Il calcolo del χ2 `e indubbiamente uno dei “test di significativit`a” pi`u im- portanti e pi`u utili allo studioso interessato all’applicazione dei metodi quan-
titativi alla storia dell’insediamento2. Un test di significativit`a pu`o, in parole semplici, essere descritto come una procedura di quantificazione del grado di significativit`a relativo a certe osservazioni a livello statistico. In altri termini, la misurazione di quanto peso certe affermazioni o valutazioni di tipo statistico possono avere. Normalmente un test statistico si fonda sull’“ipotesi nulla” o H0. In campo statistico l’ipotesi nulla rappresenta un’affermazione sul mondo
reale che pu`o in qualche misura essere confutata. Se l’ipotesi nulla viene con- futata dal test di significativit`a, allora viene accettata l’“ipotesi alternativa” (H1).
Il χ2 serve sostanzialmente a identificare un indice di significativit`a nelle discrepanze tra valori osservati e valori attesi. Il calcolo del χ2 corrisponde
alla procedura per l’individuazione della soglia di confidenza secondo la quale un’ipotesi nulla pu`o essere confutata.
La distribuzione χ2 rappresenta uno degli strumenti teorici pi`u importan-
ti proprio perch´e pu`o facilitare il compito di analisi della significativit`a delle osservazioni. L’elemento che bisogna ricordare `e che in molte circostanze il computo delle frequenze o quantit`a delle osservazioni dimostra di somiglia- re alla distribuzione χ2. Questa somiglianza viene sfruttata come punto di riferimento per identificare le soglie di significativit`a di cui si parlava sopra.
Per spiegare meglio la natura di questo test, si prenda in considerazione il seguente esempio. Si immagini un intervento di scavo archeologico su due aree funerarie: A e B. Dopo l’intervento di scavo e l’analisi in laboratorio, si `
e stabilito che, degli scheletri estratti dall’area A, 35 sono riferibili a maschi e 27 a femmine. Dall’area B sono stati invece estratti 48 scheletri di maschi e 21 di femmine.
Si potrebbe cos`ı formulare l’ipotesi nulla secondo la quale: la frequen- za di maschi e femmine nelle aree funerarie A e B `e equivalente. Questa affermazione potrebbe essere rappresentata da:
H0 : Pm= Pf
dove H0 rappresenta l’ipotesi nulla, Pm la frequenza attesa per scheletri ap-
partenenti ai maschi e Pf quella delle femmine.
L’ipotesi nulla si baserebbe in sostanza sul principio che la popolazione delle aree funerarie sarebbe un riflesso della popolazione reale, dove le possi- bilit`a che una persona sia maschio sono pari a quelle che sia femmina. Scopo dell’applicazione del χ2 non `e quello di identificare possibili anomalie nella distribuzione, oppure di stabilire se i dati osservati siano plausibili uscite da un sistema non influenzato, quanto giungere o non giungere alla confutazione
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Una introduzione al uso del χ2 in campo geografico si trova in Mathews 1985, pp. 135-142.
194 SPAZIO E MISURA
Fig. 5.5. L’utilizzo della suddivisione discrezionale dello spazio costituisce una delle tecniche pi`u efficaci per la misurazione della densit`a. In questo caso si pu`o osservare la rappresentazione cartografica della densit`a della popolazione attorno alla citt`a di Addis Abeba. (Greppi manoscritto)
(in termini probabilistici) dell’ipotesi nulla. In altri termini, verificare se le discrepanze tra dati osservati e attesi siano tali da permettere di considerare l’ipotesi nulla non plausibile.
Il calcolo del χ2 presenta una procedura molto semplice. Infatti esso viene calcolato con: χ2 = n X j=1 (Oj− Ej)2 Ej (5.2)
dove Oj rappresenta i valori osservati ed Ej i valori attesi; ovvero:
χ2 = sommatoria di(frequenze osservate − frequenze attese)
2
frequenze attese
Da questa formula si pu`o per prima cosa notare che il χ2ha come funzione quella di accumulare progressivamente una misura di differenze tra i valori osservati e quelli attesi. Il χ2alla fine non `e altro che un totale di tali differenze. In parole semplici, se i valori osservati saranno vicini a quelli attesi, allora il χ2 sar`a tendenzialmente piccolo; se invece le differenze tra osservazioni e attese sar`a grande allora anche il χ2 presenter`a valori elevati.
Dato che il significato di una formula risulta sempre criptico, si osservi subito l’applicazione al problema proposto in precedenza. Prima va sottoli- neato ancora una volta come lo scopo dell’intera operazione vada nella logica dell’identificazione di differenze significative tra valori osservati e attesi.
