funzione della diffusività termica come segue:
𝑞 = −𝑘𝛻𝑇 = −𝛼𝛻(𝜌𝑐𝑝𝑇) (2.5) La conducibilità termica è una proprietà di trasporto e pertanto ci si aspetta che vari a seconda della struttura della materia, oltre che in funzione di temperatura e pressione. In particolare se si considera solamente lo stato gassoso, si osservano delle differenze di λ a seconda che si trattino gas puri monoatomici o poliatomici. Nel primo caso l’energia messa in gioco è quella di traslazione, mentre nel secondo caso vi è la presenza anche delle componenti energetiche rotazionali e vibrazionali. Inoltre nella maggior parte dei casi non si ha a che fare con gas puri, ma piuttosto con miscele gassose. Nel caso di gas puri monoatomici, il modello più utilizzato per la determinazione della conducibilità termica a basse pressioni è il modello di Chapman – Enskog secondo il quale si ha:
𝑘 = 1.9891 ∙ 104∙𝑇
1 2⁄ /[𝑃𝑀]1 2⁄
𝜎2· 𝛺𝐾 (2.6) I parametri 𝜎 e 𝛺𝐾 indicano rispettivamente il diametro di collisione e l’integrale di collisione. Nel caso di gas puri poliatomici, invece, il modello più utilizzato per la determinazione della conducibilità termica a basse pressioni è il modello di Euchen secondo il quale si ha:
𝑘 = (𝑐𝑝+5 4
𝑅
𝑃𝑀) ∙ 𝜇 (2.7) in cui 𝑅 è la costante dei gas e 𝜇 la viscosità del gas. In entrambi i modelli si nota che la conducibilità termica aumenta all’aumentare della temperatura, mentre la variazione della pressione non è influente. Nel caso delle miscele a bassa pressione si ha, invece:
𝑘𝑚𝑖𝑥 = ∑ 𝑦𝑖𝑘𝑖 ∑𝑛𝑗=1𝑦𝑗𝜙𝑖𝑗 𝑛 𝑖=1 (2.8) con 𝜙𝑖𝑗 =[1 + (µ𝑖⁄ )µ𝑗 1 2⁄ · (𝑃𝑀𝑗⁄𝑃𝑀𝑖)1 4⁄ ]2 [8 ∙ (1 + 𝑃𝑀𝑖⁄𝑃𝑀𝑗)]1 2⁄ (2.9) Per quanto concerne i liquidi è difficile stimare la conducibilità, pertanto vengono utilizzate correlazione empiriche basate sulle evidenze sperimentali.
Per i solidi esistono moltissimi modelli a seconda della struttura.
2.1.2 Convezione
Si considerino due elementi di volume con lo stesso gas, la stessa pressione e temperature diverse. In un fluido a variazioni di temperatura corrispondono variazioni di densità e quindi di massa dal momento che il volume è costante. Diversa massa comporta diversa gravità e quindi diverse forze di galleggiamento, le quali causano un moto relativo tra i volumi; dove la densità è minore, l’elemento di volume tenderà a salire. Si ha quindi un movimento relativo del fluido, che avviene indipendentemente dalle forze esterne, ed è causato solamente dalla differenza di temperatura tra regioni del fluido. Si parla in questo caso di convezione naturale. Nel caso in cui il moto del fluido sia determinato da forze esterne, il campo di moto può essere valutato a prescindere dalla distribuzione della temperatura nel sistema.
Nella convezione forzata, il flusso termico scambiato tra una superficie ed un fluido a contatto è descritto dalla seguente equazione:
𝑞 = ℎ ∙ (𝑇𝑠− 𝑇∞) (2.10) in cui ℎ indica il coefficiente di scambio termico, espresso in 𝑊 𝑚⁄ 2 ∙ 𝑘, 𝑇𝑠 indica la temperatura della parete e 𝑇∞ la temperatura del fluido.
2.1.3 Irraggiamento
Si consideri un solido avente temperatura 𝑇𝑠 immerso in un ambiente avente temperatura 𝑇𝑒 < 𝑇𝑠. Nel tempo si osserva una diminuzione di 𝑇𝑠, fino al raggiungimento dell’equilibrio con l’ambiente; ne consegue, pertanto, che si assiste ad una diminuzione di energia interna. Si ha, infatti, un flusso termico netto negativo in quanto il contributo fornito dalla radiazione dall’ambiente al solido è, in valore assoluto, minore rispetto all’emissione di energia dal corpo all’ambiente. L’energia che viene messa in gioco dal solido è dovuta ad oscillazioni o a transizioni di elettroni costituenti la materia, le quali sono sostenute dalla temperatura alla quale si trova il solido. Viene dunque prodotta energia che si propaga nell’ambiente come flusso di particelle (fotoni e quanti) e come onda elettromagnetica. Le radiazioni termiche che colpiscono un corpo sono caratterizzate da lunghezze d’onda diverse e direzioni diverse e possono essere trasmesse, riflesse o assorbite. Nei corpi opachi l’energia viene in parte assorbita e in parte riflessa, nei corpi semitrasparenti l’energia viene in parte assorbita e in parte trasmessa, mentre nei corpi trasparenti tutta l’energia viene trasmessa. Dal momento che nella valutazione dell’irraggiamento la quantità di energia è quella assorbita, si evince che i corpi trasparenti non partecipano allo scambio termico per irraggiamento. Di conseguenza riveste grande importanza il corpo nero in quanto è in grado di assorbire tutta l’energia che lo investe. Secondo la legge di Stefan-Boltzmann per un corpo nero si ha che il flusso di energia emessa da un corpo nero 𝑞𝑒𝑁, espresso in [𝑊 𝑚⁄ 2], vale:
𝑞𝑒𝑁 = 𝜎 · 𝑇𝑠4 (2.11) Il parametro σ indica la costante di Stefan-Boltzmann e vale 5.67 ∙ 10−8 𝑊
𝑚2∙𝐾4, mentre T indica la temperatura assoluta, espressa in kelvin.
Per un corpo comune, invece la legge di Stefan-Boltzmann viene leggermente modificata e si ha:
Il termine 𝑞𝑒 indica il flusso di energia emessa da un certo corpo, mentre 𝜀 è un parametro che indica l’emissività di questo corpo ed è un numero compreso tra 0 e 1.
Il flusso di energia assorbita dal corpo 𝑞𝑎 vale:
𝑞𝑎 = 𝛼𝐺 = 𝛼 · 𝜎 · 𝑇𝑒4 (2.13) Il parametro α indica l’assorbanza del corpo ed è un numero compreso tra 0 e 1, G indica invece l’irradiazione ed è espresso anch’esso in [𝑊 𝑚⁄ 2] come i flussi di energia.
A partire da queste equazioni si ha che il flusso di energia scambiato per irraggiamento 𝑞𝑖𝑟𝑟 complessivamente vale:
𝑞𝑖𝑟𝑟 = 𝑞𝑒− 𝑞𝑎 = 𝜀 ∙ 𝜎 ∙ 𝑇𝑠4− 𝛼 · 𝜎 · 𝑇𝑒4 (2.14) Nell’ipotesi di corpo grigio si ha 𝜀 = 𝛼 e pertanto l’equazione 2.14 diventa:
𝑞𝑖𝑟𝑟 = 𝜀 · 𝜎 · (𝑇𝑠4− 𝑇𝑒4) (2.15) Di questi tre meccanismi solamente la conduzione dipende quindi dalla conducibilità termica del materiale.