ONDA (One-dimensional Non-linear Dynamic Analysis)

Il codice di calcolo ONDA viene utilizzato per eseguire le analisi di risposta sismica locale, ricorrendo ad un’analisi monodimensionale nel dominio del tempo. Il terreno viene schematizzato come un sistema a masse discrete, come il modello proposto da Ohasaki (1982), connesse da molle e smorzatori con l’aggiunta di poter considerare gli effetti della non linearità della risposta del terreno al passaggio delle onde sismiche. In questo modo risulta possibile andare a valutare anche il degrado ciclico che subisce il deposito di terreno una volta note:

- La curva scheletro o “Backbone” che descrive il legame tensione deformazione sotto carico monotono. Questa può essere ottenuta in laboratorio, ad esempio mediante prove di taglio semplice.

- L’insieme di regole che definiscono i percorsi di carico e scarico. In questo caso le “regole di Masing”, alle quali possono essere apportate eventuali modifiche, ad esempio per tenere di conto di eventuali fenomeni di ‘hardening’ o ‘softening’ del materiale oppure dell’influenza della frequenza dell’eccitazione sismica (e quindi della velocità di deformazione). I rami di scarico e ricarico devono infatti presentare la stessa forma della curva iniziale di carico scalati di un fattore n generalmente assunto pari a 2 (rispettando così la seconda regola di Masing). Quando invece il valore del fattore n viene assunto diverso da 2 (generalmente > 2) la seconda regola di Masing viene detta modificata. In ONDA è possibile impiegare una versione modificata della seconda regola di Masing (n > 2).

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Nelle analisi svolte da ONDA la seconda legge di Masing viene modificata in modo da poter simulare il comportamento non lineare del terreno quando azioni cicliche tendono a far aumentare le deformazioni a taglio oltre la soglia elastica. Invece di raddoppiare la scala dei rami di ricarico scarico in ONDA si adotta un valore del parametro n opportuno che può essere anche più grande di 2 in modo da tener conto di un possibile incrudimento ciclico, mentre nel caso si degradazione del materiale, e quindi di softening, tale valore può assumere anche valori più bassi. Questa generalizzazione della regola di Masing permette ad ONDA di tenere in conto di eventuali fenomeni di degrado o di incrudimento del terreno e di valutare in maniera più realistica l’andamento degli sforzi di taglio al variare delle deformazioni durante l’evento sismico.

Il modello di Ramberg-Osgood permette di rappresentare i rami di ricarico scarico del legame tensione deformazione attraverso la seguente relazione:

𝑥 − 𝑥𝑐 𝑛 = 𝑦 − 𝑦𝑐 𝑛 ⌊1 + 𝛼 | 𝑦 − 𝑦𝑐 𝑛 | 𝑅−1 ⌋ (3.5)

Dove 𝑥_𝑐 e 𝑦_𝑐 sono rispettivamente la deformazione e lo sforzo di taglio normalizzati nel punto di inversione o ‘reversal point’ (punto di inizio di una nuova fase di scarico o ricarico). Il valore di 𝑛 quindi non è sempre pari a 2 ma deve essere adeguatamente scelto in funzione del numero di cicli N e del livello di deformazione al fine di catturare tutti gli aspetti che caratterizzano la non linearità del comportamento del terreno, incluso l’incremento delle sovrappressioni neutre che viene indirettamente tenuto in conto, dato che in ONDA le analisi vengono condotte in termini di tensioni totali.

La specifica sequenza dei valori del parametro 𝑛 viene definita automaticamente nel codice di calcolo ONDA. Si rimanda al manuale d’uso per ulteriori dettagli (Lo Presti e Stacul, 2017).

Per poter quindi permettere ad ONDA di condurre le analisi è necessaria la conoscenza dei seguenti parametri per ciascun strato di terreno di cui è composto il deposito oggetto di studio:

• I valori dei parametri del modello Ramberg-Osgood, 𝜏_𝑚𝑎𝑥, 𝐺₀, 𝛼, 𝑅 che servono a definire la curva scheletro.

