Un modello per l'analisi della distribuzione ottima degli investimenti

1. Il problema del risparmio ottimo e della distribuzione ottima degli investimenti.

Uno dei più importanti problemi della teoria della programmazione per lo sviluppo delle aree arretrate, è la scelta di quanto un paese deve risparmiare ed investire. È evidente che tanto più elevato è il risparmio di una collettività tanto minore è il consumo attuale della stessa, ma tanto maggiore sarà lo sviluppo futuro della sua economia. Nella scelta dell'ottimo saggio di risparmio, si deve quindi scegliere ad esempio tra due configurazioni una delle quali è caratterizzata, rispetto all'altra, da un più elevato livello di consumo attuale che però è destinato a crescere nel tempo ad un saggio inferiore. Si tratta quindi di un problema in cui non solo è necessario paragonare tra loro le utilità di diversi individui nello stesso momento (nella formulazione di una funzione di utilità col-lettiva o del benessere sociale) ma è anche necessario paragonare l'utilità di diversi individui in epoche diverse \ Questo fatto evidentemente pone ardui problemi per l'economia del benessere di cui però in questo lavoro si tratterà solo marginalmente. In linea generale si può affermare che non è possibile formulare una funzione delle preferenze collettive (del benessere sociale) sulla base delle preferenze individuali2. Riteniamo però che, siccome nel nostro problema si deve tener conto delle

genera-1. R . M . GOODWIN, The Optimal Growth Path for an Underdeveloped Eco-nomy, « The Economie Journal », die. 1961, p. 758.

2. Si veda K . J. ARROW, Social Choice and Individuai Values, New York, 1951; si veda anche per una ottima trattazione di alcuni dei problemi che pone la scelta di una funzione del benessere sociale: A. K. SEN, On Optimising the Rate of Saving, « The Economie Journal », sett. 1961.

zioni future, sia necessario assumere una tale funzione che permetta di scegliere tra le diverse alternative3.

Assunta quindi una funzione del benessere sociale, il problema è quello di determinare quanto si deve risparmiare ora ed in futuro se si vuole rendere massima questa funzione del benessere sociale. Dice Good-win 4: « tradizionalmente la risposta è che si deve risparmiare molto di più di quanto si risparmia ora. Questa risposta è probabilmente cor-retta, ma questo modo di porre il problema non è appropriato perché se si decide che ora invece di risparmiare il 5 % si deve risparmiare il 2 5 % questo non è fattibile a causa della strozzatura nei beni capitali ». Prendiamo ad esempio il caso dei paesi sottosviluppati. Se si decide di risparmiare di più nella misura indicata, come è possibile investire que-sto risparmio? In linea generale non si possono importare beni capitali nella quantità necessaria sia perché alcuni beni capitali non sono impor-tabili (ad esempio le dighe e, in generale, le infrastrutture), sia a causa delle difficoltà strutturali della bilancia dei pagamenti di tali paesi. Que-ste difficoltà derivano sia dalla scarsa elasticità delle esportazioni dei prodotti dei paesi sottosviluppati (prodotti agricoli e minerari)5 rispetto al reddito dei paesi progrediti, sia dall'esistenza di posizioni di tipo mo-nopolistico detenute, nei mercati internazionali, dai paesi esportatori di beni capitali6. Si assiste quindi ad un evolversi delle ragioni di scambio a danno dei paesi sottosviluppati il che comporta l'impossibilità, per tali paesi, di rifornirsi in modo adeguato di beni capitali tramite l'importa-zione. La possibilità di risparmiare di più e quindi di investire di più dipende in modo essenziale dalla produzione interna di beni capitali.

Si può quindi affermare che un dato andamento, nel tempo, del ri-sparmio, richiede un determinato andamento della produzione interna di beni di investimento. È perciò opportuno affrontare il problema non già per mezzo dei modelli usuali che aggregano la produzione di beni di

3. In questo concordano diversi autori. Ricordiamo A . BERGSON A Reformu-lation of Certain Aspects of Welfare Economics, « The Quarterly Journal of Eco-nomics » febb. 1938; ID., L'economia socialista, in L'economia contemporanea a cura di H. S. Ellis, Torino, 1 9 5 3 (edizione inglese, 1 9 4 9 ) ; P. A . SAMUELSON, Foun-dations of Economie Analysis, Cambridge (Mass.), 1 9 4 7 , cap. V I L I ; S. LOMBARDINI

Fondamenti e problemi dell'economia del benessere, Milano, 1954

xj U ^ l b rii+uss+ne di un saggio presentato da L. Johansen riportata in P. E. Hart G. Mills J. K. Witaker (curatori), Econometrie Analysis for National Econo-mie Planning, Londra, 1 9 6 4 , pp. 2 5 2 - 2 5 3 (Colston Paper n. 16).

