derivate

(1)

(2)

Esempi introduttivi

Velocità istantanea

Tasso di accrescimento

Definizioni

Interpretazione geometrica

Operazioni con le derivate

Derivate di ordine superiore

Formula di Taylor

Alcuni polinomi di Mac Laurin

Alcune applicazioni

Crescita delle funzioni derivabili

Funzioni concave e convesse

Problemi di massimo e minimo

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 2/50

Velocità istantanea

Percorriamo il tratto di strada tra Udine e

Trieste

Udine

Trieste

(3)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Velocità istantanea

Percorriamo il tratto di strada tra Udine e

Trieste

Udine

Trieste

75km

(4)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 2/50

Velocità istantanea

Percorriamo il tratto di strada tra Udine e

Trieste

Udine

Trieste

75km

Tempo impiegato

:

_1h

velocità media

=

spazio percorso

(5)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Velocità istantanea

Percorriamo il tratto di strada tra Udine e

Trieste

Udine

Trieste

75km

Tempo impiegato

:

_1h

velocità media

=

spazio percorso

tempo impiegato

= 75 km/h

Questo non vuol dire che abbiamo avuto una

velocità costante!

(6)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 3/50

Dividendo il tratto di strada in due parti

30km

45km

(7)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Dividendo il tratto di strada in due parti

30km

45km

Udine

Trieste

Tempo impiegato primo tratto:

0.7h

(8)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 3/50

Dividendo il tratto di strada in due parti

30km

45km

Udine

Trieste

Tempo impiegato primo tratto:

0.7h

Tempo impiegato secondo tratto:

0.3h

velocità media primo tratto

= 64.28 km/h

velocità media secondo tratto

= 100 km/h

(9)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Dividendo il tratto di strada in due parti

30km

45km

Udine

Trieste

Tempo impiegato primo tratto:

0.7h

Tempo impiegato secondo tratto:

0.3h

velocità media primo tratto

= 64.28 km/h

velocità media secondo tratto

= 100 km/h

Si può dividere la strada in intervalli sempre

più piccoli su cui calcolare la velocità media

(10)

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 4/50

(11)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

s(t) = la distanza percorsa al tempo t

La velocità media nell’intervallo di tempo

[t

₀

, t

₀

+ h] è

s(t

₀

+ h) − s(t

₀

)

(12)

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 4/50

s(t) = la distanza percorsa al tempo t

La velocità media nell’intervallo di tempo

[t

₀

, t

₀

+ h] è

s(t

₀

+ h) − s(t

₀

)

h

Più

_{h è vicino a 0, più è precisa l’informazione}

(13)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

s(t) = la distanza percorsa al tempo t

La velocità media nell’intervallo di tempo

[t

₀

, t

₀

+ h] è

s(t

₀

+ h) − s(t

₀

)

h

Più

_{h è vicino a 0, più è precisa l’informazione}

sull’andamento della velocità. Il limite

lim

h

→0

s(t

₀

+ h) − s(t

₀

)

h

(14)

Esempi introduttivi Velocità istantanea

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 5/50

Tasso di accrescimento

(15)

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Tasso di accrescimento

Processo di crescita di un organismo:

p(t) = peso al tempo t

(16)

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 5/50

Tasso di accrescimento

Processo di crescita di un organismo:

p(t) = peso al tempo t

La variazione di peso nell’intervallo di tempo

[t

₀

, t

₀

+ h] è

(17)

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Tasso di accrescimento

Processo di crescita di un organismo:

p(t) = peso al tempo t

La variazione di peso nell’intervallo di tempo

[t

₀

, t

₀

+ h] è

p(t

₀

+ h) − p(t

₀

)

La variazione di peso (media) per unità di

tempo è

p(t

₀

+ h) − p(t

₀

)

h

(18)

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 6/50

La derivata

dp

dt

(t

0 ) = lim

h

→0

p(t

₀

+ h) − p(t

₀

)

h

(19)