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Se il valore di 𝐺₀ viene assunto inizialmente nullo all’inserimento dei dati input necessari a ONDA per condurre le analisi, questo viene dedotto a partire dalle velocità di trasmissione delle onde di taglio nel suolo. Mentre se non è fornito un valore di 𝜏_𝑚𝑎𝑥 allora esso viene stimato a partire dal criterio di resistenza Mohr-Coulomb :

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑐′+ 𝜎′𝑣 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝜑′ (3.6)

Il valore dell’OCR e dell’indice di plasticità 𝐼_𝑝 influenzano direttamente i valori di 𝑛 poiché anche questi caratterizzano il comportamento del materiale a seconda del numero dei cicli dell’azione e del livello di deformazione raggiunto.

Il valore dei parametri che definisco un legame costitutivo alla Ramberg-Osgood sono facilmente ricavabili da prove di laboratorio o da test condotti in sito e numerose sono le correlazioni proposte e presenti in letteratura. Al contrario sono pochi gli studi nella letteratura tecnica, utili a stimare i valori del parametro 𝑛. Secondo quanto proposto da Ionescu (1999) il valore di 𝑛 è condizionato dal fatto che per bassi livelli di deformazioni, il valore del modulo di taglio secante risulta essere all’incirca coincidente con quello ottenuto da prove cicliche, mentre quando le sollecitazioni si fanno più importanti o aumenta il numero dei cicli la degradazione del materiale potrebbe portare a valori di 𝐺 più grandi e questo può essere imputabile ad un effetto di hardering del materiale. In generale quindi è possibile affermare che:

• Per piccolissime deformazioni (𝛾 ≤ 0.001%) 𝑛 assume tipicamente il valore pari a 2

• I valori di 𝑛 possono incrementare fino a 6 all’aumentare delle deformazioni a taglio (𝛾 ≤ 0.05%)

• Se il valore della deformazione a taglio rimane costante il valore di 𝑛 tende ad aumentare con il numero di cicli fino a raggiungere un valore stabile dopo 5 cicli di carico scarico.

Alcune precisazioni sui valori di 𝑛 utilizzabili sono state dedotte dai dati ottenuti da prove di laboratorio non drenate su provini (Lo Presti et al.1999.), Da questi test si è dedotto che il parametro 𝑛 è influenzato dai seguenti fattori:

• Il valore iniziale di 𝑛 (𝑛₀) dipende dal livello di tensione e dal tipo di terreno • Per valori molto piccoli della deformazione il valore di 𝑛₀ è prossimo a 2.

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• il valore di 𝑛₀ incrementa fino ad un massimo di 6 con incrementi della deformazione assale fino ad una certa soglia; per incrementi della deformazione assiale più grandi di questa soglia. il valore di 𝑛₀ inizia a decrescere fino al valore minimo di 2.5. Il livello di deformazione a partire dal quale n0 inizia a diminuire è all’incirca uguale allo 0.1%, sebbene tale valore dipenda dall’OCR e dall’indice di plasticità.

• valori più piccoli di 𝑛₀ sono stati osservati nei terreni che presentavano un grado di sovraconsolidazione compreso tra 2 e 4.

• La variazione di 𝑛 con il numero di cicli può essere espressa con la seguente relazione:

log(𝑛) = log(𝑛₀) − 𝑡∗_{log (𝑁) (3.7)}

Dove il valore di 𝑡∗ descrive il decremento di 𝑛 al crescere del numero di cicli per un dato livello di deformazione.

Il calcolo della risposta sismica locale con ONDA è possibile solo tramite le seguenti ipotesi di base:

• Gli strati che compongono il terreno, layer, sono assunti orizzontali.

• Gli strati di terreno e il bedrock sono infinitamente estesi nella direzione orizzontale. • Le uniche onde che si propagano nel terreno sono le onde SH nella sola direzione

verticale a partire dal bedrock.

