Risposta sismica di un sottosuolo reale

La funzione di trasferimento, e quindi quella di amplificazione associata, rappresenta un valido strumento per la determinazione dell’effetto filtrante del terreno esaminato in modo da ottenere, attraverso un’analisi di risposta sismica locale, uno spettro di riposta dell’accelerazione che includa realisticamente l’effetto di amplificazione del sottosuolo. Sapere tuttavia quale sia il campo di frequenze che può subire modifiche al passaggio dell’onda dal bedrock in superficie non risulta sempre sufficiente per determinare correttamente le caratteristiche del moto atteso alla superficie del deposito.

Per prima cosa risulta indispensabile la conoscenza del così detto terremoto di riferimento ovvero quello atteso al basamento roccioso, ottenuto tramite un’analisi della pericolosità sismica regionale. I contenuti in frequenza saranno caratterizzati dal tipo si sorgente, dalla magnitudo e percorso di propagazione. Le amplificazioni tenderanno a diminuire al crescere della distanza epicentrale a causa dell’attenuazione geometrica e della perdita di energia per propagazione in un mezzo anelastico. Al contrario periodi e durata tenderanno ad aumentare in maniera direttamente proporzionale alla distanza epicentrale e al contenuto energetico.

Il moto atteso alla superficie del deposito sarà quindi stimato solo attraverso una modellazione realistica del sottosuolo attraversato dal moto incidente e il suo contenuto in frequenza varierà a seconda delle caratteristiche del terremoto di riferimento.

Un aspetto di fondamentale importanza risulta individuare le frequenze naturali che caratterizzano la funzione di amplificazione per prevedere non solo fenomeni di risonanza

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dovuti all’avvicinamento di quest’ultime con quelle fondamentali che caratterizzano il terreno, ma anche per stimare eventuali fenomeni di doppia risonanza con i manufatti presenti in sito.

La modalità operativa precedentemente esposta ci permettere di avere una prima stima del moto e dei fenomeni attesi in superficie, ma non è sufficiente essendo comunque caratterizzata da numerose incertezze legate alle caratteristiche meccaniche del terreno utilizzate nella modellazione, note, ma comunque affette da errori. Parametri ad esempio come rigidezza e smorzamento risultano fortemente influenzati dallo stato tensionale e quindi dalla profondità, l’assunzione di un comportamento lineare o visco elastico del sottosuolo è una approssimazione molto poco soddisfacente della realtà dove i parametri in gioco legati alle caratteristiche meccaniche del terreno subiscono importanti variazioni già a bassi livelli deformativi. Anche l’assunzione di una stratificazione orizzontale può essere fortemente inadeguata. Diverse configurazioni morfologiche e topografiche possono modificare notevolmente la risposta sismica attesa in superficie.

La prima problematica da affrontare riguarda dunque l’eterogeneità del mezzo di

trasmissione. Assumere un modello con stato omogeneo può portare ad una sottostima

importante delle amplificazioni che il moto sismico incidente subisce prima di arrivare in superficie e questo è essenzialmente dettato dal cambiamento che il modulo di rigidezza trasversale subisce al variare della profondità da cui quindi dipenderà anche la velocità di propagazione delle onde di taglio.

Il modulo G dipendente dallo stato di tensionale risulta proporzionale alla profondità e la sua variazione può essere descritta dalla relazione fornita da Gazetas (1982) e Vinale, Simonelli (1983) stimata a densità costante:

𝐺(𝑧) = 𝐺0(1 + 𝛼 𝑧 𝐻)

2𝑚 _(2.24.a)

Necessariamente anche la velocità delle onde di taglio deve variare con la profondità secondo la legge:

In questo modo il grado di eterogeneità del sottosuolo è espresso dalle variabili α e m ed in particolare se le velocità di taglio varia con legge lineare con la profondità è possibile assumere m=1 e stimare il valore di α come rapporto di eterogeneità tra la velocità 𝑉𝐻 del bedrock e 𝑉₀ in superficie:

49 𝑉𝐻

𝑉₀ = 1 + 𝛼 (2.24.c)

Ritrovate le forme modali 𝑈𝑛 e i periodi naturali 𝑇𝑛 , risolvendo per via analitica l’equazione del moto, si può fare un confronto tra i modi di vibrare del terreno assunto eterogeneo e per

quello assunto omogeneo per 𝛼 = 0 e dunque 𝑉𝐻 𝑉₀

⁄ = 1.

