Meccanismi e modelli di trasmissione del calore
2.2 Principali modelli di trasmissione del calore nei materiali compositi compositi
2.2.2 Modelli più recenti
In anni più recenti sono stati sviluppati una serie di modelli teorici riguardanti anche lo specifico caso dei compositi a matrice polimerica con presenza di microsfere cave. Esse contengono gas inerte e, oltre a migliorare l’isolamento termico della matrice, ne migliorano anche l’isolamento acustico e vengono spesso utilizzate anche perché permettono di ridurre la densità del composito. Inoltre la superficie sferica e liscia di queste particelle previene eventuali zone di concentrazione dello sforzo all’interfaccia tra le microsfere e la matrice. Uno dei modelli più importanti che sono stati teorizzati è sicuramente il modello di Liang e Li. Secondo questo modello, lo studio del trasferimento termico è complesso in quanto vi sono tre fasi: resina, gas e involucro delle microsfere.
Esso è dovuto principalmente a tre meccanismi: 1. Conduzione termica tra solido e gas.
2. Irraggiamento termico tra le superfici delle microsfere cave.
3. Convezione termica naturale del gas all’interno delle microsfere cave.
Precedenti studi da parte di Skochdopole hanno però dimostrato che il terzo contributo è trascurabile nel caso in cui il diametro delle microsfere cave sia inferiore ai 4 𝑚𝑚, pertanto nello studio della conducibilità termica dei compositi con presenza di microsfere vengono presi in considerazione solamente i primi due contributi legati alla conduzione e all’irraggiamento. Inoltre, se si osserva che i compositi polimerici lavorano tipicamente a basse temperature, si ha che il termine legato all’irraggiamento è poco rilevante se
confrontato con il termine conduttivo e pertanto anche questo contributo viene spesso trascurato.
Il modello si basa sulla legge della minima resistenza termica e sulla legge della conducibilità termica equivalente. I risultati ottenuti confrontando il modello teorico con le simulazioni numeriche agli elementi finiti, hanno riportato degli ottimi risultati per frazioni volumetriche di microsfere cave fino a 𝜙 = 0.20, mentre per frazioni superiori i risultati ottenuti sono più disomogenei. Nello specifico si è registrata una diminuzione lineare della conducibilità del composito con l’aumentare della frazione volumetrica delle microsfere di vetro e una leggera riduzione con l’aumentare della dimensione delle microsfere. Ciò è dovuto al fatto che l’isolamento termico è migliore nel caso di microsfere aventi diametro maggiore a parità di rapporto spessore/diametro, in quanto un diametro maggiore comporta una maggiore quantità di gas nella sfera, il quale è caratterizzato da bassa conducibilità termica e bassa densità, rispettivamente dell’ordine di 0.023 𝑊 𝑚𝐾⁄ e 0.09 𝑘𝑔 𝑚⁄ 3. Valori tipici per i gusci di vetro si aggirano intorno ai 1.4 𝑊 𝑚𝐾⁄ e 2210 𝑘𝑔 𝑚⁄ 3, mentre per il PP si ha una conducibilità termica di circa 0.20 − 025 𝑊 𝑚𝐾⁄ e una densità di 915 𝑘𝑔 𝑚⁄ 3.
Questi risultati sono stati ottenuti supponendo che vi sia una dispersione uniforme delle microsfere cave all’interno della matrice polimerica e che la distribuzione di temperatura lungo la direzione del flusso di calore sia lineare. Si assume, inoltre, che la temperatura alla quale si trova il materiale sia inferiore rispetto alla temperatura di rammollimento della resina.
In Figura 2.9, è illustrato il modello fisico relativo al processo di trasferimento del calore in un composito polimerico caricato con microsfere di vetro. Viene considerato un elemento cubico di lato 𝐻, contenente una microsfera cava di raggio interno 𝑟 e di raggio esterno 𝑅. Nell’elemento sono presenti le tre fasi: polimerica, gassosa e relativa all’involucro della microsfera. Infine la quantità di calore 𝑄 viene trasferita dal basso verso l’alto.
Figura 2.9. Modello fisico di trasferimento di calore.
Lo studio da parte di Liang e Li prevede il passaggio dal modello fisico, illustrato in Figura 2.9, al modello matematico, illustrato in Figura 2.10.
Figura 2.10. Modello matematico di trasferimento di calore.
Come si può vedere in Figura 2.10, l’elemento viene suddiviso in due zone. Nella zona 1 è presente solamente il polimero e lo spessore è ℎ1 = 𝐻 − 2𝑅, nella zona 2 sono presenti le tre fasi e lo spessore è ℎ2 = 2𝑅. Come anticipato in precedenza, il modello si basa sulla legge della minima resistenza termica e sulla legge della conducibilità termica equivalente come
dimostrato negli studi di Chen, Qian e Ye. Si ha quindi che combinando le resistenze termiche delle due zone, si può ottenere la resistenza termica dell’intero elemento.