Per poter condurre le analisi il codice di calcolo ha bisogno dei seguenti dati di input:

1. i parametri fisico-meccanici che caratterizzano gli strati che compongono il deposito di terreno oggetto di studio, nonché lo spessore di ciascuno strato;

2. la time history (storia temporale) dell’input sismico, ovvero l’accelerogramma. Sono necessari dunque parametri come l’angolo di resistenza al taglio 𝜑′ , la coesione efficace 𝑐′, il peso specifico 𝛾, la velocità di propagazione delle onde di taglio 𝑉_𝑠, il modulo elastico di taglio iniziale 𝐺₀ (alle piccole deformazioni) e l’indice di plasticità 𝐼_𝑝. Mentre le informazioni richieste per l’input sismico riguardano: l’eventuale fattore di scala da applicare all’accelerogramma iniziale nel caso sia necessario effettuare un’operazione di semplice scalatura, il time step del segnale (o intervallo di campionamento). È inoltre necessario specificare se il moto sismico applicato alla base del modello (bedrock) è di tipo ‘outcrop’ o di tipo ‘within’. Nella quasi totalità dei casi, il moto usato come input sarà di

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tipo ‘outcrop’, ovvero l’input sismico è stato registrato in una stazione accelerometrica in corrispondenza di un affioramento roccioso

Il principale obiettivo dell’analisi è quello di determinare il moto in condizioni di campo libero (free-field) del deposito conseguente all’applicazione dell’input sismico che si propaga in direzione verticale a partire dalla base del modello 1-D (monodimensionale).

Dunque, al termine dell’analisi si ottengono le time histories (storie temporali) dell’accelerazione, della velocità relativa, dello spostamento relativo, della deformazione a taglio e degli sforzi di taglio in corrispondenza della mezzeria di ogni specifico sotto-strato in cui è stato discretizzato il deposito di terreno, lo spettro di Fourier e lo spettro di risposta elastico (pseudo-acceleration spetrum).

La determinazione degli spostamenti risulta possibile attraverso la risoluzione dell’equazione del moto:

𝑀𝑥̈ + 𝐶𝑥̇ + 𝐾𝑥 = −𝑦̈𝑀𝑟 (3.8)

• Dove x è il vettore che rappresenta gli spostamenti relativi delle masse concentrate. • r è un vettore unitario.

• M è la matrice diagonale della massa proporzionale a 𝜌_𝑗, 𝐻_𝑗 ovvero alle densità e agli spessori degli strati con j=1:N.

• C è la matrice di smorzamento alla Rayleigh.

• K è la matrice di rigidezza proporzionale a 𝐺_𝑖/𝐻_𝑖, dove 𝐺_𝑖 è il modulo di taglio di ogni strato di terreno.

• N è il numero complessivo di sub-layer in cui il terreno è stato suddiviso.

Il moto viene assegnato alla base del sistema (figura) nel quale il bedrock è assunto con una rigidezza finita. Per simulare gli effetti di radiazione nel semispazio, al substrato rigido viene assegnato uno smorzatore fittizio il cui coefficiente di smorzamento viene assunto pari a √𝜌𝑏𝐺𝑏, che sono rispettivamente la densità ed il modulo elastico a taglio del bedrock. Il codice ONDA, così come formulato, riesce a tenere conto nelle analisi del comportamento non lineare del terreno aggiornando la matrice di rigidezza K ad ogni passo dell’analisi (quindi ad ogni time step, che sarà pari ad una frazione dell’intervallo di campionamento dell’input sismico).

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Lo smorzamento di tipo isteretico è tenuto implicitamente in conto mediante il legame costitutivo di tipo Ramberg Osgood associato alle regole di Masing, mentre lo smorzamento di tipo viscoso alle piccole deformazioni è tenuto in conto mediante la matrice C alla che è di tipo alla Rayleigh.

Quest’ultima componente di smorzamento (viscoso) risulta tuttavia di minore importanza, infatti ha un peso maggiore solo nella determinazione della risposta sismica ai bassi livelli di deformazione. Quando il livello di deformazione si fa più importante è lo smorzamento di tipo isteretico a dominare rispetto agli smorzamenti di natura viscosa.

