Le leggi isteretiche governano le variazioni di rigidezza e resistenza quando l’elemento evolve in campo plastico. In letteratura esistono diversi modelli che descrivono il comportamento del materiale sotto azioni di carico e scarico. Uno dei più famosi è quello di Takeda (1970) basato su 16 regole di carico, scarico e ricarico che tuttavia non prende in considerazione la degradazione del materiale, l’interazione con lo sforzo assiale ne dell’effetto “pinching”. In particolare l’interazione tra rigidezza e resistenza con lo sforzo normale assume un ruolo importante nei problemi di analisi dinamica, poiché durante l’evento sismico si aspettano importanti variazioni dello sforzo assiale con conseguente cambiamento del comportamento meccanico del calcestruzzo. Nel seguente modello dunque è stato tenuto di conto di questa interazione valutando su ogni sezione il diagramma M_N.
In questa tesi le sollecitazioni flettenti di origine cinematica vengono stimati considerando la variazione di rigidezza che la sezione del palo può subire a fessurazione avvenuta e dunque limitandosi solo alla prime tre regole del modello costitutivo proposto da Andreotti & Lai (2017) limitandosi, almeno in questa prima fase, a non valutare i fenomeni plastici.
Infatti la maggior parte delle regole che governano l’isteresi non prendono in considerano un modello rigoroso nella fase di carico prima dello snervamento del materiale e quindi la rigidezza iniziale rimane invariata. Nei problemi di interazione cinematica invece la risposta del sistema è fortemente influenzata dal contrasto di rigidezza tra gli elementi strutturali e il terreno sottostante perciò le variazioni della rigidezza devono essere tenute di conto anche prima dello snervamento e quindi prima del raggiungimento del momento di prima fessurazione.
Nel lavoro di Andreotti & Lai è stato condotto con l’intento di individuare la zona, a partire dalla testa del palo, interessata dai fenomeni plastici, e quindi con l’obiettivo di identificare l’ampiezza della cerniera plastica all’interno della lunghezza del palo. Il modello a fibre sui cui è stato applicato il modello costitutivo, interessa dunque tutto l’elemento strutturale, ed è dunque stato espresso in termini di Momento-Rotazioni (𝑀 − 𝜃).
Nella seguente tesi il comportamento non lineare del calcestruzzo armato viene considerato a livello di sezione e dunque il modello costitutivo post fessurativo verrà descritto in termini di Momento-Curvatura (𝑀 − 𝜒).
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Si riassumono dunque le prime tre leggi che governano il comportamento dell’elemento strutturale:
• Legge 1: carico/scarico considerando le proprietà della sezione non ancora fessurata. Viene assegnata una matrice rotazionale elastica (𝐾𝑒𝑙) prima del raggiungimento del momento di prima fessurazione.
• Legge 2: il primo tratto di carico avviene in condizioni di sezione fessurata. Viene assegnata una matrice rotazionale (𝐾𝑟𝑐)
• Legge 3: percorso di scarico/ricarico in condizione fessurata. Viene assegnata una matrice rotazionale secante (𝐾𝑠𝑒)
Le regole sono riassunte in (Fig.5.1) in termini di Momento-Rotazione.
Fig.5.1 Modello Andreotti & Lai (2017) espresso in termini di (𝑀 − 𝜃) limitato alle prime tre regole fino a fessurazione avvenuta, ma prima del raggiungimento dello snervamento.