Per quanto concerne la zona 1, si ha:
𝑘1 = 𝑘𝑝 (2.49) mentre, considerando un sottile strato di materiale di spessore 𝑑𝑦, per la zona 2, in accordo con il teorema di Fourier, si ha:
𝑘2 = 𝑄𝑝+ 𝑄𝑔+ 𝑄𝑎 (𝑑𝑇 𝑑𝑦) ∙ 𝑆⁄ = 𝑘𝑝∙ 𝑆𝑝 𝑆 + 𝑘𝑔∙ 𝑆𝑔 𝑆 + 𝑘𝑎 ∙ 𝑆𝑎 𝑆 (2.50) in cui 𝑆 indica l’area della sezione trasversale, 𝑘𝑝, 𝑘𝑔 e 𝑘𝑎 indicano rispettivamente le conducibilità termiche della fase polimerica, del guscio della sfera e della fase gassosa, 𝑆𝑝, 𝑆𝑔 e 𝑆𝑎 indicano le aree delle sezioni trasversali relative a polimero, guscio e interno della microsfera. 𝑄𝑝, 𝑄𝑔 e 𝑄𝑎 rappresentano rispettivamente le quantità di calore attraverso matrice, guscio e gas.
Dal momento che si è assunta una distribuzione della temperatura lineare, la conducibilità termica media di ogni zona può essere ottenuta tramite le equazioni 2.51 e 2.52.
Per la zona 1 si ha:
𝑘̅̅̅ = ∫ 𝑘1 1∙𝑑𝑦 ℎ1 = 𝑘𝑝
ℎ1
(2.51) Per la zona 2 si ha:
𝑘̅̅̅ =2 1 ℎ2 ∙ ∫ (𝑘𝑝∙ 𝑆𝑝 𝑆 ℎ2 + 𝑘𝑔 ∙𝑆𝑔 𝑆 + 𝑘𝑎∙ 𝑆𝑎 𝑆)𝑑𝑦 = 1 ℎ2𝑆∙ (𝑘𝑝𝑉𝑝+ 𝑘𝑔𝑉𝑔+ 𝑘𝑎𝑉𝑎) (2.52) in cui 𝑉𝑝, 𝑉𝑔 e 𝑉𝑎 indicano rispettivamente i volumi di polimero, guscio delle microsfere e gas.
In accordo con il teorema delle resistenze termiche in serie, si può quindi calcolare la conducibilità termica effettiva del composito 𝑘𝑒𝑓𝑓, utilizzando l’equazione 2.53.
𝑘𝑒𝑓𝑓 = 𝐻 𝑅𝑆 = 𝐻 (𝑅1+ 𝑅2) · 𝑆 = 𝐻 ((ℎ1⁄𝑘𝑝∙ 𝑆) + (ℎ22⁄(𝑘𝑝𝑉𝑝+𝑘𝑔𝑉𝑔+ 𝑘𝑎𝑉𝑎))) ∙ 𝑆 (2.53)
in cui 𝑅, 𝑅1 e 𝑅2 sono rispettivamente le resistenze termiche totale, relativa alla zona 1 e relativa alla zona 2.
Nel caso delle microsfere si ha:
𝑉𝑔𝜌𝑔 + (𝑉𝑠 − 𝑉𝑔)𝜌𝑎 = 𝑉𝑠𝜌𝑠 (2.54) in cui 𝜌𝑔, 𝜌𝑎 e 𝜌𝑠 sono rispettivamente le densità effettive di guscio, gas e microsfera e 𝑉𝑠 è il volume totale della microsfera cava.
A questo punto effettuando alcune sostituzioni e manipolazioni matematiche si ottiene l’espressione finale data dall’equazione 2.55:
𝑘𝑒𝑓𝑓 = [1 𝑘𝑝(1 −6𝜙𝑓 𝜋 )1 3⁄ + 2(𝑘𝑝(4𝜋 3𝜙𝑓)1 3⁄ + 𝜋(2𝜙𝑓 9𝜋)1 3⁄ · (𝑘𝑔(𝜌𝑠−𝜌𝑎 𝜌𝑔−𝜌𝑎) + 𝑘𝑎(𝜌𝑔−𝜌𝑠 𝜌𝑔−𝜌𝑎) − 𝑘𝑝))−1]−1 (2.55)
in cui 𝜙𝑓 rappresenta la frazione volumetrica delle microsfere cave nella matrice polimerica. Zhu e altri ricercatori dell’Università di Wuhan hanno condotto ricerche riguardanti l’effetto delle microsfere di vetro cave sulla conducibilità termica di compositi a matrice LDPE, avente conducibilità 0.317 𝑊 𝑚𝐾⁄ . Si sono utilizzate microsfere cave di vetro S60HS e S38HS aventi densità rispettivamente pari a 0.60 𝑔 𝑐𝑚⁄ 3 e 0.38 𝑔 𝑐𝑚⁄ 3 e conducibilità termica pari a 0.200 𝑊 𝑚𝐾⁄ e 0.127 𝑊 𝑚𝐾⁄ . È stata ottenuta una diminuzione di 𝑘𝑒𝑓𝑓
pressoché lineare: nel caso delle microsfere S60HS si è ottenuto 𝑘𝑒𝑓𝑓 = 0.218 per 𝜙𝑓 = 50 %, mentre per le microsfere S38HS si è ottenuto 𝑘𝑒𝑓𝑓 = 0.198 per 𝜙𝑓 = 50 %.