5. Queste argomentazioni non sono evidentemente rilevanti per i paesi espor-tatori di petrolio, i quali non hanno normalmente problemi relativi alla bilancia dei pagamenti.

6. A queste difficoltà non è neppure estranea la relativa inefficenza degli or-ganismi monetari e finanziari internazionali.

consumo e di beni capitali, ma per mezzo di un modello che tiene se-parato il settore che produce beni di investimento da quello che pro-duce beni di consumo. Solo in tale modo si può infatti verificare l'in-fluenza, sulle possibilità di crescita del sistema, della capacità produttiva esistente nel settore dei beni capitali.

Se si esamina un modello che considera separatamente i beni di consumo e quelli di investimento e si assume, per semplicità, che non ci siano relazioni commerciali con l'estero, si può mostrare che la scelta di un determinato valore per la propensione al risparmio comporta la scelta di una determinata distribuzione dell'investimento tra i due settori. Per chiarire questa affermazione nel modo più semplice si con-sideri un modello7 che fa le seguenti ipotesi:

1) il reddito Y sia costituito dalla produzione di beni di consu-mo (C) e dalla produzione di beni di investimento (I);

(hi) Y(t) = C(t) + I(t)

2) la produzione di beni di investimento sia distribuita tra il set-tore che produce beni di investimento (1) e quello che produce beni di consumo (2);

(1.2)

3) l'incremento di produzione in entrambi i settori sia propor-zionale ai nuovi investimenti nei singoli settori. I parametri ai e a2 sono i rapporti marginali produzione capitale nei due settori e sono assunti costanti nel tempo. Si suppone inoltre che non ci siano ritardi tra inve-stimento e produzione.

Quindi:

C . 3 ) < Y r = - ®

M ) ^ =

7. Questo modello è un adattamento di quello esposto da E. D . DOMAR,

A Soviet Model of Growth, cap. IX di Essays in the Theory of Economie Growth, New York, 1957. Tale modello è stato presentato dall'economista russo G. A. Fel'dman nel 1928. Indipendentemente, un modello ad esso molto simile è stato presentato da P. C. MAHALANOBIS, Some Observations on the Process of Growth of National Income, « Sankhya, the Indian Journal of Statistics », sett. 1953; The Approach of Operational Research to Planning, ivi, die. 1955. Tale modello ha costituito la base teorica per il primo piano indiano. Per discussioni su tale mo-dello si veda S. CHAKRAVARTY, The Logic of Investment Planning, Amsterdam, 1959, e M. H. DOBB, Essays on Economie Growth and Planning, London, 1959, tradotto in italiano come Sviluppo economico e pianificazione, Roma, 1963.

Indichiamo con s (t) la propensione marginale al risparmio (e quindi all'investimento supponendo l'equilibrio tra le due grandezze):

A I (t)

(1.5) s(t): d t

d Y (t) d t

Se indichiamo con y (t) la proporzione di beni di investimento pro-dotti al tempo t che viene investita nel settore che produce beni di inve-stimento, si ha:

(1.6) Jj (t)=y (t) I (t)

Ora, si può osservare che, per la (1.6), la (1.3) e la (1.1) si ha: «i T (0 I (i)

(1.7) s (t) =

d C (t) d I (f)

dt dt da cui con le (1.2), (1.3), (1.4), (1.6) si può ottenere:

«i T W

(1.8) , ( , ) =

[1 —Y (f)] + «i T (f)

La (1.8) afferma che c'è un legame ben definito tra la propensione marginale al risparmio e la distribuzione degli investimenti tra i due set-tori. I due problemi sono quindi strettamente connessi anche se alcuni autori sembrano non percepire appieno questa connessione 8. Risolvere uno dei due problemi significa risolvere anche l'altro. In un modello a due settori appare quindi più naturale risolvere il problema dell'ottimo risparmio determinando l'ottima distribuzione degli investimenti nei due settori9.