L’equazione del moto viene risolta passo passo nel dominio del tempo per integrazione diretta attraverso l’utilizzo del metodo di integrazione numerica Wilson 𝜃 (Chopra, 1995). All’intervallo 𝑡 l’equazione può essere scritta nella seguente forma incrementale:

{𝐾̂}

𝑡{∆𝑥}𝑡 = {𝑅}𝑡 (3.9)

Dove nel vettore {∆𝑥}𝑡 sono contenuti gli spostamenti incrementali ottenuti nell’analisi al tempo t mentre la matrice {𝐾̂}_𝑡e {𝑅}_𝑡 sono definite come segue:

{𝐾̂} 𝑡= 6 𝜏2𝑴 + 3 𝜏𝑪 + {𝐾}𝑡 (3.10.a) {𝑅}𝑡 = 𝑴 (∆𝑅𝑡𝑰 + 6 𝜏{𝑥̇}𝑡+ 3{𝑥̈}𝑡) + 𝐂 (3{𝑥̇}𝑡+ 2 𝜏{𝑥̈}𝑡) (3.10.b)

Dove {𝐾}_𝑡è la matrice di rigidezza aggiornata all’istante t, I è la matrice identità mentre 𝜏 = 𝜃 ∙ ∆𝑡 , e ∆𝑅𝑡= −𝜃(𝑦̈𝑡+∆𝑡− 𝑦̈𝑡) . Una volta risolta l’equazione (Eq.2) i vettori che descrivano l’accelerazione, la velocità e lo spostamento, dei punti in cui è discretizzato il modello, al tempo 𝑡 + ∆𝑡 possono essere dedotti dalle seguenti relazioni:

{𝑥̈}_𝑡+∆𝑡 = 6 𝜏2{∆𝑥}𝑡− 6 𝜏𝜃{𝑥̇}𝑡+ (1 − 3 𝜃){𝑥̈}𝑡 (3.10.c) {𝑥̇}𝑡+∆𝑡 = {𝑥̇}𝑡+ ∆𝑡 2 [{𝑥̈}𝑡+∆𝑡+ {𝑥̈}𝑡] (3.10.d) {𝑥}_𝑡+∆𝑡 = {𝑥}_𝑡+ ∆𝑡{𝑥̇}_𝑡+(∆𝑡) 2 2 [{𝑥̈}𝑡+∆𝑡 + 2{𝑥̈}𝑡] (3.10.e)

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Una volta calcolato il vettore degli spostamenti incognito, da questo possono essere facilmente dedotti i vettori della deformazione a taglio e degli sforzi di taglio.

Un’ ultima osservazione deve essere fatta sulla convergenza della soluzione e la stabilità dello schema risolutivo impiegato, poiché essi risultano influenzati dalla discretizzazione del deposito in sotto-strati. Il numero di quest’ultimi dipende infatti da numerosi fattori tra i quali la massima frequenza dell’eccitazione sismica, la rigidezza degli strati di terreno (e l’eventuale presenza di contrasti di rigidezza significativi), il periodo naturale (o fondamentale) del deposito ed il time step (pari ad una frazione dell’intervallo di campionamento del segnale sismico di input) impiegato nell’integrazione numerica al passo dell’equazione del moto, che viene risolta appunto nel dominio del tempo.

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4 Codice di calcolo KIN SP (Bounday Element Metod)

Sono numerosi i parametri che possono influenzare le sollecitazioni che si manifestano su un palo quando è in corso un evento sismico. In un problema di interazione cinematica tra palo e terreno non è solo necessario valutare la reale risposta e comportamento del deposito sotto l’azione sismica, come il fenomeno della degradazione di rigidezza, ma risulta necessaria la valutazione di altri parametri che influenzano l’entità e l’andamento delle deformazioni lungo il palo, come la dimensione della sezione, la rigidezza relativa palo terreno e tipo di vincolo in testa.

Come descritto nei capitoli precedenti, risulta di particolare importanza nella determinazione delle sollecitazioni flettenti di origine cinematica, valutare il reale comportamento struttura terreno quando il palo è inserito all’interno di un deposito costituito da due, o più, strati di terreno contigui caratterizzati da una diversa rigidezza

Infatti all’interfaccia possono manifestarsi momenti flettenti aggiuntivi che condizioneranno il comportamento della sezione posta a tale profondità e influenzare le sollecitazioni flettenti in corrispondenza della testa del palo.