La variazione della rigidezza che subisce l’elemento strutturale viene valutata ad ogni step di carico in caso di sezione fessurata o non fessurata a seconda che si sia raggiunto o no il momento di prima fessurazione
𝑀𝑐𝑟 = (𝑓𝑐𝑡+ 𝑁 𝑏 ∙ ℎ) ∙
𝑏 ∙ ℎ2
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Dove 𝑓𝑐𝑡 è la resistenza a trazione del calcestruzzo, N è lo sforzo assiale assunto positivo se di compressione e b e h le dimensioni della sezione. Dunque 𝑀𝑐𝑟 risulta funzione di N e finché la sezione non risulta fessurata il valore del momento di inerzia può essere assunto pari a 𝐼 = 𝑏 ∙ ℎ2⁄12 e la rigidezza (𝐾𝑒𝑙) i mantiene costante sia sui tratti di scarico che di carico. Quando, durante le analisi, la sollecitazione flettente raggiunta ad uno step di carico supera il momento di prima fessurazione la sezione viene considerata come “rotta” e viene salvato ad ogni step il massimo momento raggiunto dalla sezione. Il percorso di carico governato dalla Legge 2 viene considerato solo se il momento raggiunto nella sezione è superiore a 𝑀𝑚𝑎𝑥. La di rigidezza che definisce la pendenza di questo tratto è assunta come:
𝐾𝑐𝑟 = |𝑀𝑦− 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝜃𝑦− 𝜃𝑚𝑎𝑥
| (5.2)
Dove il momento di snervamento 𝑀𝑦 viene calcolato a partire dal diagramma M_N , 𝜃𝑚𝑎𝑥 è la rotazione relativa al momento massimo 𝑀𝑚𝑎𝑥, e 𝜃𝑦 la rotazione associata allo snervamento e rappresenta l’unica variabile non nota nell’analisi, la quale può essere valutata numericamente o empiricamente. Non essendo particolarmente influenzata dallo sforzo assiale possiamo in prima approssimazione valutarla come:
𝜃𝑦 = 𝜐 ∙ 𝑓𝑦𝑙
𝐸𝑠∙ 𝑑 (5.3)
Dove 𝜐 = 1.54 per le travi e le colonne, 𝑓𝑦𝑙 è resistenza allo snervamento longitudinale dell’armatura e d l’altezza della sezione.
In fine la Legge 3 è attiva in condizioni di sezione fessurata quando il momento flettente nella sezione risulta più piccolo di 𝑀𝑚𝑎𝑥. Tale legge governa l’andamento del diagramma nel tratto di scarico e ricarico di ricarico prima che sia raggiunta nuovamente la prima fase di carico definita dalla Legge 1. La rigidezza assegnata in questo tratto è definita come:
𝐾𝑠𝑒 = |𝑀𝑚𝑎𝑥,𝑖
𝜃𝑚𝑎𝑥,𝑖| (5.4)
Dove 𝑀𝑚𝑎𝑥,𝑖 è il massimo memento flettente prima del raggiungimento della fase di scarico e 𝜃𝑚𝑎𝑥,𝑖 la rotazione associata. Utilizzando una rigidezza secante si considera un comportamento isteretico che però è sempre centrato nell’origine poiché prima dello snervamento le deformazioni residue sono sempre nulle, tuttavia nel punto dove si raggiunge
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lo snervamento, la rigidezza secante eguaglia quella elastica così una piccola quantità di smorzamento isteretico, conseguenza della fessurazione del calcestruzzo, è innescata prima dell’avvio della fase anelastica.
Importante è anche la valutazione degli effetti che può avare la presenza di uno sforzo assiale di compressione sul comportamento pre e post fessurativo della sezione. I vari cicli di carico e scarico, infatti, possono essere più o meno ampi a seconda dello sforzo assiale a cui è soggetta la sezione, il quale potrebbe far variare sia il momento di prima fessurazione che di snervamento.
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6 Analisi di Interazione Cinematica nel caso di non linearità dei materiali
L’obbiettivo di questa tesi è quello di mettere in luce l’importanza degli effetti prodotti dal comportamento non lineare dei materiali nella determinazione delle sollecitazioni flettenti che si sviluppano su un palo in un problema di interazione cinematica. Numerosi sono gli studi che sono stati condotti per ricavare un modello o una formulazione semplificata che permettesse l’individuazione delle sollecitazioni flettenti, indotte dal terreno su un palo di fondazione, durante un evento sismico. Tuttavia la maggior parte di queste ipotizzano un comportamento viscoelastico lineare per entrambi i materiali, mentre solo le più recenti utilizzano codici di calcolo agli elementi finititi o al contorno, permettendo la risoluzione del problema cinematico considerando anche la non linearità del terreno.Di particolare interesse sarebbe inoltre poter valutare quanto il comportamento non lineare dei materiali influisca sulla determinazione delle sollecitazioni flettenti sul palo quando questo risulta inserito in un deposto in cui è presente una variazione di rigidezza dovuto alla presenza di due strati di terreno contigui caratterizzati da diverse proprietà meccaniche e fisiche. Infatti, come esposto nei precedenti capitoli, la presenza di una discontinuità può far insorgere importanti sollecitazioni flettenti all’interfaccia e può modificare anche sensibilmente le deformazioni e curvature in prossimità della testa del palo.
