8 Conclusioni 136
8.1 Sviluppi futuri 137
Come sviluppi futuri del seguente lavoro di tesi si suggeriscono approfondimenti relativi a: - Analisi del parametro di splitting con sistemi aventi proprietà fisiche diverse dall’acqua e
approfondimenti sulla dipendenza del parametro dal carico di liquido in colonna
- Introduzione nel modello dell’effetto pinch sulle composizioni, per valutare come rapporti variabili del liquido e del vapore influiscano nella predizione dei dati sperimentali
Appendice A
139
A Analisi della penetration theory di Higbie
Consideriamo un gas in contatto con un liquido infinitamente esteso. Tra il gas e il liquido è presente un gradiente di concentrazione e quindi un componente del gas verrà assorbito. Si considera che il bulk liquido sia infinitamente esteso, dunque il gas verrà assorbito entro distanze molto più piccole. Scriviamo l’equazione di trasporto del soluto trascurando la resistenza in fase gas, con y si indica la coordinata spaziale che parte dall’interfaccia e penetra nel liquido assorbente:
(A.1)
0, ,
∞, 0,
, 0 0, 0
(A.2)
Possiamo notare che non vi è alcuna scala di lunghezza definita nel problema, si suppone quindi l’esistenza di una soluzione auto simile. In questo caso è possibile esprimere la concentrazione in funzione di una solo coordinata ψ (riducendo la dipendenza della variabile) dipendente da y e t cosicché:
, (A.3)
Appendice A
140 Tuttavia in questi casi solitamente si cerca di riscalare una coordinata in funzione dell’altra, si parte assumendo che ψ sia proporzionale a y:
(A.5)
Con la funzione g(t) da determinare. Riscriviamo i componenti dell’equazione di trasporto in funzione della nuova coordinata:
(A.6)
(A.7)
Inserendo le espressioni (A.6) e (A.7) all’interno dell’equazione di trasporto e considerando l’uguaglianza (A.5) si ottiene in definitiva:
0 (A.8)
Se la soluzione è auto simile la funzione non può dipendere da variabili differenti da ψ e dunque il temine tra parentesi è una costante. Se il termine fosse nullo si otterrebbe che g=0 e dunque una assurdità. Il valore di questa costante non influenza il risultato come si vedrà a posteriori, si sceglie pari a 2 per ragioni di comodo:
Appendice A
141 L’Equazione (A.8) diventa quindi:
2 0 (A.10)
Osservando le condizioni iniziali e quelle al contorno in (A.2), si nota che il problema non è ben posto. Si è partiti da una equazione alle derivate parziali del primo ordine nel tempo e del secondo nello spazio e siamo arrivati ad una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine che richiede solo due condizioni per essere risolta. Tuttavia nel caso particolare in considerazione, le tre condizioni si riducono a: 0, 0 1 ∞, 0 ∞ 0 , 0 0 √ 0 (A.11)
Si osserva che scegliendo cost=0 la terza condizione va a coincidere con la seconda rendendo il problema ben posto. Questi passaggi non sarebbero stati possibili in caso di un problema in un dominio spaziale definito, il che dimostra che in questo caso non sarebbe esistita una soluzione auto simile (si rimanda alla Appendice B per la risoluzione del problema in un dominio finito).
Si procede alla risoluzione dell’equazione sostituendo con f la derivata della coordinata ψ:
2 0 (A.12)
Da una prima integrazione si ottiene:
Appendice A
142 Passando nuovamente alle coordinate originarie:
exp (A.14)
Ora applicando le due condizioni al contorno espresse in (A.11) e tenendo conto che:
exp √ (A.15)
Si ricava la soluzione:
,
1 erf (A.16)
√ (A.17)
Con erf(ψ) si indica la funzione degli errori i cui valori sono tabulati in tutti i formulari:
erf
√ exp (A.18)
L’espressione (A.16) può anche essere espressa equivalentemente nella forma:
Appendice A
143 Dove come valore di normalizzazione è stato considerato un gradiente riferito ad una concentrazione di riferimento.
Infine poiché siamo interessati alla valutazione del flusso del soluto all’interfaccia calcoliamo la derivata della concentrazione:
√4 √ √ · exp (A.20)
, | · exp
(A.21)
E’stato ottenuta il flusso istantaneo del soluto all’interno del bulk liquido, il nostro scopo è quello di valutare il flusso durante il tempo di esposizione e per questo motivo integriamo l’espressione in questo intervallo di tempo:
, | 2 (A.22)
Si ricava l’espressione del coefficiente di scambio lato liquido secondo la teoria della penetrazione di Higbie. Appare dunque che il flusso decresce come t½ e per tempi nulli troveremmo un flusso infinito.
Tuttavia tale condizione, con un profilo di concentrazione discontinuo all’interfaccia, non è realizzabile in pratica e infatti per t=0 la soluzione auto simile non è più applicabile. Poiché la discontinuità decade molto velocemente nel tempo, il flusso medio nell’intervallo del tempo di esposizione rimane finito.
Appendice B
144
B Analisi della film-penetration theory di Toor & Marchello
Si considera che l’intera resistenza al trasferimento sia concentrata entro un film laminare all’interno dell’interfaccia, come nella teoria dei due film di Whitman, ma lo scambio di materia è trattato come un fenomeno transitorio. Si assume che il rinnovamento della superficie di scambio avvenga periodicamente per azione di vortici interni attraverso l’apporto di fluido dal bulk di liquido all’interfase.
Il mass transfer è dunque considerato transitorio come nella teoria della penetrazione di Higbie, eccetto che la resistenza è confinata in un film di dimensioni finite e il soluto che lo attraversa viene immediatamente e completamente rimescolato con il bulk di liquido.