Per effettuare analisi di risposta sismica locale e studiare i fenomeni di interazione cinematica, al fine di definire quali saranno le sollecitazioni a cui sarà sottoposto il palo sarà necessario ricorrere a metodi di analisi di tipo numerico o a formulazioni semplificate dedotte da indagini sperimentali e/o numeriche (metodi alla Winkler o BDWF, metodi FEM, metodi BEM). La qualità della soluzione dunque sarà anche dettata dal tipo modello utilizzato. I problemi di interazione cinematica per il singolo palo sono generalmente risolti utilizzando il modello dinamico di Winkler (BDWF, Beam on Dynamic Winkler Foundation) o utilizzando modelli al continuo come il metodo degli elementi finiti (FEM, Finite Element Method) o il metodo degli elementi di contorno (BEM, Boundary Element Method).

La soluzione dipenderà da numerosi parametri che caratterizzano il modello scelto per l’analisi:

• Definizione della geometria

• Modalità di applicazione dell’input sismico

• Condizioni al contorno e livello di discretizzazione • Formulazione e risoluzione dell’equazione del moto

69 • Legami costitutivi scelti per i materiali

Il codice di calcolo qui descritto KIN SP (Stacul et al., 2017; Stacul e Squeglia, 2018), attraverso il quale sono state condotte parte delle analisi svolte in questa tesi, utilizza il metodo degli elementi di contorno (BEM), discretizzando il dominio della soluzione solo in corrispondenza delle interfacce del problema oggetto di studio (ovvero in questo caso l’interfaccia tra palo e terreno), riducendo quindi così le dimensioni del problema, rispetto ad un modello FEM, e i dati in ingresso.

Il problema viene risolto attraverso un’analisi cinematica nel dominio del tempo che prevede l’utilizzo, come dati di input, dei risultati delle analisi di risposta sismica ottenuti con il codice di calcolo ONDA. Il codice ONDA, infatti, fornisce le time histories (storie temporali) delle velocità e degli spostamenti relativi in corrispondenza dei punti posizionati nella mezzeria di ciascun sotto-strato (e quindi di ciascun concio di palo) in cui è stato discretizzato il deposito di terreno oggetto di studio durante l’evento sismico.

Il codice di calcolo si basa sulle seguenti assunzioni di base:

• Il comportamento del terreno è assunto elastico lineare, in quanto nel codice di calcolo ONDA, gli spostamenti e le velocità relative del terreno sono stati stimati già tenendo in conto, mediante il modello costitutivo Ramberg Osgood e le regole di Masing del comportamento marcatamente non lineare del terreno;

• Il modulo elastico a taglio di ciascun sotto-strato in cui è discretizzato il terreno è un modulo elastico equivalente, ovvero è un modulo elastico a taglio secante corrispondente ad una deformazione a taglio pari al 65% della massima deformazione taglio raggiunta in ciascun sotto-strato nell’analisi di risposta sismica in condizioni di campo libero (free-field) con ONDA;

• Ogni concio in cui è discretizzato il palo è soggetto ad uno sforzo orizzontale uniforme così come le sollecitazioni imposte dal terreno al palo risultano sempre dirette perpendicolarmente al suo asse.

• Gli spostamenti del terreno indotti dalla pressione uniforme agente su ciascun concio del palo vengono stimata integrando l’equazione di Mindlin (1936);

• Viene imposto l’equilibrio e la congruenza tra gli spostamenti del terreno e del palo. Durante l’analisi passo-passo nel dominio del tempo la matrici di rigidezza del sistema palo-terreno può essere o non essere aggiornata. Nel codice di calcolo KIN SP la matrice di flessibilità del palo H è ottenuta utilizzando la teoria elastica delle travi alla Eulero-

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Bernoulli e ogni coefficiente della matrice può essere stimato attraverso l’equazione (Eq.