Esempi introduttivi

Definizioni

Derivabilità e derivata

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Derivabilità e derivata

Sia

_{f :]a, b[→ R una funzione e x}

₀

_{∈]a, b[}

f è

derivabile nel punto

x

₀

se esiste finito

lim

h

→0

f (x

₀

+ h) − f (x

₀

)

h

detto

derivata di

f nel punto x

₀

, indicato

usualmente con uno dei simboli

f

′

(x

₀

)

df

(20)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 7/50

Derivabilità e derivata

Sia

_{f :]a, b[→ R una funzione e x}

₀

_{∈]a, b[}

f è

derivabile nel punto

x

₀

se esiste finito

lim

h

→0

f (x

₀

+ h) − f (x

₀

)

h

rapporto

incrementale

detto

derivata di

f nel punto x

₀

, indicato

usualmente con uno dei simboli

f

′

(x

₀

)

df

(21)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Si dice che

f è

derivabile in un

sottoinsie-me

_A

del suo dominio se è derivabile in ogni

(22)

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 8/50

Si dice che

f è

derivabile in un

sottoinsie-me

_A

del suo dominio se è derivabile in ogni

punto di

A

Operando il cambiamento di variabile

x = x

₀

+ h si ottiene

f

′

(x

₀

) = lim

x

→x

0 f (x) − f (x

₀

)

x − x

₀

(23)

Esempi introduttivi

Definizioni

Retta tangente

Significato geometrico

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Retta tangente

Sia f

_{:]a, b[→ R continua e x}

0 ∈]a, b[

x

0 P

0

(24)

Esempi introduttivi

Definizioni

Retta tangente

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 9/50

Retta tangente

Sia f

_{:]a, b[→ R continua e x}

0 ∈]a, b[

Tracciamo la

retta

secan-te

passante per i punti di

ascissa x

0 e x

0 + h

x

0 P

0 f

(x

0 )

x

0 + h

P

h

f

(x

0 + h)

Equazione della secante

:

y

_{= (x − x}

0 )

f

(x

0 + h) − f(x

0 )

(25)

Esempi introduttivi

Definizioni

Retta tangente

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Retta tangente

Sia f

_{:]a, b[→ R continua e x}

0 ∈]a, b[

Tracciamo la

retta

secan-te

passante per i punti di

ascissa x

0 e x

0 + h

Facciamo tendere h a zero,

quindi x

0 + h tenderà a x

0 x

0 P

0 f

(x

0 )

x

0 + h

P

h

f

(x

0 + h)

Equazione della secante

:

y

_{= (x − x}

0 )

f

(x

0 + h) − f(x

0 )

(26)

Esempi introduttivi

Definizioni

Retta tangente

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 9/50

Retta tangente

Sia f

_{:]a, b[→ R continua e x}

0 ∈]a, b[

Tracciamo la

retta

secan-te

passante per i punti di

ascissa x

0 e x

0 + h

Facciamo tendere h a zero,

quindi x

0 + h tenderà a x

0 Corrispondentemente

il

punto P

h

tenderà a P

0 lungo la curva

x

0 P

0 f

(x

0 )

x

0 + h

P

h

f

(x

0 + h)

Equazione della secante

:

y

_{= (x − x}

0 )

f

(x

0 + h) − f(x

0 )

(27)

Esempi introduttivi

Definizioni

Retta tangente

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Retta tangente

Sia f

_{:]a, b[→ R continua e x}

0 ∈]a, b[

Tracciamo la

retta

secan-te

passante per i punti di

ascissa x

0 e x

0 + h

Facciamo tendere h a zero,

quindi x

0 + h tenderà a x

0 Corrispondentemente

il

punto P

h

tenderà a P

0 lungo la curva

x

0 P

0 f

(x

0 )

x

0 + h

P

h

f

(x

0 + h)

Equazione della secante

:

y

_{= (x − x}

0 )

f

(x

0 + h) − f(x

0 )

(28)

Esempi introduttivi

Definizioni

Retta tangente

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 9/50

Retta tangente

Sia f

_{:]a, b[→ R continua e x}

0 ∈]a, b[

Tracciamo la

retta

secan-te

passante per i punti di

ascissa x

0 e x

0 + h

Facciamo tendere h a zero,

quindi x

0 + h tenderà a x

0 Corrispondentemente

il

punto P

h

tenderà a P

0 lungo la curva

x

0 P

0 f

(x

0 )

x

0 + h

P

h

f

(x

0 + h)