Aumentando il rapporto di eterogeneità gli spostamenti sono più marcati in sommità e diminuiscono sempre più vistosamente al crescere della profondità. Se a partire da questi risultati si calcola la funzione di trasferimento assumendo uno smorzamento costante con la profondità si evince che all’aumentare del grado di eterogeneità si ha un aumento delle frequenze fondamentali e del fattore di amplificazione.

Nel caso in cui si voglia fare un confronto in relazione a come cambia la funzione di amplificazione assumendo, in un caso, la velocità delle onde di taglio costante per terreno omogeneo e nell’altro velocità variabile con legge parabolica considerando l’eterogeneità del sottosuolo, si riscontra che in quest’ultimo caso la funzione di amplificazione determina un avvicinamento alle frequenze fondamentali del deposito e un amento dei picchi di amplificazione.

Per risolvere i problemi legati alla eterogeneità del terreno si deve ricorre a tecniche numeriche che ci permettono di ricavare la risposta sismica locale attraverso la risoluzione dell’equazione del moto una volta noto l’input sismico atteso al basamento roccioso. La modellazione di un sistema monodimensionale degli strati orizzontali che caratterizzano il sottosuolo può essere realizzata a strati continui o a masse concentrate, mentre in entrambi i casi l’eccitazione sismica è espressa in termini di accelerogramma è diverso l’approccio utilizzato per descrivere le equazioni del moto.

Nel caso in cui si utilizzi un modello a strati continui, ogni sottostrato di altezza ℎ_𝑖, densità 𝜌_𝑖, e modulo a taglio 𝐺_𝑖, è assunto omogeneo con un comportamento visco elastico mentre il substrato roccioso è ipotizzato rigido. Per un ciclo di sollecitazione armonica di frequenza 𝜔 , si determina uno smorzamento 𝐷_𝑖 dipendente dalla viscosità 𝜂_𝑖, 𝐷_𝑖 = 𝜂𝑖𝜔

2𝐺_𝑖

⁄ . Il moto atteso in superficie viene dunque stimato a partire dall’equazione differenziale di equilibrio dinamico che governa il fenomeno di propagazione delle onde su ciascuno strato omogeneo:

50 𝜌_𝑖 ∙𝛿 2_𝑢 𝑖 𝛿𝑡2 = 𝐺𝑖 𝛿2_𝑢 𝑖 𝛿𝑧2 + 𝜂𝑖 𝛿3_𝑢 𝑖 𝛿𝑡𝛿𝑧2 (2.25)

La soluzione a masse concentrate prevede la schematizzazione di ogni stato di altezza ℎ_𝑖 come una massa appunto concentrata 𝑚_𝑖 sulla superficie di separazione degli strati collegate da molle aventi rigidezza 𝑘_𝑖, e smorzatori viscosi 𝑐_𝑖. Assunto 𝑢_𝑖 lo spostamento orizzontale dell’i esima massa e substrato rigido si possono scrivere le seguenti n equazioni di equilibrio

𝑢̈₁𝑚₁− 𝑐_𝑛(𝑢̇_𝑛+1− 𝑢̇_𝑛) + 𝑐_𝑛+1𝑢̇_𝑛+1− 𝑘_𝑛(𝑢_𝑛+1− 𝑢_𝑛) = 0 (2.26.a) 𝑢̈_𝑖𝑚_𝑖 − 𝑐_𝑖−1(𝑢̇𝑖 − 𝑢̇𝑖−1) + 𝑐1(𝑢̇𝑖+1− 𝑢̇1) − 𝑘𝑖−1(𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1)