4.1a, 4.1b) ℎ𝑖𝑗 = 𝑧_𝑖3 3𝐸𝑝𝐼𝑝 +𝑧𝑖 2_(𝑧 𝑗− 𝑧𝑖) 2𝐸𝑝𝐼𝑝 𝑖𝑓 𝑧𝑖 ≤ 𝑧𝑗 (4.1a) ℎ_𝑖𝑗 = 𝑧𝑗 3 3𝐸_𝑝𝐼_𝑝+ 𝑧_𝑗2(𝑧_𝑖 − 𝑧_𝑗) 2𝐸_𝑝𝐼_𝑝 𝑖𝑓 𝑧𝑗 < 𝑧𝑖 (4.1b)

In questo modo il vettore degli spostamenti incrementali di ciascun concio in cui è stato discretizzato il palo {∆𝑦} può essere ottenuto conl’equazione (Eq. 6.2a)

{∆𝑦} = −𝐻{∆𝑃_𝑝} + ∆𝑦₀+ ∆𝜃₀{𝑧} (4.2a)

{∆𝑃_𝑝} = {∆𝑝}(𝑡𝐷) (4.2b)

Dove {∆𝑃_𝑝} è un vettore colonna contenente i carichi incrementali agenti in corrispondenza di ogni concio in cui è suddiviso il palo, dato dal prodotto di {∆𝑝} che rappresenta il vettore delle pressioni incrementali agenti su ogni concio per (𝑡𝐷), che sono rispettivamente lo spessore del concio e il diametro della sezione del palo. I parametri aggiuntivi presenti nella formula per la determinazione degli spostamenti incrementali, ∆𝑦0 e ∆𝜃0, rappresentano una traslazione ed una rotazione rigida in corrispondenza della testa del palo.

La matrice di flessibilità del terreno invece viene ricavata attraverso l’equazione di Mindlin (1936) ed ogni suo coefficiente può essere dedotto a partire dall’equazione (Eq.4.3)

𝑏_𝑖𝑗 = (1 + 𝜈) 8𝜋𝐸_𝑠(1 − 𝜈) 3 − 4𝜈 𝑅_𝑖𝑗 + 1 𝑅_2𝑖𝑗+ 2𝑐𝑧 𝑅_2𝑖𝑗3 + 4(1 − 𝜈)(1 − 2𝜈) 𝑅_2𝑖𝑗+ 𝑧 + 𝑐 (4.3)

Gli spostamenti incrementali che subisce il terreno possono essere ottenuti dall’equazione

(Eq. 4.4)

{∆𝑠} = 𝐵{∆𝑃_𝑠} + {Δ𝑥} (4.4a)

{∆𝑃𝑠} = {∆𝑝𝑠}(𝑡𝐷) (4.4b)

Dove {∆𝑃_𝑠} è un vettore colonna contenente i carichi incrementali agenti all’interfaccia palo- terreno in corrispondenza di ogni concio in cui è suddiviso il palo. Quest’ultimo vettore è dato dal prodotto di {∆𝑝_𝑠} che rappresenta il vettore delle pressioni incrementali uniformi

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che agiscono all’interfaccia palo-terreno di ciascun concio per (𝑡𝐷) , che sono rispettivamente lo spessore del concio e il diametro della sezione del palo. Il vettore {Δ𝑥} contiene gli spostamenti incrementali del moto di free-field ottenuti dalla risposta sismica con ONDA.

La relazione tra i vettori dei carichi {∆𝑃_𝑠} e {∆𝑃_𝑝} viene espressa dalla relazione (Eq. 4.5)

{∆𝑃_𝑝} = {∆𝑃_𝑠} + 𝑀𝑘{Δ𝑦̈} + 𝐶𝑘[{Δ𝑦̇} − {Δ𝑥̇}] (4.5)

Dove 𝑀_𝑘e 𝐶_𝑘 sono rispettivamente la matrice delle masse e dello smorzamento geometrico (o radiation damping), mentre {Δ𝑦̈} e {Δ𝑦̇} sono i vettori incrementali delle accelerazioni e delle velocità dei nodi del modello, infine {Δ𝑥̇} è il vettore delle velocità incrementali dedotto dall’analisi di risposta sismica con ONDA.