Applicando le leggi della minima resistenza termica e della conducibilità termica equivalente, Liang ha sviluppato insieme a Liu, un modello in grado di determinare la conducibilità termica di compositi caricati con generiche particelle inorganiche. Sono stati effettuati in particolare esperimenti con polvere di allumina, costituita da particelle aventi densità 2670 𝑘𝑔 𝑚⁄ 3, conducibilità termica 203.5 𝑊 𝑚𝐾⁄ e diametro medio 112 µ𝑚, su una resina fenolica.
𝑘𝑒𝑓𝑓 = 1 1 𝑘𝑝− 1 𝑘𝑝( 6𝜙𝑓 𝜋 )1 3⁄ + 2 𝑘𝑝(3𝜙4𝜋 𝑓)1 3⁄ + (2𝜙9𝜋 )𝑓 1 3⁄ 𝜋(𝑘𝑓− 𝑘𝑝) (2.56)
A differenza dell’equazione 2.55, l’equazione 2.56 non prevede un andamento lineare della conducibilità termica del composito in funzione della frazione volumetrica di carica immessa, ma si prevede che con l’aumentare di 𝜙𝑓, 𝑘𝑒𝑓𝑓 aumenti in maniera sempre più rapida rispetto alla linearità, con un andamento simile a quello di una funzione esponenziale. Questa equazione approssima molto bene i dati sperimentali, soprattutto per 𝜙𝑓 < 0.40. Per frazioni volumetriche superiori, il modello sottostima i dati sperimentali in quanto ad elevate concentrazioni le particelle producono heat transfer links nella matrice a causa della piccola distanza presente tra particelle adiacenti. Pertanto la capacità conduttiva del sistema incrementa molto rapidamente e si crea quindi una certa differenza tra i valori registrati dei dati sperimentali rispetto a quelli previsti dal modello teorico.
Liang ha studiato anche la conducibilità termica di compositi a matrice polipropilenica caricati con antifiamma quali allumina tri-idrata e idrossido di magnesio, i quali hanno rispettivamente una densità di 2.42 𝑔 𝑐𝑚⁄ 3 e di 2.39 𝑔 𝑐𝑚⁄ 3 e una conducibilità termica di 8.3 𝑊 𝑚𝐾⁄ e di 9.0 𝑊 𝑚𝐾⁄ . Si è evidenziato un andamento non lineare della conducibilità termica in quanto 𝑘𝑒𝑓𝑓 aumenta con 𝜙𝑓 molto rapidamente per 𝜙𝑓< 7 % e per 𝜙𝑓 > 13 %, mentre nel range intermedio si osserva un aumento di 𝑘𝑒𝑓𝑓 meno significativo. Tramite analisi morfologica al microscopio elettronico si è osservato, infatti, che la dispersione delle particelle è abbastanza uniforme, con qualche aggregato di carica, per 𝜙𝑓 < 7 %. Per 7 % < 𝜙𝑓< 13 %, gli aggregati sono, invece, presenti in quantità molto superiore ed essi indeboliscono l’interazione tra particelle adiacenti, rendono difficile l’ottenimento di un
network conduttivo. Per percentuali maggiori gli aggregati non sono molti, si formano catene
conduttive e pertanto 𝑘𝑒𝑓𝑓 torna ad aumentare rapidamente. Si è valutata 𝑘𝑒𝑓𝑓 anche in relazione alla granulometria delle particelle, in corrispondenza di determinate percentuali di carica costanti, ed in particolare si è osservato un aumento significativo di 𝑘 per particelle
con diametro crescente fino a 5 µ𝑚, mentre per diametri superiori 𝑘𝑒𝑓𝑓 è sostanzialmente costante. Le particelle più grandi sono, infatti, più facili da disperdere e ne consegue che la formazione di network conduttivi è più facile.
Liang ha sviluppato un ulteriore modello, insieme a Qiu, al fine di determinare la conducibilità termica di compositi a matrice polimerica caricati con particelle. L’equazione finale è la 2.57: 𝑘𝑒𝑓𝑓 = 𝑘𝑚[1 − 𝜋 (3𝜙𝑓 4𝜋) 2 3⁄ ] + 𝜋𝑘𝑓𝑘𝑚 𝑘𝑓[(3𝜙4𝜋 )𝑓 −2 3⁄ − 2(3𝜙4𝜋 )𝑓 −1 3⁄ ] + 3𝑘𝑚(3𝜙4𝜋 )𝑓 −1 3⁄ (2.57) Nel caso delle particelle di allumina tri-idrata e di idrossido di magnesio immersi in una matrice di PP, l’equazione 58 approssima molto bene i dati sperimentali per 𝜙𝑓 < 10 %, mentre per percentuali superiori l’errore relativo cresce fino al 10 % per 𝜙𝑓 = 16 %.