− 𝑘₁(𝑢_𝑖+1− 𝑢₁) = 0 (2.26.a)

Si ottiene un sistema di equazioni differenziali lineari nelle 𝑢_𝑖 esprimibile nella forma matriciale come:

[𝑀]{𝑢̈} + [𝐶]{𝑢̇} + [𝐾]{𝑢} = {𝐽}𝑓(𝑡) (2.26.a)

Dove il termine a destra dell’equazione rappresenta il vettore delle forze esterne applicate a ciascuna massa mentre 𝑓(𝑡) = 𝜌_𝑟𝑉_𝑟𝑢̇_𝑟(𝑡) che corrisponde ad assumere l’assorbimento di energia per radiazione nel semispazio deformabile equivalente a quello generato da uno smorzatore viscoso con coefficiente 𝑐_𝑛+1 pari all’impedenza del bedrock.

In secondo luogo è necessario capire come sia possibile modellare il comportamento non

lineare del terreno. Infatti certe evidenze comportamentali in ambito post elastico sono state

messe in luce solo recentemente grazie alla disponibilità di un maggior numero di dati riguardanti registrazioni su roccia per eventi sismici di elevata intensità. E’ attribuibile alla non linearità del terreno variazioni dei fattori di amplificazione stimati come rapporto di accelerazioni di picco o funzione di amplificazione spettrale calcolati sullo stesso sito per eventi sismici di forte o debole intensità.

Il comportamento non lineare determina variazioni dei parametri meccanici del terreno. Prendendo ad esempio come riferimento l’accelerazione di picco calcolata dal basamento roccioso 𝑎_{𝑚𝑎𝑥,𝑟} sovrastato da uno strato omogeneo elastico, all’aumentare della stessa si assiste ai seguenti fenomeni:

• Aumentato le deformazioni a taglio massime 𝛾_𝑚𝑎𝑥 • Diminuzione del modulo di resistenza a taglio G

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• Aumento del fattore di smorzamento D mobilitato

• Caso particolare lo ha l’accelerazione misurata in superficie perché si può assistere a due diversi fenomeni: facendo riferimento a bassi livelli energetici l’accelerazione attesa tende ad aumentare partendo dal basamento roccioso fino alla superficie mentre quando l’evento sismico diventa particolarmente intenso l’abbattimento della rigidezza rende più deformabile il terreno che di conseguenza riduce la trasmissione delle alte frequenze mentre l’aumento dello smorzamento mobilitato riduce i picchi di amplificazione delle ampiezze di spostamento. La combinazione di questi fenomeni determina un’accelerazione in superficie più bassa di quella di input al bedrock.

Fig2.1. Andamento delle deformazioni a taglio, modulo di taglio G , smorzamento D e accelerazione in superfice a crescere dell’intensità dell’input sismico.

Quest’ultimo effetto può essere valutato andando a diminuire il fattore di amplificazione inteso come rapporto tra l’accelerazione di picco in superficie e quella su basamento roccioso al crescere dell’accelerazione su roccia. Sulla base di dati sperimentali si è dimostrato che per certi livelli di accelerazione di picco inferiori a 0.1g tutti i terreni amplificano il moto sismico mentre per valori superiori si verifica una riduzione dei valori massimi in superficie più marcata per i terreni teneri che per quelli consistenti.

Nel caso di una argilla molto deformabile si può dimostrare come la non linearità del materiale influenzi il fattore di amplificazione. A valori crescenti di azione sismica sono associate deformazioni a taglio sempre più elevate. Se il modulo di rigidezza a taglio tende a diminuire allora il picco delle amplificazioni si sposta su frequenze minori e quindi su periodi più elevati. Simultaneamente l’aumento dello smorzamento porta alla riduzione del picco di amplificazione.

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Se consideriamo invece argille ad elevata plasticità, ma che presentano un comportamento marcatamente lineare si evidenzia che picchi di amplificazione spettrale maggiori sono attesi per quei terreni che presentano un maggiore indice di plasticità 𝐼_𝑝, valori decrescenti di tale parametro determinano accelerazioni minori in superficie dovute ad un’attenuazione dei picchi di amplificazione che si posizionano su periodi più elevati.