Imponendo l’uguaglianza tra spostamenti del terreno e quelli del palo {∆𝑠} = {∆𝑦}, la combinazione dell’equazione (Eq. 6.2a) e (Eq. 6.5) fornisce la relazione (Eq. 6.6) che verrà risolta attraverso il metodo di integrazione numerica Newmark-β. La soluzione viene trovata passo-passo valutando gli spostamenti incrementali ad ogni step Δt, tramite le relazioni (Eq. 6.7a e 6.7b), sapendo che {𝑦̇} 𝑒 {𝑦̈} sono rispettivamente i vettori delle velocità e accelerazioni ricavati alla fine dello step precedente.

All’equazione finale (Eq. 6.8) vengono affiancate inoltre due equazioni di equilibrio (alla traslazione ed alla rotazione), visto che il problema ha un numero di incognite pari a 𝑛 + 2 (dove n è il numero di conci in cui è suddiviso il palo e le altre due incognite sono lo spostamento rigido e la rotazione rigida in corrispondenza della testa del palo, ∆𝑦₀ e ∆𝜃₀).

−𝐻{∆𝑃_𝑝} + 𝑀_𝑘{Δ𝑦̈} + 𝐶_𝑘[{Δ𝑦̇} − {Δ𝑥̇}] + ∆𝑦₀+ ∆𝜃₀{𝑧} = 𝐵{∆𝑃_𝑠} + {Δ𝑥} (4.6) {Δ𝑦̈} = 4 Δ𝑡2{∆𝑦} − 4 Δ𝑡{𝑦̇} − 2{𝑦̈} (4.7a) {Δ𝑦̇} = 2 Δ𝑡{∆𝑦} − 2{𝑦̇} (4.7b) [4 Δ𝑡𝐻𝑀 + 2𝐻𝐶] {𝑦̇} + 2𝐻𝑀{𝑦̈} (4.8)

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5 Modello non lineare per il calcestruzzo armato

L’interazione cinematica tra struttura e fondazione è uno dei problemi più complessi legati all’ingegneria strutturale e geotecnica. Nella maggior parte dei problemi di questo tipo la difficoltà della progettazione risiede nell’individuazione di un modello che possa tener di conto del comportamento non lineare del terreno e della sovrastruttura. Generalmente il problema viene risolto considerando il sistema terreno-struttura-fondazione come due sottosistemi separati attraverso l’impiego di programmi di calcolo che riescono bene a modellare la non linearità delle strutture, ma difficilmente ad includere la risposta non lineare del suolo sotto le azioni sismiche, o il contrario.

In particolare sarebbe di fondamentale importanza capire quale cambiamento subisce la rigidezza del sistema struttura-terreno durante l’evento sismico, variazione che risulta appunto governata dal comportamento non lineare dei due materiali.

Negli ultimi anni sono aumentati gli studi e la conoscenza del fenomeno riguardante l’interazione cinematica tra terreno-struttura durante l’evento sismico, ma rimane tuttavia molto complessa la messa in pratica di tali fenomeni in un modello strutturale a causa della non facile modellazione delle non linearità legate alla geometria e ai materiali e come tali comportamenti si influenzino tra loro.

L’obiettivo dunque è quello di valutare gli effetti che l’interazione cinematica produce su un sistema palo-terreno attraverso l’utilizzo di un modello costitutivo non lineare per entrambi i materiali che possa simulare la degradazione ciclica delle proprietà meccaniche del terreno e del calcestruzzo sotto l’azione dinamica. In questo modo si riesce ad avere una stima più veritiera del reale danno a cui sarà soggetto il sistema strutturale.

A questo proposito Andreotti &Lai (2017) hanno proposto un modello costitutivo da adottare nei problemi di interazione cinematica per valutare il comportamento non lineare della sezione del palo in calcestruzzo armato sotto azioni cicliche. I rami di carico e scarico del