8. Si veda ad es. in U. N., Programming Techniques for Economie Develop-ment, Bangkok, 1960, l'affermazione riportata a p. 21: «C'è un altro importante problema (oltre a quello del saggio del risparmio) da considerare nel formulare un piano economico in questo modello a due settori: cioè come dividere i beni di investimento tra i due settori ». Si veda anche R. M. SOLOW, Some Problems of the Theory and Practice of Economie Planning, in « Economie Development and Cultural Change », gennaio 1962.

9 . In accordo con quanto nel testo si veda L . JOHANSEN, Saving and Growth in Long Term Programming Models, in Econometrie Analysis for National Eco-nomie Planning cit., pp. 227-228.

2. La scelta ottimale di una propensione al risparmio costante o di una distribuzione costante degli investimenti tra i due settori.

Il problema dell'ottimo risparmio può essere affrontato, ed in effetti è stato affrontato da Tinbergen 10 nel senso di determinare una propen-sione al risparmio costante che renda massima una funzione del benes-sere collettivo che dipende dai livelli di consumo che si ottengono da oggi all'infinito.

Nelle stesse linee di Tinbergen, il Domar 11 cerca di determinare una proporzione costante secondo la quale distribuire gli investimenti nei due settori in modo da rendere massimo il livello di consumo ad un dato periodo futuro, oppure la somma degli incrementi di consumo in un dato periodo.

Domar dimostra che tanto più lungo è l'orizzonte temporale a cui si estende il programma, tanto maggiore deve essere la quota degli inve-stimenti da destinare al settore che produce beni capitali.

Al limite 12 se l'orizzonte temporale diventa infinito, non è conve-niente investire nel settore che produce beni di consumo una qualsiasi quota dell'investimento totale e quindi l'ottima propensione marginale al risparmio (e all'investimento) della collettività sarebbe uguale ad uno.

Questo risultato paradossale è dovuto al particolare tipo di fun-zione di utilità collettiva (o del benessere sociale) assunta da Domar. Egli infatti assume che l'utilità marginale che la collettività trae dal consumo rimanga costante qualunque livello il consumo abbia già otte-nuto e che la collettività non abbia alcuna preferenza per un consumo più vicino nel tempo rispetto ad un eguale livello di consumo ottenuto però in un'epoca più remota.

Sotto queste assunzioni è evidente che tanto più lungo è l'orizzonte temporale, tanto più è conveniente rimandare il consumo attuale se ri-mandandolo si può raggiungere in futuro un livello più elevato di esso.

Supponiamo ad esempio che si abbiano due situazioni: A e B. La situazione A è caratterizzata rispetto alla 13 da una frazione minore della produzione di beni capitali destinata al settore dei beni di consumo. Ora, siccome nella situazione A la produzione di beni capitali cresce ad un

10. Cfr. J. TINBERGEN, The Optimum Rate of Saving, « Economie Journal », 1956.

11. E. DOMAR, A Soviet Model of Growth cit.

12. Domar in verità non si preoccupa di esaminare la sua soluzione nel caso che l'orizzonte temporale diventi infinito, ma si può affermare, sulla base di risul-tati di altri autori di cui si dirà più avanti, che le conclusioni del testo sono impli-cite nella sua analisi.

saggio più elevato che nella situazione alternativa, ne risulterà che in A si hanno inizialmente meno investimenti nel settore dei beni di consumo ma tali investimenti cresceranno ad un saggio più elevato. È evidente allora che nelle assunzioni fatte, se l'orizzonte temporale si allunga, è più conveniente scegliere la situazione A piuttosto che la situazione B.

Se ora l'orizzonte temporale diviene infinito si arriva al risultato, ap-parentemente paradossale, che continuando a rimandare nel tempo il consumo non si raggiunge mai il periodo in cui godere dei frutti del-l'astinenza.

È quindi evidente l'importanza della scelta della funzione di massi-mizzare nel problema di cui si sta trattando quando l'orizzonte tempo-rale diventa infinito. Tinbergen infatti, che usa altre funzioni del benes-sere sociale non arriva ai risultati di Domar che in un caso particolare, cioè quando la preferenza per un consumo ravvicinato nel tempo è bassa relativamente alle capacità di crescita del consumo nel tempo (cioè in un caso abbastanza simile a quello di Domar). Di questi aspetti però si trat-terà più avanti.

