IL LONGEVITY RISK
ALLA NASCITA SPERANZA DI VITA
3.4 Tavole demografiche
3.4.1 Modellizzazione stocastica del tasso di mortalità
3.4.1.2 Il modello di Lee-Carter
Il modello più utilizzato in letteratura per effettuare le proiezioni dei tassi di mortalità è quello di Lee-Carter. Tale modello è uno dei più recenti e influenti sviluppi nel campo delle previsioni sulla percentuale dei decessi. Infatti, è stato introdotto da Ronald Lee e Lawrence Carter nel 1992 nell’ articolo “Modelling and forecasting the time series of U.S. mortality” che venne pubblicato sul
Journal of the American Statistical Association e rappresenta in maniera efficace l’evoluzione della
mortalità, la quale è funzione sia dell’età x che del tempo t. Esso si basa solamente sui trend storici della mortalità e non tiene conto di fattori medici o comportamentali (come, per esempio, le abitudini degli individui).
Il punto di partenza è la matrice dei tassi centrali di mortalità (o tassi “grezzi” di decesso) , con gli anni t posti solitamente sulle colonne e le età x collocate in corrispondenza delle righe. L’obiettivo è ottenere una matrice che contiene le previsioni dei tassi di mortalità relativamente all’arco temporale di interesse e al variare dell’età.
Il tasso centrale di mortalità è una probabilità di decesso centrale (ed è, dunque, determinata a metà del periodo considerato) ed è data dal rapporto tra il numero di morti e il numero medio di individui facenti parte della popolazione:
99
è il numero di decessi all’età x in corrispondenza dell’epoca temporale t,
è il numero medio di persone di età x componenti la popolazione nell’anno t.
Le previsioni dei tassi centrali di mortalità vengono ricavate ipotizzando un andamento esponenziale del tasso grezzo di mortalità per ogni età x; di conseguenza, i tassi di mortalità per ogni specifica età in corrispondenza delle varie epoche temporali
t
possono essere ricavati scegliendo una delle due seguenti relazioni che legano i tassi di decesso ai tassi di decesso centrali:[
]
( )
3.4.1.2.1 La relazione fondamentale del modello di Lee-Carter
Il modello ipotizza un andamento esponenziale del tasso centrale di mortalità per ogni età x (ovvero, l’assunto di base è che il numero di anni che ci si aspetta che sopravviva una persona di età x aumenta nel tempo, ma a una velocità che tende via via a diminuire); esso viene esplicitato attraverso la seguente relazione:
oppure, equivalentemente, come:
dove è la componente accidentale, ovvero la parte di mortalità che non riesce a essere descritta dal modello; essa è assimilabile a un Processo White Noise, il quale altro non è che un
100
insieme di variabili Normali i.i.d. (indipendenti identicamente distribuite) con media nulla e varianza costante σ²:
,
è la media aritmetica del logaritmo dei tassi centrali di mortalità calcolati per tutto il periodo considerato,
è un coefficiente di sensitività che rappresenta le variazioni nel tempo del logaritmo del tasso centrale di mortalità,
è un indice di mortalità che descrive l’evoluzione temporale della mortalità per tutte le età congiuntamente.
3.4.1.2.2 La stima dei parametri
I parametri del modello non possono essere stimati con i metodi di regressione ordinari, in quanto non compaiono nella regressione come variabili indipendenti; sul lato destro dell’uguaglianza
(3.14)
, infatti, vi sono solo parametri da stimare e l’ignoto indice.
La stima viene, quindi, effettuata mediante il metodo SVD (Singolar Value Decomposition), con l’ulteriore assunzione di omoschedasticità per quanto riguarda gli errori.
Per ottenere una soluzione unica, vengono imposte le due seguenti condizioni:
Il vincolo
sta a significare che la somma degli indici di mortalità per ogni epoca temporale, attinente al periodo di osservazione deve essere nulla. Il vincolo
sta a significare che la somma dei coefficienti deve essere uguale a 1.
Di conseguenza, può essere stimato come la media geometrica del logaritmo dei tassi centrali di mortalità (che possono essere ricavati dalle tavole di sopravvivenza):
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̂
∑
[ ∏
]
è stimabile come somma degli scarti dalla media del logaritmo dei tassi centrali di mortalità registrati in tutto il periodo di osservazione:
̂ ∑( (
)
)
viene stimato regredendo semplicemente
( (
)
)
su ; il risultato che si ottiene è:̂
∑
(
)
∑
Tuttavia, è opportuno far notare che è stato successivamente ristimato26 in modo da controllare eventuali distorsioni, tra tassi di mortalità osservati e stimati, dovute al fatto che le proiezioni vengono effettuate sui logaritmi dei tassi di mortalità invece che sui tassi di mortalità stessi.
Per quanto riguarda le previsioni della mortalità, viene ipotizzato che e rimangano costanti (essi possono essere considerati, infatti, come indipendenti dal tempo); di conseguenza, sarà necessario proiettare solamente il parametro dipendente dal tempo
Quest’ultimo, infatti, viene modellizzato come un processo stocastico e si usa, appunto, la procedura di Box-Jenkins27 per
generare un adeguato modello ARIMA(p,d,q)28 per l’indice di mortalità
.
26
Haberman e Russolillo,2005
27 Tale procedura è stata proposta dagli studiosi Box e Jenkins nel 1976; le tre fasi fondamentali nelle quali essa si
compone sono l’identificazione, la stima dei parametri e il controllo diagnostico.
28
La sigla ARIMA sta per AutoRegressive Integrated Moving Average (oppure processo AutoRegressivo Integrato a media mobile) ed è un’estensione proposta da Box e Jenkins dei processi ARMA volta a considerare anche processi non stazionari, che però possono essere resi stazionari attraverso opportune differenziazioni. Il parametro p indica l’ordine della componente autoregressiva, d indica il numero di differenziazioni effettuate per rendere il processo stazionario e q è l’ordine della componente a media mobile.
102
Dagli studi effettuati da Haberman e Russolillo è emerso che i modelli che sono più appropriati per descrivere l’evoluzione temporale di sono i seguenti:
5) Un modello
ARIMA(0,1,0)
29 per gli uomini:dove
è la variazione media annuale a cui è soggetto
6)
Un modelloARIMA(0,1,1)
30per le donne:Una volta proiettato è possibile, quindi, stimare i tassi grezzi di mortalità