Equazione della secante

:

y

_{= (x − x}

0 )

f

(x

0 + h) − f(x

0 )

(29)

Esempi introduttivi

Definizioni

Retta tangente

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Retta tangente

Sia f

_{:]a, b[→ R continua e x}

0 ∈]a, b[

Per h → 0, la retta secante

tende alla

retta tangente al grafico

nel punto x

0 , f

(x

0 )

x

0 P

0 f

(x

0 )

Equazione della secante

:

y

_{= (x − x}

0 )

f

(x

0 + h) − f(x

0 )

(30)

Esempi introduttivi

Definizioni

Retta tangente

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 9/50

Retta tangente

Sia f

_{:]a, b[→ R continua e x}

0 ∈]a, b[

Per h → 0, la retta secante

tende alla

retta tangente al grafico

nel punto x

0 , f

(x

0 )

Se f è derivabile in x

0 ,

pas-sando al limite h → 0

nel-l’equazione della retta

se-cante si trova l’equazione

della retta tangente

x

0 P

0 f

(x

0 )

Equazione della secante

:

y

_{= (x − x}

0 )

f

(x

0 + h) − f(x

0 )

(31)

Esempi introduttivi

Definizioni

Retta tangente

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Retta tangente

Sia f

_{:]a, b[→ R continua e x}

0 ∈]a, b[

Per h → 0, la retta secante

tende alla

retta tangente al grafico

nel punto x

0 , f

(x

0 )

Se f è derivabile in x

0 ,

pas-sando al limite h → 0

nel-l’equazione della retta

se-cante si trova l’equazione

della retta tangente

x

0 P

0 f

(x

0 )

Equazione della secante

:

y

_{= (x − x}

0 )

f

(x

0 + h) − f(x

0 )

h

+ f (x

0 )

(32)

Esempi introduttivi

Definizioni

Retta tangente

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 9/50

Retta tangente

Sia f

_{:]a, b[→ R continua e x}

0 ∈]a, b[

Per h → 0, la retta secante

tende alla

retta tangente al grafico

nel punto x

0 , f

(x

0 )

Se f è derivabile in x

0 ,

pas-sando al limite h → 0

nel-l’equazione della retta

se-cante si trova l’equazione

della retta tangente

x

0 P

0 f

(x

0 )

Equazione della secante

:

y

_{= (x − x}

0 )

f

(x

0 + h) − f(x

0 )

h

+ f (x

0 )

(33)

Esempi introduttivi

Definizioni

Interpretazione geometrica Retta tangente

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Significato geometrico

Dall’equazione

y = (x − x

₀

)f

′

(x

₀

) + f (x

₀

)

si ottiene l’

interpretazione geometrica della derivata

:

La derivata della funzione

f nel punto

x

0 è il coefficiente angolare della

ret-ta ret-tangente al grafico della funzione nel

(34)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 11/50

Operazioni con le derivate

Se

f e g sono derivabili in un punto x allora sono

derivabili in

x anche αf , f + g, f g e f /g (purché

g(x) 6= 0), e valgono

(αf )

′

(x) = αf

′

(x)

(f + g)

′

(x) = f

′

(x) + g

′

(x)

(f g)

′

(x) = f

′

(x)g(x) + f (x)g

′

(x)

f

g

′

(x) =

f

′

(x)g(x) − f (x)g

′

(x)

g

2 _(x)

se

g(x) 6= 0

(35)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Operazioni con le derivate

Se

f e g sono derivabili in un punto x allora sono

derivabili in

x anche αf , f + g, f g e f /g (purché

g(x) 6= 0), e valgono

(αf )

′

(x) = αf

′

(x)

(f + g)

′

(x) = f

′

(x) + g

′

(x)

(f g)

′

(x) = f

′

(x)g(x) + f (x)g

′

(x)

f

g

′

(x) =

f

′

(x)g(x) − f (x)g

′

(x)

g

2 _(x)

se

g(x) 6= 0

Se

g è derivabile in x ed f è derivabile in g(x) allora

la funzione composta

f ◦ g è derivabile in x e vale

(f ◦ g)