È opportuno notare infine che le soluzioni ricavate dai due autori sono ottime relativamente alle altre possibili distribuzioni costanti del reddito tra consumo e risparmio e degli investimenti tra settore dei beni capitali e settore dei beni di consumo. Esse non sono ottime relativa-mente a possibili distribuzioni di queste variabili che possono mutare nel tempo. È infatti possibile che, variando nel tempo l'andamento della propensione al risparmio o della distribuzione dell'investimento tra i settori, si possa ottenere un valore più elevato della funzione obiettivo. Questo sarà l'argomento dei prossimi paragrafi.

3. La scelta di un andamento ottimo dell'investimento e della sua di-stribuzione settoriale.

La scelta di una propensione al risparmio o di una distribuzione del-l'investimento costante nel tempo limita eccessivamente, come abbiamo visto, il campo in cui ricercare la soluzione ottima. È quindi opportuno abbandonare questa restrizione e chiederci invece: quale deve essere l'andamento temporale della propensione al risparmio o della distribu-zione degli investimenti se si vuole ottenere il massimo della fundistribu-zione obiettivo. Questo problema è stato formulato normalmente in termini di calcolo delle variazioni Si tratta cioè di trovare un andamento del

sag-13. Cfr. F . RAMSEY, A Mathematical Theory of Saving, « The Economie Jour-nal », 1928; J. TINBERGEN, The Optimum Rate of Saving cit.; J. TINBERGEN - H. C.

gio di investimento, o della distribuzione degli investimenti, tale da ren-dere massimo l'integrale di una funzione di utilità collettiva che dipende dal consumo dei diversi periodi.

Gli autori che formulano il problema supponendo che il tempo vari in modo discreto M, si propongono di massimizzare la somma delle utilità godute dalla collettività nei diversi periodi. Si possono allora applicare metodi simili a quelli del calcolo delle variazioni.

Una volta che il problema è così posto, bisogna chiedersi se esso ha una soluzione e se essa è economicamente rilevante. A questo proposito, è necessario distinguere il caso di una programmazione con orizzonte temporale finito da una con orizzonte temporale infinito. Di questo pro-blema ci si occuperà nel prossimo paragrafo.

4. i problemi connessi con l'orizzonte temporale in cui impostare il programma.

Si è visto nel paragrafo precedente che il problema dell'ottimo sag-gio d'investimento (o della sua ottima distribuzione tra i settori) può es-sere impostato nel seguente modo: trovare l'andamento dell'investi-mento globale (se si considera un modello ad un unico settore) o della distribuzione dell'investimento (se si considera un modello bisettoriale) tale che risulti massimo il seguente funzionale:

f u [C (f)] dt

dove C(t) è il consumo al tempo t e U[C(t)] è la funzione dell'utilità o del benessere sociale che si suppone dipendente dal livello di consumo dei singoli periodi. È evidente che l'andamento del consumo nel tempo deve rispettare le altre relazioni del modello.

Se si considera un orizzonte temporale finito si deve porre x — T dove T è la durata per la quale si stabilisce il piano.

Se invece si vuol considerare un orizzonte temporale infinito bisogna far tendere t a tale valore.

R. M. GOODWIN, The Optimal Growth Path for and Underdeveloped Economy cit.;

5. CHAKRAVARTY, Optimal Investment and Technical Progress, « The Review of Economie Studies », giugno 1964; H. UZAWA, Optimal Growth in a Two-Sector Model of Capital Accumulation, « The Review of Economie Studies », 1964; R.

STONE, Misery and Bliss, « Economia internazionale », 1955.

1 4 . R . M. GOODWIN, The Optimal Growth Path cit.; L . JOHANSEN, Saving and Growth in Long Term Programming Models cit.

Dal punto di vista economico la decisione di limitare l'orizzonte temporale richiede di prendere una decisione rispetto alle condizioni dell'economia al tempo T. Per esempio, in un modello ad un solo settore, è necessario imporre una relazione che impedisca che il capitale della economia al tempo T sia inferiore ad un certo limite fissato. Se questo non si fa è possibile infatti che negli ultimi periodi della programmazione, nello sforzo di massimizzare il consumo, non si facciano nuovi investi-menti e si decida anche, se ciò è possibile, di consumare il capitale pre-cedentemente accumulato a livelli tali da pregiudicare l'ulteriore crescita dell'economia dopo il tempo T.