L’intenzione di questa tesi è dunque quella di poter valutare come varia la risposta del sistema palo-terreno, in termini di momento flettente, sotto queste condizioni “critiche” in un problema di interazione cinematica nell’ipotesi di comportamento non lineare di entrambi i materiali.
Questo è stato possibile mettendo a confronto i risultati ottenuti in ambito lineare da un’analisi di interazione cinematica condotta con un codice di calcolo e dalle recenti formulazioni proposte per la determinazione dei momenti flettenti all’interfaccia e in prossimità della testa del palo, con i risultati ricavati da un’analisi che tiene di conto sia della risposta sismica locale del deposito che della degradazione della rigidezza che può subire una sezione in cemento armato sotto azioni cicliche.
Per mettere in evidenza le differenze che potrebbero intercorrere ricorrendo ad un’analisi o ad una formulazione semplificata che considera un modello costitutivo lineare per entrambi i materiali rispetto ad un’analisi condotta in ambito non lineare è stato necessario condurre uno studio diviso in varie fasi.
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i. Determinare le proprietà meccaniche e geometriche di varie tipologie di sottosuolo in cui il palo risulta inserito. Queste saranno costituite dalla sovrapposizione di due depositi contigui, rispettivamente un’argilla allo strato superiore e una sabbia per quello inferiore, per le quali verranno fatte variare: 1) profondità di interfaccia, 2) velocità di propagazione delle onde di taglio 𝑉𝑠1, 𝑉𝑠2 e conseguentemente il rapporto di rigidezza 𝐺2⁄𝐺1tra i due strati di terreno. I valori dello spessore degli strati contigui e delle velocità sono stati fatti variare in modo da ottenere sempre una velocità delle onde di taglio equivalente 𝑉𝑠30 compresa tra i 100𝑚/𝑠 e 180𝑚/𝑠 in modo che la tipologia di sottosuolo considerata ricadesse sempre in categoria D come prescritto dalle NTC 2018.
ii. Determinare proprietà geometriche e meccaniche della sezione del palo poiché, in un problema di interazione cinematica, sia il diametro che il rapporto di rigidezza 𝐸𝑝⁄𝐸1 tra palo e terreno potranno influenzare l’andamento e l’entità delle sollecitazioni flettenti.
iii. Scegliere gli input sismici da applicare al basamento roccioso. Gli accelerogrammi ricavati dalla banca dati ITACA si differenziano per magnitudo, durata, distanza epicentrale e contenuto in frequenza. Infatti la risposta sismica locale risulta essere notevolmente influenzata non solo dalle proprietà del terreno, ma anche dalle caratteristiche del moto che lo attraversa.
iv. Valutare un quantitativo di armatura con la quale andare a dimensionare la sezione del palo e determinare i rispettivi diagrammi momento curvatura (𝑀 − 𝜒) al fine di applicare il modello costitutivo non lineare alla sezione in cemento armato.
v. Valutare l’entità e l’andamento delle sollecitazioni flettenti che possono insorgere dall’interazione cinematica palo-terreno nell’ipotesi di comportamento lineare per entrambi i materiali. Questo è stato possibile conducendo un’analisi monodimensionale nel dominio del tempo tramite l’utilizzo di un codice di calcolo ONDA il quale schematizza il terreno come un sistema di masse discrete collegate da molle e smorzatori. La risoluzione dell’equazione del moto ci fornisce i valori delle velocità e degli spostamenti relativi che ogni elemento di terreno discretizzato dal codice ha manifestato durante l’evento sismico. Questi risultati verranno introdotti in un altro codice di calcolo agli elementi agli elementi al contorno, KIN SP nel quale viene modellato anche il palo. Il valore delle sollecitazioni flettenti agenti in prossimità di ogni concio in cui è stato suddiviso il palo viene stimato
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attraverso la risoluzione di un’equazione di congruenza che impone l’uguaglianza tra gli spostamenti indotti sul palo dalla spinta del terreno e quelli indotti su quest’ultimo dalle pressioni agenti all’interfaccia palo-terreno prodotte dalle azioni inerziali. A questo va aggiunto il contributo dato dagli spostamenti che il sisma ha generato nel deposito calcolati precedentemente da ONDA. I risultati ottenuti vengono messi a confronto con quelli ottenibili dalle formulazioni proposte in letteratura per la determinazione delle sollecitazioni in testa al palo (Di Laora et al. (2013)) (Eq.1.19), dedotta tramite una modellazione agli elementi finiti nell’ipotesi di comportamento viscoelastico lineare sia per il terreno che per il palo.