′

(x) = f

′

(g(x)) · g

′

(36)

Definizioni

Derivata n-esima

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 12/50

(37)

Esempi introduttivi

Definizioni

Derivata n-esima

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Derivata n-esima

Se

_{f : ]a, b[→ R è derivabile in ogni punto,}

allora si può considerare la

funzione derivata

f

′

_{: ]a, b[ → R}

(38)

Esempi introduttivi

Definizioni

Derivata n-esima

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 13/50

Derivata n-esima

Se

_{f : ]a, b[→ R è derivabile in ogni punto,}

allora si può considerare la

funzione derivata

f

′

_{: ]a, b[ → R}

x 7→ f

′

(x)

Se

f

′

è derivabile in

x

₀

∈ ]a, b[ diremo che la

sua derivata

_(f

′

₎

′

_(x

₀

_{) è la}

derivata seconda

di

f nel punto x

₀

, denotata con uno dei simboli

f

′′

(x

0 )

d

2 f

dx

2 (x

0 )

D

2 _{f (x}

0 )

(39)

Esempi introduttivi

Definizioni

Derivata n-esima

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Derivata n-esima

Se

_{f : ]a, b[→ R è derivabile in ogni punto,}

allora si può considerare la

funzione derivata

f

′

_{: ]a, b[ → R}

x 7→ f

′

(x)

Se

f

′

è derivabile in

x

₀

∈ ]a, b[ diremo che la

sua derivata

_(f

′

₎

′

_(x

₀

_{) è la}

derivata seconda

di

f nel punto x

₀

, denotata con uno dei simboli

f

′′

(x

0 )

d

2 f

dx

2 (x

0 )

D

2 _{f (x}

0 )

Procedendo oltre, potremo parlare di derivata

terza e così via. Useremo il simbolo

f

(n)

o

(40)

Definizioni

Formula di Taylor

Concetto di “o piccolo” Il polinomio di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 14/50

(41)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Concetto di “o piccolo”

Il polinomio di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Concetto di “o piccolo”

Siano date due funzioni

_{f, g : ]a, b[\{x}

₀

_{} → R}

Diciamo che

f è un “o piccolo” di g in x

₀

se

lim

x

→x

0 f (x)

g(x)

= 0

e si scrive

f (x) = o

x

0 g(x)

oppure semplicemente

f (x) = o g(x)

(42)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 16/50

Generalmente in questo caso entrambe le

funzioni tendono a zero, cioè

lim

x

→x

0 f (x) = 0

lim

x

→x

0

(43)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Generalmente in questo caso entrambe le

funzioni tendono a zero, cioè

lim

x

→x

0 f (x) = 0

lim

x

→x

0 g(x) = 0

Allora se

lim

x

→x

0 f (x)

g(x)

= 0

vuol dire che “il numeratore tende a zero più

velocemente del denominatore”

(44)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 17/50

Allora possiamo interpretare il simbolo

f (x) = o

x

0 g(x)

(45)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Allora possiamo interpretare il simbolo

f (x) = o

x

0 g(x)

nei seguenti due modi:

■

f tende a zero più velocemente di g quando

(46)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 17/50

Allora possiamo interpretare il simbolo

f (x) = o

x

0 g(x)

nei seguenti due modi:

■

f tende a zero più velocemente di g quando

x tende a x

₀

(47)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor Concetto di “o piccolo”

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Il polinomio di Taylor

Teorema.

Sia

f: ]a, b[ → R una funzione derivabile fino

all’ordine

n.

Vale la

formula di Taylor

di ordine

n (con resto nella

forma di Peano) e centro nel punto

x

₀

f (x) = f (x

₀

) +

n

X

k

=1

f

(k)

(x

₀

)

(x − x

0 )

k

k!

+ R

n,x

0 (x)

dove il

resto

R

n,x

0 (x) gode della proprietà

lim

x→x

0 R

n,x

0 (x)

(x − x

₀

)

n

= 0

cioè

R

n,x

0 (x) = o (x − x

0 )

n

(48)

Definizioni

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 19/50

Teorema.