Nasce la necessità di modificare i modelli discreti e continui prima descritti per lo studio della risposta sismica locale. La soluzione travata con un modello che prende in considerazione solo l’eterogeneità del terreno poterebbe ad una sottostima di alcuni fenomeni dettati dall’evolversi delle caratteristiche meccaniche del sottosuolo in condizioni post elastiche. L’introduzione della non linearità del materiale infatti permette di stimare sia l’eventuale perdita di resistenza del terreno dovuto all’accumulo di deformazioni residue e all’aumento delle sovrappressioni neutre sia l’amplificazione del moto alle basse frequenze e conseguente attenuazione di quelle elevate.

Questo può essere fatto se la soluzione dell’equilibrio dinamico è risolta attraverso:

• Analisi lineare equivalente che prevede l’aggiornamento dei parametri di rigidezza e smorzamento ad ogni ciclo k. Una volta calcolato il moto dell’intero sistema mediante le funzioni di trasferimento tra strato e strato viene stimato un valore caratteristico delle deformazioni a taglio γ sulla quale vengono tarati valori di rigidezza e smorzamento prima di procedere al ciclo successivo. Il valore di γ è un a parametro rappresentativo della storia di deformazione che subisce il materiale durante l’evento sismico ed è stimato in genere pari a 0.67𝛾_𝑚𝑎𝑥 . La soluzione viene trovata quando la differenza tra le deformazioni a taglio di due cicli successivi non eccede una certa tolleranza |𝛾_𝑘+1− 𝛾_𝑘| < 𝜀.

• Analisi non lineare prevede l’integrazione passo passo delle equazioni del moto modificando costantemente le matrici di rigidezza e smorzamento e dunque costringendo ad operare nel dominio del tempo. Deve essere inoltre definita una legge 𝜏(𝛾) che descriva isteresi del materiale determinati dai cicli di carico e scarico dalla quale poi vengono definite le curve 𝐺(𝛾) e 𝐷(𝛾).

Lo svantaggio nell’utilizzo di tali modelli sempre più raffinati si traduce in un aumento dei tempi di calcolo. Infatti l’accuratezza della soluzione in questo caso è legata al numero di elementi introdotti nella discretizzazione.

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L’ultimo aspetto da valutare riguarda la geometria superficiale del sito in cui vogliamo stimare la risposta sismica locale.

In particolare quando vogliamo calcolare la risposta sismica locale in prossimità di valli

alluvionali l’assunzione di un modello monodimensionale non è adatto a fornire una corretta

stima del moto atteso in superficie non prendendo in considerazione la formazione, durante la propagazione delle onde dal substrato roccioso, di onde di superficie. Infatti nelle valli alluvionali si assiste a due fenomeni che determinano l’amplificazione del moto sostanzialmente dovuta all’”intrappolamento” di onde S all’interno del deposito. Tali effetti denominati appunto di bordo determinano:

• un addensamento delle onde sismiche a causa di interferenze tra onda riflessa e rifratta in prossimità dei bordi della valle.

• la formazione di onde di superficie a causa dell’incidenza delle onde sismiche sull’interfaccia roccia-terreno non orizzontale dell’avvallamento. Le onde che così rimangono intrappolate nella valle determinano un aumento della durata del moto sismico e un aumento dei periodi naturali con il rischio di risonanza con i manufatti presenti in sito.

Il modello da realizzare quindi per lo studio della riposta sismica nel caso di valli alluvionali deve mettere in gioco alcune variabili come la configurazione geometrica della valle, tipo di onda incidente, angolo di incidenza oltre che schematizzazione.

Lo studio tra le diverse risposte tra modello monodimensionale e bidimensionale viene stimata sulla base di un fattore forma 𝐻 𝐿⁄ , inteso come il rapporto tra H spessore massimo del deposito al centro e L semilarghezza della valle. In questo modo si distingue tra valle superficiali dove 𝐻 𝐿⁄ < 0.25 e quello di valle profonda 𝐻 𝐿⁄ < 0.25.