vi. Valutare l’entità e l’andamento delle sollecitazioni flettenti che possono insorgere dall’interazione cinematica palo-terreno nell’ipotesi di comportamento lineare della sezione del palo e valutando, in questo caso, la degradazione delle proprietà meccaniche che si possono manifestare nel terreno quando forti azioni dinamiche impartiscono sullo stesso importanti deformazioni a taglio oltre il limite elastico. La risposta sismica locale è stata dunque valutata tramite ONDA che, in questo caso, terrà conto, nelle analisi svolte, del comportamento non lineare del deposito attraverso l’utilizzo 1) delle curve di decadimento del modulo di taglio 𝐺0 e dello smorzamento 𝐷0 in funzione di 𝛾, 2) del modello costitutivo non lineare di Ramberg- Osgood affiancato alle regole di Masing per definizione dei rami di scarico e ricarico. Gli spostamenti e velocità relativi ottenuti per ogni elemento in cui è stato discretizzato il terreno sono stati inseriti nel codice di calcolo KIN SP per la valutazione dei momenti flettenti con le stesse modalità descritte al punto (v). Si mettono dunque a confronto i risultati ottenuti in prossimità della testa del palo con quelli dedotti dall’equazione (Eq.1.19), (Di Laora et al. (2013)). Mentre l’entità delle deformazioni che si sviluppano in prossimità dell’interfaccia tra i due stati di terreno contigui, aventi differente rigidezza, sono messe a confronto con i quelle ottenibili dalla relazione fornita dall’equazione (Eq.1.23), (Di Laora et al. (2012)). Anche questa formulazione è stata dedotta attraverso studi condotti su un modello agli elementi finiti nell’ipotesi di comportamento di tipo viscoelastico lineare per entrambi i materiali.
vii. Valutare l’entità e l’andamento delle sollecitazioni flettenti che possono insorgere dall’interazione cinematica palo-terreno nell’ipotesi di comportamento non lineare di entrambi i materiali. Con ONDA l’analisi di risposta sismica locale viene condotta nell’ipotesi che il terreno subisca importanti deformazioni a taglio tali da: far
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aumentare il valore dello smorzamento 𝐷0, degradare il modulo di taglio 𝐺0 , e smorzare o amplificare il moto in superficie in base al tipo di input sismico imposto al bedrock. In questa ultima fase della tesi le sollecitazioni flettenti dedotte dal codice di calcolo KIN SP sono ottenute considerando per ogni concio il modello costitutivo non lineare proposto da Andreotti & Lai (2017), limitato alle prime tre regole, ovvero prima del raggiungimento dello snervamento della sezione in cemento armato. La matrice di rigidezza H, presente nell’equazione di equilibrio che viene risolta iterativamente dal KIN SP, viene quindi aggiornata in funzione del momento sollecitante raggiunto (e della rispettiva curvatura), che sia esso più piccolo o che abbia superato il momento di prima fessurazione, ad ogni step di carico. Si confrontano dunque i risultati ottenuti con i valori delle sollecitazioni flettenti ricavati dalle analisi precedenti in ambito lineare-lineare e lineare-non lineare per il terreno. Inoltre i momenti flettenti che si generano in corrispondenza della testa del palo e all’interfaccia vengono messi a confronto con quelli deducibili dalle equazioni
(Eq.1.19) e (Eq.1.23).
La non linearità dei materiali influenzerà inevitabilmente l’andamento e l’entità delle sollecitazioni ottenute, infatti mentre il codice ONDA permette la valutazione della degradazione del terreno, il modello costitutivo introdotto consente di stimare il comportamento della sezione in calcestruzzo armato prima del raggiungimento dello snervamento. Durante l’evento sismico le sezioni più sollecitate del palo, ossia quelle all’interfaccia, per effetto dell’interazione con il terreno, saranno le prime a fessurarsi variando così la loro rigidezza. La conseguente degradazione del materiale porterà ad una diminuzione delle azioni in questi punti e ad un aumento delle sollecitazioni verso altre profondità del palo che non hanno subito variazione in termini di rigidezza. L’effetto globale che si andrà a riscontrare, soprattutto nel caso di terremoti particolarmente violenti, sarà una diffusione della fessurazione lungo l’intero palo e sollecitazioni flettenti meno severe di quelle ricavate con un modello che considera gli effetti non lineari solo per il terreno.