Se inoltre

f è derivabile n + 1 volte in

]a, b[, allora il

resto

può essere espresso

nella forma di

Lagrange

R

n,x

0 (x) = f

(n+1)

_(ξ

x

)

(x − x

₀

)

n+1

(n + 1)!

dove

ξ

x

è un punto opportuno strettamente compreso tra

x

₀

ed

x

La formula di Taylor di centro

x

₀

= 0 è detta anche

(49)

Esempi introduttivi

Definizioni

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Il polinomio

P

n

(x) = f (x

0 ) +

n

X

k=1

f

(k)

(x

₀

)

(x − x

0 )

k!

k

si chiama

polinomio di Taylor

di centro

x

₀

e grado

n,

(50)

Definizioni

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 20/50

Il polinomio

P

n

(x) = f (x

0 ) +

n

X

k=1

f

(k)

(x

₀

)

(x − x

0 )

k!

k

= f (x

0 ) + f

′

(x

0 )(x − x

0 ) + f

′′

(x

0 )

(x − x

0 )

2!

2 +

+ · · · + f

(n)

(x

₀

)

(x − x

0 )

n!

n

si chiama

polinomio di Taylor

di centro

x

₀

e grado

n,

(51)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Funzione esponenziale Funzione seno Funzione coseno Funzione logaritmo Funzione tangente Funzione

(x + 1)−1

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Polinomi di Mac Laurin

(52)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Funzione esponenziale Funzione seno Funzione coseno Funzione logaritmo Funzione tangente Funzione

(x + 1)−1

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 22/50

Funzione esponenziale

Data

f (x) = e

x

, poiché

f

′

(x) = f

′′

(x) = · · · = f

(n)

(x) = e

x

per ogni

n, si ha

e

x

= e

0 + e

0 x +

e

0 2!

x

2 _{+ · · · +}

e

0 n!

x

n

+ R

n

(x)

= 1 + x +

x

2 2!

+ · · · +

x

n

n!

+ R

n

(x)

(53)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcuni polinomi di Mac Laurin Funzione esponenziale Funzione seno Funzione coseno Funzione logaritmo Funzione tangente Funzione

(x + 1)−1

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Funzione seno

Data

f (x) = sin x, si ha

f

′

(x) = cos x,

f

′′

(x) = − sin x,

f

′′′

(x) = − cos x,

f

iv

(x) = sin x

poi le derivate si ripetono ciclicamente. Quindi

sin x = sin 0 + cos 0 x +

− sin 0

2!

x

2 _{+ · · · + R}

2n+1

(x)

= x −

x

3 3!

+

x

5 5!

+ · · · +

(−1)

n

x

2n+1

(2n + 1)!

+ R

2n+1

(x)

(54)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

(x + 1)−1

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 24/50

Funzione coseno

Analogamente, data

f (x) = cos x, si ha

f

′

(x) = − sin x,

f

′′

(x) = − cos x,

f

′′′

(x) = sin x,

f

iv

(x) = cos x

poi le derivate si ripetono ciclicamente. Quindi

cos x = cos 0 − sin 0 x +

− cos 0

2!

x

2 _{+ · · · + R}

2n

(x)

= 1 −

x

2 2!

+

x

4 4!

+ · · · + (−1)

n

x

2n

(2n)!

+ R

2n

(x)

(55)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

(x + 1)−1

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Funzione logaritmo

Analogamente, data

f (x) = ln(1 + x), si ha

f

′

(x) =

1 1 + x

,

f

′′

(x) = −

1 (1 + x)

2 ,

f

′′′

(x) =

2 (1 + x)

3 ,

f

(n)

_{(x) = (−1)}

n+1

(n − 1)!