Per periodi prolungati di esposizione, ovvero quando il gradiente di concentrazione ha avuto il tempo per svilupparsi, le condizioni al contorno sono simili a quelle in cui viene sviluppata la teoria dei due film: (B.1) 0, , , 0, , 0 0, 0 (B.2)
Con Ceq si indica la concentrazione relativa alla condizione di equilibrio termodinamico mentre con δ
lo spessore del film. In condizioni stazionarie avremo quindi che:
Appendice B
145 Applicando le condizioni al contorno espresse in (B.2):
0, ,
, 0, 0 (B.4)
· 1 (B.5)
L’espressione (B.5) può essere riscritta nella seguente forma equivalente se all’inizio della
trattazione si avesse voluto analizzare la variazione rispetto ad una concentrazione di riferimento Ci0:
· 1 (B.6)
Si deriva ora rispetto alla distanza dall’interfaccia y l’Equazione B.6 della concentrazione del soluto:
· (B.7)
Si ricava ora di conseguenza l’espressione del flusso di materia:
(B.8)
Otteniamo ovviamente il risultato della teoria dei due film poiché è stata considerata la soluzione stazionaria (profilo lineare) dell’equazione di trasporto della materia. A questo punto si passa all’analisi della soluzione transitoria, in particolare si espande l’espressione della concentrazione nella sua soluzione stazionaria più un termine di scostamento dinamico.
Appendice B
146
, , (B.9)
Con il pedice SS si indica steady state, mentre il termine Γ indica la componente transitoria che è l’unica a dipendere dal tempo e che si annulla per tempi che tendono all’infinito, giungendo alla soluzione stazionaria. Riscriviamo dunque l’equazione del trasporto di materia:
, ,
(B.10)
Poiché la soluzione stazionaria è lineare e indipendente dal tempo l’equazione si riduce allo studio della componente transitoria. Il set di condizioni al contorno dopo questa trasformazione è il seguente:
0 0, , 0, 0
, 0, , 0
, 0 0, 0 , 0 · 1
(B.11)
Si può già notare che la funzione presenta una condizione al contorno periodica, si ipotizza dunque una soluzione della forma:
, · (B.12)
L’espressione viene sostituita nell’equazione di trasporto che risulta semplificata avendo definito due funzioni di variabili diverse.
Appendice B
147
"
(B.13)
Risolviamo prima l’equazione di A(t) nella variabile tempo:
exp · (B.14)
Osservando la condizione al contorno sul tempo il segno di cost non può che essere negativo per non far divergere all’infinito la soluzione:
| | (B.15)
Risolviamo ora l’equazione di B(y) per lo spazio:
"
(B.16)
Si ipotizza una soluzione del tipo:
exp · (B.17)
"
/ (B.18)
Poiché la diffusività è positiva, il numero sotto radice è negativo e dunque la soluzione avrà dei poli complessi coniugati.
Appendice B
148
exp exp (B.19)
exp exp (B.20)
cos sin cos sin
(B.21)
Poiché il seno è funzione dispari mentre il coseno è funzione pari si ottiene:
· cos · sin (B.22)
Per semplicità rinominiamo alcune costanti:
Appendice B
149 Applichiamo ora le condizioni al contorno per la distanza dall’interfaccia y:
0 · cos 0 · sin 0 0 (B.24)
· sin 0 (B.25)
Il seno si annulla periodicamente ogni 180° e dunque si ricava in definitiva che la soluzione è una combinazione lineare di termini del tipo:
· sin (B.26)
, (B.27)
Si uniscono ora le due soluzioni ricavate (B.14) e (B.26) ottenendo la soluzione in forma di serie di Fourier, vengono anche raccolte in unico termine le costanti di integrazione:
, ∑ · sin · exp · (B.28)
· (B.29)
Sfruttando ora la terza condizione al contorno della (B.11) si ottiene la seguente espressione:
Appendice B
150 Mediante la tecnica della integrazione proiettiva, si moltiplicano ambo i membri per un termine periodico e si integra l’equazione risultante tra 0 e lo spessore del film δ:
sin · 1 ∑ · sin · sin
(B.31)
Il risultato dell’integrazione dipenderà dal rapporto tra m e n. Si può dimostrare facilmente attraverso le formule di addizione e di sottrazione del coseno che l’integrale RHS si annulla se m è diverso da n. Si riporta dunque la risoluzione dell’integrale per m uguale ad n:
sin · 1 · sin
(B.32)
Combinando la formula di addizione del coseno all’identità trigonometrica l’espressione (B.32) è equivalente alla (B.33):
sin · 1 · 1 cos 2
2 (B.33)
Risolvendo mediante integrazione per parti la LHS in conclusione la costante dell’espressione sarà pari a:
Appendice B
151 (B.34)
Si può dunque riportate l’espressione completa della concentrazione del soluto in funzione del tempo e dalla distanza dall’interfaccia:
· 1 ∑ · sin · exp ·
(B.35)
Si può già notare che per tempi di esposizione che tendono all’infinito, il termine esponenziale fa annullare la componente transitoria lasciando solo la componente stazionaria della soluzione. In realtà basta che il tempo di esposizione sia:
~ (B.36)
In questo caso dunque il termine transitorio nella (B.35), che rappresenta un ritardo nello sviluppo del gradiente di concentrazione, decade e la soluzione coincide con l’espressione di Whitman stazionaria descritta nella teoria dei due film.
Se invece il tempo di esposizione è minore del tempo caratteristico di diffusione, il soluto non ha ancora raggiunto la fine del film e il sistema non si accorge del fatto che in δ la differenza di concentrazione è nulla.
In questo ultimo caso in pratica il soluto si comporta come se non fosse limitato e dunque come se non ci fossero dimensioni caratteristiche, ottenendo la soluzione auto simile sviluppata
Appendice C
152