Modello non lineare di Ramberg Osgood

Un’analisi di risposta sismica locale non lineare richiede l’utilizzo di adeguati modelli costitutivi capaci di simulare il comportamento post elastico di ogni strato che compone il sottosuolo e quindi l’evolversi (degradarsi) delle relative proprietà meccaniche. Il problema risulta tuttavia assai complesso perché richiede e di tenere in conto delle principali caratteristiche del di terreno, delle condizioni di drenaggio e dell’energia dissipata ad ogni ciclo di carico. Per trattare il problema nel campo delle grandi deformazioni è necessario l’utilizzo di dati ricavati sia da prove in sito che in laboratorio sotto azioni dinamiche e cicliche che ci permettano di descrivere l’evolversi della degradazione del materiale fino a rottura. Sulla base di questi risultati sperimentali si andranno a tarare/calibrare specifici legami costitutivi (leggi che descrivono il legame tra sforzi e deformazioni, -) che possono basarsi sulle teorie dell’elasticità, dell’elastoplasticità o della plasticità incrudente.

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Un buon modello costitutivo di un materiale come il terreno per essere completo deve poter essere in grado di riprodurne adeguatamente il reale comportamento (in termini di legame sforzi-deformazioni) sia in campo lineare che post-lineare. Deve quindi, poter descrivere attraverso leggi ben precise, l’evolversi del legame sforzo-deformazione, riprodurre non sono il comportamento sotto carico crescente monotono ma anche le fasi di scarico-ricarico, e quindi anche il decadimento della rigidezza ed in concomitanza l’aumento dello smorzamento e dell’energia dissipata. Dovrebbe inoltre essere in grado di tenere implicitamente in conto dell’effetto del numero di cicli della sollecitazione sulla degradazione del materiale e sull’evolversi delle sovrapressioni interstiziali, nonché simulare l’evoluzione della risposta a partire dalle piccole deformazioni fino alla rottura. Fin tanto che le azioni applicate comportano deformazioni al di sotto della soglia lineare 𝛾 < 𝛾_𝑙 il modello da utilizzare può essere dunque di tipo elastico lineare, nel quale il parametro rappresentativo del comportamento tensionale-deformativo è appunto il modulo di taglio 𝐺₀ alle piccole deformazioni. Il tal caso il legame tra le deformazioni e gli sforzi di taglio può essere rappresentato mediante la relazione elastica 𝜏 = 𝐺0𝛾 . Tuttavia, sappiamo che difficilmente i terreni reali presenteranno un comportamento elastico-lineare durante un evento sismico e pertanto le leggi che descrivono i tratti di carico e scarico saranno influenzati da un altro parametro, lo smorzamento 𝐷₀.

Quando le deformazioni si fanno più importanti tali da superare la soglia elastica, ma non quella volumetrica, 𝛾_𝑙 < 𝛾 < 𝛾_𝑣 , i modelli più frequentemente utilizzati permettono attraverso una serie di artifici e l’utilizzo di alcuni parametri di ricondursi al caso lineare (modello lineare equivalente).

Una volta che sono state ricavate mediante prove di laboratorio (ad esempio: prove di colonna risonante, CR e prove di taglio ciclico torsionale, TCT) la legge di decadimento del modulo di taglio 𝐺(𝛾) e la legge di variazione dello smorzamento D con il livello di deformazione 𝐷(𝛾) nel campo delle piccole, medie e medio-alte deformazioni, si possono utilizzare modelli di tipo lineare-equivalente che rappresentano un buon compromesso per descrivere con semplicità gli effetti della non linearità del mezzo e delle sue proprietà dissipative.

Un modello costitutivo (legge che descrive il legame tra sforzi e deformazioni, legge -) che può essere utilizzato per definire il comportamento marcatamente non lineare del terreno quando i carichi applicati superano la soglia elastica è quello di Ramberg Osgood (1943) a

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cui fa riferimento anche il programma di calcolo ONDA (Lo Presti et al., 2006; Lo Presti e Stacul, 2017) utilizzato nella seguente tesi.

Il modello si basa sulle seguenti assunzioni:

• Il legame sforzi-deformazioni della curva scheletro è descritto dalla relazione:

𝑥 = 𝑦[1 + 𝛼(𝑦)𝑅−1] (3.2.a)

Quest’ultima può anche essere riscritta nella seguente forma:

𝜏 = 𝐺0𝛾

1 + |𝑦|𝑅−1 (3.2.b)

Dove α e R sono dei coefficienti di forma che definiscono la forma della curva di decadimento del modulo di taglio G e della curva che descrive la variazione dello smorzamento del terreno D con il livello di deformazione mentre x e y rappresentano i valori normalizzati dello sforzo e della deformazione ovvero:

𝑥 =𝛾⁄_{𝛾𝑟𝑖𝑓} 𝑦 =𝜏𝑚𝑎𝑥

𝜏_𝑟𝑖𝑓 ⁄

Mentre 𝛾𝑟𝑖𝑓 = 𝜏𝑚𝑎𝑥⁄𝐺0. Dove max rappresenta la resistenza al taglio del materiale e che

può essere valutata mediante la relazione proposta da Hardin e Drnevich (1972).

• I rami di scarico e ricarico sono ottenuti sapendo che:

- La tangente nei punti A e B di inversione degli sforzi rispettivamente in corrispondenza dei rami di scarico e ricarico è parallela alla tangente della curva di 1° carico nel punto iniziale O.

- Le curve di scarico e ricarico ADB e BCA possono essere ottenute dalla curva di primo carico raddoppiando la scala (rispettando così la ben nota 2° regola di Masing, 1926).

Dunque, le curve di scarico e ricarico presentano le seguenti equazioni:

𝜏 − 𝜏_𝑎 2 = 𝑓 ( 𝛾 − 𝛾_𝑎 2 ) (3.3.a) 𝜏 + 𝜏_𝑎 2 = 𝑓 ( 𝛾 + 𝛾_𝑎 2 ) (3.3.b)

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Dove f è la relazione matematica della curva scheletro (detta anche curva vergine o di primo carico) come mostrato in (Fig.3.1).

Fig.3.1. Curva Dorsale che descrive la relazione tra tensione e deformazioni a taglio.

Sotto queste ipotesi è poi possibile ricavare il valore dello smorzamento in funzione della legge di decadimento del modulo di taglio.

𝐷 =2𝑅 − 1 𝜋𝑅 + 1∙ (1 −

𝐺

𝐺₀) (3.4)

Il parametro R varia generalmente tra 2 e 4 mentre α ha un campo si variazione molto più ampio.

• Se la curva di scarico o ricarico supera la massima deformazione raggiunta in precedenza 𝛾_𝑚𝑎𝑥 e interseca la curva scheletro, essa segue la curva scheletro fino alla successiva inversione della direzione di carico.

• Se la curva di scarico o ricarico attraversa la curva del ciclo precedente, la curva sforzo deformazioni segue quella del precedente ciclo.

Il modello costitutivo implementato in ONDA impiega il modello di Ramberg-Osgood (1943) per descrivere l’andamento della curva scheletro (legge - di primo carico), alla quale sono poi associate le regole di Masing (1926) per la definizione dei rami di ricarico e scarico che caratterizzano il comportamento del materiale sotto azioni cicliche (Fig.3.2).

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Fig.3.2. Leggi di Masing per descrive l’andamento dei rami di scarico e ricarico peer terreno sottoposto ad azioni dinamiche cicliche.