(1 + x)

n

quindi

ln(1 + x) = x −

x

2

2 +

x

3

3 + · · · + (−1)

n

+1

x

n

+ R

n

(x)

(56)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

(x + 1)−1

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 26/50

Funzione tangente

Analogamente, data

f (x) = tan x, si ha

f

′

(x) =

1 cos

2 _x

,

f

′′

(x) =

2 sin x

cos

3 _x

,

f

′′′

(x) = 2

cos

2 _{x + 3 sin}

2 _x

cos

4 _x

,

quindi

tan x = x +

x

3

3 + R

4 (x)

(57)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

(x + 1)−1

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Funzione

_{(x + 1)}

−1

Data

f (x) =

1 1 + x

, si ha

f

′

(x) = −

1 (1 + x)

2 ,

f

′′

(x) =

2 (1 + x)

3 ,

f

′′′

(x) = −

2 · 3

(1 + x)

4 ,

f

(n)

_{(x) = (−1)}

n

n!

(1 + x)

n

+1

quindi

f

(n)

(0) = (−1)

n

n! e si ha

1 1 + x

= 1 +

−1!

1!

x +

2!

x

2 _{+ · · · +}

(−1)

n

n!

x

n

+ R

n

(x)

= 1 − x + x

2 − x

3 + · · · + (−1)

n

x

n

+ R

n

(x)

(58)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

(x + 1)−1

Alcune applicazioni

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 28/50

Da quest’ultima, sostituendo

−x al posto di x si ha

1 1 − x

= 1 + x + x

2 _{+ x}

3 _{+ · · · + x}

n

_{+ R}

n

(x)

mentre sostituendo

x

2 al posto di

x si ha

1 1 + x

2 = 1 − x

2 _{+ x}

4 _{− x}

6 _{+ · · · + (−1)}

n

_x

2n

_{+ R}

(59)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Calcolo approssimato Esempio

Studio di funzioni

(60)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Calcolo approssimato

Esempio

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 30/50

Calcolo approssimato

Dalla formula di Taylor con resto nella forma di

Lagrange, si ricava che

|f (x)−P

n

(x)| = |R

n

(x)| ≤ max

c∈[x

0 ,x]

|f

(n+1)

(c)|

|x − x

0 |

n

+1

(61)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Esempio

Studio di funzioni

Calcolo approssimato

Dalla formula di Taylor con resto nella forma di

Lagrange, si ricava che

|f (x)−P

n

(x)|

= |R

n

(x)| ≤ max

c∈[x

0 ,x]

|f

(n+1)

(c)|

|x − x

0 |

n

+1

(n + 1)!

differenza tra i valori in x della funzione e del

proprio polinomio di Taylor,

ovvero

(62)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Esempio

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 30/50

Calcolo approssimato

Dalla formula di Taylor con resto nella forma di

Lagrange, si ricava che

|f (x)−P

n

(x)|

= |R

n

(x)| ≤ max

c∈[x

0 ,x]

|f

(n+1)

(c)|

|x − x

0 |

n

+1

(n + 1)!

errore che si commette sostituendo al valore

della funzione quello del polinomio

(63)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Esempio

Studio di funzioni

Calcolo approssimato

Dalla formula di Taylor con resto nella forma di

Lagrange, si ricava che

|f (x)−P

n

(x)|

= |R

n

(x)| ≤

max

c∈[x

0 ,x]

|f

(n+1)

(c)|

|x − x

0 |

n

+1

(n + 1)!

errore che si commette sostituendo al valore

della funzione quello del polinomio

Quindi è possibile controllare l’errore maggiorando la

(64)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Esempio

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 30/50

Calcolo approssimato

Dalla formula di Taylor con resto nella forma di

Lagrange, si ricava che

|f (x)−P

n

(x)|

= |R

n

(x)| ≤

max

c∈[x

0 ,x]

|f

(n+1)

(c)|

|x − x

0 |

n

+1

(n + 1)!

errore che si commette sostituendo al valore

della funzione quello del polinomio

Quindi è possibile controllare l’errore maggiorando la

derivata

(n + 1)-esima

della funzione

Questo procedimento permette di calcolare in maniera

approssimata il valore di alcune funzioni mediante i

loro polinomi di Taylor

(65)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni Calcolo approssimato

Esempio

Studio di funzioni

Esempio

Ad esempio, per la funzione esponenziale, se

x

₀

= 0 e

x ∈ [0, 1] si ottiene

|e

x

− P

n

(x)| ≤ max

c∈

[0,1]

|e

c

_|

|x|

n

+1

(n + 1)!