Se le onde di taglio mantengono la velocità inalterata nel tempo il modello 1D e 2D forniscono per valle superficiale valori simili di picchi di amplificazione collocate sulle stesse frequenze per una sezione posta al centro della valle. Differentemente in prossimità del bordo dove sono più marcati i fenomeni di interferenza il modello 2D fornisce una riposta locale a banda larga mentre quello 1D è caratterizzato da un picco isolato.

Se invece confrontiamo le risposte fornite dai due modelli nel caso della valle profonda si riscontrano risultati molto diversi in tutte le sezioni. In particolare il bidimensinale tende a sovrastimare i fenomeni di amplificazione al centro della valle mentre al bordo gli sottostima rispetto al caso 1D.

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Infine anche topografia del sito incide sulla risposta sismica attesa in quanto la geometria superficiale determina una riflessione delle onde dalla superficie libera fino alla sommità del rilievo dove si registrano le amplificazioni più importati. Sempre in relazione al fattore H/L se si stimano le amplificazioni in vari punti del rilievo si assiste ad una riposta marcatamente più complessa costituita da amplificazioni e deamplificazioni alla base del rilievo dovuta all’interazione tra onde incidenti e rifratte. In questo punto la difficoltà di stimare come si modifica l’input sismico è aggravata dalle variazioni di impedenza associate alle caratteristiche fisico meccaniche dei terreni. Infatti alla base del rilievo potrebbero essere presenti depositi alluvionali che possono determinare fenomeni di amplificazioni importanti, legati sia alla profondità per la quale si estende il deposito che alle sue caratteristiche meccaniche, che possono dominare rispetto a quelli legati alla topografia.

In conclusione possiamo affermare che la funzione di trasferimento per quanto importante per la determinazione di una possibile risposta locale non risulta essere una proprietà intrinseca del sito. Essa dipende fortemente dal contenuto in frequenza e ampiezza dell’onda simica che si crea al basamento roccioso, dalle proprietà stratigrafiche e topografiche del sottosuolo e dalla mobilitazione di fenomeni non lineari che modificano i parametri meccanici del terreno e che quindi determinano una diversa risposta sismica locale in superficie.

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3 Comportamento non lineare del terreno

Superata la soglia elastica il materiale presenta un comportamento marcatamente non lineare, i cicli di carico e scarico determinano sul piano 𝜏 − 𝛾 cicli di isteresi che determinano perdita di energia e degradazione del materiale oltre che deformazioni irreversibili. In questo caso i parametri G e D diventano funzione del livello di deformazione e del numero di cicli. Inoltre, durante azioni dinamiche l’accumulo/incremento di pressioni neutre possono accelerare il fenomeno di degradazione del materiale e portarlo al collasso. La perdita/riduzione di rigidezza e resistenza è dunque imputabile all’evolversi di deformazioni sia volumetriche che distorsionali. Durante l’applicazione di carichi dinamici ciclici importanti, esiste una distinzione tra quello che è il comportamento dei terreni a grana grossa e quelli a grana fine, per i quali inoltre sono presenti forti legami di natura interparticellari.

Un’attenzione particolare deve essere posta nel caso di carichi dinamici cilici in condizioni non drenate. Ad ogni ciclo di carico infatti il materiale è soggetto ad un aumento delle deformazioni volumetriche che si accumulano all’aumentare del numero di cicli, ma la cui ampiezza diminuisce gradualmente (in funzione anche della densità relativa). Si generano in questo modo deformazioni a taglio che al procedere dei cicli tendono ad un valore limite. Tale comportamento può essere associato ad un processo di incrudimento del terreno. Se questo processo avviene in condizioni non drenate, dove le variazioni di volume sono impedite, nel terreno si genera un accumulo di sovrappressioni neutre al progredire del numero di cicli e in funzione della densità relativa del mezzo. Tale fenomeno determina un incremento delle deformazioni assiali e conseguentemente una degradazione del materiale.