In un modello bisettoriale può capitare che la massimizzazione del consumo comporti il fatto che nei periodi terminali del piano, appaia conveniente non fare alcun investimento nel settore che produce beni capitali15 o addirittura, se si assume che il capitale possa essere trasfe-rito da un settore all'altro, può risultare conveniente trasferire tutto lo stock di capitale nel settore che produce beni di consumo.

Ne segue quindi che una programmazione con orizzonte finito ri-chiede una decisione più o meno arbitraria nei confronti dello stock di capitale che si desidera l'economia possegga al tempo T e della sua di-stribuzione settoriale.

I sostenitori di un orizzonte temporale infinito affermano che non è lecito introdurre questo tipo di arbitrarietà nel programma. Il fatto che ci si debba preoccupare delle condizioni terminali dell'economia in modo da non pregiudicare la crescita futura indica, secondo questi autori, che la soluzione ottima può dipendere in modo essenziale dall'arbitrarietà della scelta di un certo orizzonte temporale e delle condizioni terminali16.

II problema si rivela quindi essenzialmente come un problema di programmazione infinita e come tale va perciò affrontato.

L'introduzione di un orizzonte temporale infinito pone problemi che se si considera una programmazione finita non si presentano proprio a 15. Anche se si assumono altre funzioni obiettivo si possono avere questi ri-sultati. Si veda ad esempio N . ANDREATTA, Calcolo economico e programmi di svi-luppo, Milano, 1961, parte I. L'autore si propone di massimizzare l'occupazione durante il periodo del programma. Dalle condizioni di massimizzazione si vede che nell'ultimo anno non si investe niente nel settore che produce beni di investimento. I risultati potrebbero però essere di tipo diverso se l'autore avesse fatto delle ipo-tesi precise sul livello e la distribuzione settoriale dello stock finale di capitale.

16. Si veda ad es. S. CHAKRAVARTY, The Existence of an Optimum Saving Programme, « Econometrica », gennaio 1962, e ripubblicato in Capital Eormation and Economie Development, a cura di P. N. ROSENSTEIN - RODAN, London, 1964. Si vedano anche gli interventi di F. H. Hahn nella discussione del saggio di L. JOHANSEN in Econometrie Analysis for National Economie Planning cit.

causa dell'introduzione delle condizioni finali17. Infatti, il problema di determinare il massimo di U(C)dt può essere risolto per mezzo del

j °

calcolo delle variazioni soltanto quando i diversi programmi di investi-mento possono essere ordinati secondo il maggiore o minore grado di utilità ad essi associato. Ma quando l'utilità associata con ogni dato pro-gramma di investimenti che si estende all'infinito diviene infinita non è possibile, in linea generale, ordinare i diversi programmi18 e quindi il problema non può essere risolto.

Affinché l'utilità associata con un dato programma non sia infinita è necessario che: U[C(t)] = a. Solo in tale caso infatti

può convergere ad un valore finito.

Per superare questo problema si sono seguite due vie principali. Un primo modo è stato quello di introdurre una funzione di utilità che am-mette un punto di saturazione (bliss point). In altri termini, secondo tale funzione, anche se, il consumo cresce indefinitamente, l'utilità che da esso si ricava raggiunge un limite superiore finito. Non sempre que-sta assunzione è in grado di assicurare la solvibilità del problema. In alcuni casi però essa può permettere di trovare il programma ottimo. Questo avviene ad esempio quando il punto di saturazione è raggiun-to per un livello di consumo finiraggiun-to ed in qualche altro caso parti-colare 19.

Questo modo di impostare il problema non sembra particolarmente soddisfacente in quanto le soluzioni possono dipendere in modo essen-ziale dalle condizioni relative al punto di saturazione. Questa

osserva-1 7 . Questa discussione segue molto da vicino quella di S . CHAKRAVARTY, The Existence of an Optimum Savings Erogramme cit.

18. Qualche volta può capitare che si trovi che l'utilità associata con un dato programma è non inferiore, in ogni periodo, a quella associata con ogni altro programma e che, per almeno un periodo, l'utilità associata con il primo pro-gramma è superiore a quella associata con tutti gli altri. In tal caso, il propro-gramma ottimo sarebbe determinato anche se tutti i programmi fanno assumere un valore infinito alla funzione obiettivo. Si dice allora che un programma domina in ogni periodo gli altri. È evidente come questo sia un caso speciale per cui in generale non si può contare in questa possibilità.

1 9 . Si veda S. CHAKRAVARTY, The Existence of an Optimum Savings