≤

e

(n + 1)!

(66)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Esempio

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 31/50

Esempio

Ad esempio, per la funzione esponenziale, se

x

₀

= 0 e

x ∈ [0, 1] si ottiene

|e

x

− P

n

(x)| ≤ max

c∈

[0,1]

|e

c

_|

|x|

n

+1

(n + 1)!

≤

e

(n + 1)!

Osserviamo che l’ultimo termine, e quindi l’errore

commesso, diventa sempre più piccolo al crescere di

n,

(67)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Esempio

Studio di funzioni

Esempio

Ad esempio, per la funzione esponenziale, se

x

₀

= 0 e

x ∈ [0, 1] si ottiene

|e − P

n

(1)| ≤ max

c∈

[0,1]

|e

c

_|

|1|

n

+1

(n + 1)!

≤

e

(n + 1)!

Applicando la formula per

x = 1, riusciamo ad ottenere

(68)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Esempio

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 31/50

Esempio

Ad esempio, per la funzione esponenziale, se

x

₀

= 0 e

x ∈ [0, 1] si ottiene

|e − P

n

(1)| ≤ max

c∈

[0,1]

|e

c

_|

|1|

n

+1

(n + 1)!

≤

e

(n + 1)!

Applicando la formula per

x = 1, riusciamo ad ottenere

delle approssimazioni del numero e. Ad esempio

P

₃

(1) = 1 + 1 +

1

2 +

1

6 = 2 +

2

3 ≃ 2.666

errore

₃

≤

e

(3 + 1)!

≤

3

24 = 0.125

(69)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Esempio

Studio di funzioni

Esempio

Ad esempio, per la funzione esponenziale, se

x

₀

= 0 e

x ∈ [0, 1] si ottiene

|e − P

n

(1)| ≤ max

c∈

[0,1]

|e

c

_|

|1|

n

+1

(n + 1)!

≤

e

(n + 1)!

Applicando la formula per

x = 1, riusciamo ad ottenere

delle approssimazioni del numero e. Ad esempio

P

₄

(1) = 1 + 1 +

1

2 +

1

6 +

1

24 = 2 +

17

24 ≃ 2.708

errore

₄

≤

e

(4 + 1)!

≤

3

120 = 0.025

(70)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Esempio

Studio di funzioni

Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 2015-2016 - Modulo di Matematica - Derivate

- p. 31/50

Esempio

Ad esempio, per la funzione esponenziale, se

x

₀

= 0 e

x ∈ [0, 1] si ottiene

|e − P

n

(1)| ≤ max

c∈

[0,1]

|e

c

_|

|1|

n

+1

(n + 1)!

≤

e

(n + 1)!

Applicando la formula per

x = 1, riusciamo ad ottenere

delle approssimazioni del numero e. Ad esempio

P

₅

(1) = 1 + 1 +

1

2 +

1

6 +

1

24 +

1

120 = 2 +

43

60 ≃ 2.716

errore

₅

≤

e

(5 + 1)!

≤

3

720 = 0.0041

(71)

Esempi introduttivi

Definizioni

Formula di Taylor

Esempio

Studio di funzioni

Esempio

Ad esempio, per la funzione esponenziale, se

x

₀

= 0 e

x ∈ [0, 1] si ottiene

|e − P

n

(1)| ≤ max

c∈

[0,1]

|e

c

_|

|1|

n

+1

(n + 1)!

≤

e

(n + 1)!

Applicando la formula per

x = 1, riusciamo ad ottenere

delle approssimazioni del numero e. Ad esempio

P

₅

(1) = 1 + 1 +

1

2 +

1

6 +

1

24 +

1

120 = 2 +

43

60 ≃ 2.716

errore

₅

≤

e

(5 + 1)!

≤

3

720 = 0.0041

Si noti come l’approssimazione diventi sempre più

(72)

Definizioni

Formula di Taylor

Alcune applicazioni

Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia

Studio di funzioni