Partendo dal caso della necropoli A, il primo passo da compiere `e quello di organizzare i dati in una tabella (vedi tabella 5.2), mettendo nella prima colonna i valori osservati (O ) e nella seconda quelli attesi (E ). La lettera E deriva dal termine expected, ovvero “atteso” in lingua inglese. I valori attesi vanno calcolati partendo dalle percentuali possibili di nascita per sesso per la specie umana: 50% per i maschi e 50% per le femmine. Cos`ı, per un’area con una presenza di 62 scheletri, ci sar`a un’attesa di 31 maschi e 31 femmine. Naturalmente, come si pu`o osservare dai dati raccolti, il numero di maschi e femmine non corrisponde ai valori attesi (E). Col test del χ2si intende dunque verificare se tali differenze permettano di confutare l’ipotesi che tali frequenze rispondano ad un modello diverso da quello che vede una distribuzione di 50%-50%.
Dunque, applicando l’equazione appena descritta (vedi 5.2), il valore otte- nuto per il χ2 corrisponde a 1.03:
χ2 = (27 − 31)
2
31 +
(35 − 31)2
196 SPAZIO E MISURA
Area A
osservati (O) attesi (E)
maschi 27 31
femmine 35 31
totale 62 62
Tabella 5.2. Valori osservati (O) e attesi (E) relativi al sesso degli scheletri rinvenuti nell’area A.
Il χ2 va successivamente confrontato con una tabella di significativit`a (vedi 5.4). La prima colonna (d.f.3) presenta i cosiddetti gradi di libert`a. Essi indi- cano, come il nome stesso suggerisce, le possibili “uscite” o “eventi” che una variabile pu`o assume nel processo di classificazione. I gradi di libert`a vengono calcolati semplicemente con:
d.f. = classi possibili − 1
Ad esempio, nel caso di maschi e femmine, i gradi di libert`a saranno calcolati nel seguente modo:
d.f. = 2 − 1
dato che sono solo 2 le possibili classi. Dunque, nel caso di un cimitero dove la popolazione si divida in due gruppi (maschi e femmine), il numero di gradi di libert`a `e pari a 1.
Se il valore misurato per χ2 non supera i valori di significativit`a vuol dire
che le discrepanze studiate tra valori osservati e attesi non sono sufficienti a rifiutare o confutare l’ipotesi nulla H0; nel caso qui trattato, dell’equivalenza
in termini percentuali tra maschi e femmine.
Nell’applicazione del test del χ2 `e necessario stabilire preventivamente con che livello di confidenza si desideri confutare un’ipotesi nulla. In questo caso, si proceder`a ad adottare una soglia del 95%. Ovvero, si andr`a a confutare l’ipotesi nulla qualora le discrepanze tra valori osservati ed attesi presentino un χ2 superiore a tale soglia.
Cos`ı la tabella di significativit`a indica che il grado di significativit`a al 95% (terza colonna: 0,05) con grado di libert`a 1 `e di 3,84. Visto che il χ2 dell’area A (1,03) non rifiuta l’ipotesi nulla, si pu`o perci`o affermare, con un 95% di certezza statistica, che le popolazioni osservate in quest’area funeraria non
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Area B
osservati (O) attesi (E)
maschi 48 34.5
femmine 21 34.5
totale 69 69
Tabella 5.3. Valori osservati (O) e attesi (E) relativi al sesso degli scheletri rinvenuti nell’area B.
confutano l’ipotesi di equilibrio tra maschi e femmine. Fare attenzione al fatto che il χ2 non permette di affermare che `e stato dimostrato l’equilibro, bens`ı
che l’assenza di equilibro tra maschi e femmine non pu`o essere confutata. Il confronto tra il χ2 e i valori di siginificativit`a riportati nella tabella rappresenta il processo di misurazione delle differenze tra valori osservati e valori attesi. In altri termini, se le misurazioni sulla base dei risultati e sulla base delle soglie appaiono molto diversi, allora questa discrepanza pu`o essere utilizzata per confutare l’ipotesi nulla.
Si prenda in considerazione adesso il caso B. Nella seconda area funeraria, il valore individuato con il test del χ2 `e stato di 10,56:
χ2= (48 − 34.5)
2
34.5 +
(21 − 34.5)2
34.5 = 10.56
In questo caso, il valore del χ2 supera abbondantemente il limite di si- gnificativit`a al 95%, di 3,84 con 1 grado di libert`a. In questo caso il risultato riscontrato indica che la distribuzione degli scheletri nelle due categorie mostra un’anomalia; ovvero, l’ipotesi di popolazioni equivalenti tra maschi e femmine pu`o essere rifiutata con un grado di attendibilit`a del 95%.
A questo punto, dai risultati ottenuti si possono costruire delle ipotesi del perch´e i dati raccolti all’interno dell’area B presentino delle anomalie. Era forse la societ`a studiata un gruppo che prevedeva aree funebri separate a seconda del sesso? Si trattava di un’area funebre dedicata esclusivamente a ceti militari, poi allargata a tutta la popolazione?