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Per determinare i punti di massimo e di minimo sulla frontiera @K abbiamo determinato i punti di massimo e di minimo della funzione f (x, y) ristretta all’insieme @K

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Academic year: 2021

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(1)

9. Massimi e minimi vincolati

Negli ultimi esempi, data una funzione f (x, y) definita e continua in un insieme compatto K ⇢ R2, abbiamo considerato il problema di determinarne i punti di massimo e di minimo assoluti (la cui esistenza ci `e assicurata dal Teorema di Weierstrass). Abbiamo visto che tali valori potranno essere assunti sia all’interno che sulla frontiera del compatto K. Per determinare i punti di massimo e di minimo interni a K, se la funzione `e di classe C1, i punti di massimo e di minimo assoluti interni aK saranno da ricercarsi tra i punti stazionari della funzione, cio`e tra le soluzioni del sistema rf(x, y) = 0. Per determinare i punti di massimo e di minimo sulla frontiera @K abbiamo determinato i punti di massimo e di minimo della funzione f (x, y) ristretta all’insieme @K. Negli esempi considerati la frontiera risultava unione di insiemi di livello di una funzione di due variabili ovvero della forma

Z = {(x, y) 2 A | G(x, y) = a}.

Siamo in presenza di un problema di ricerca di punti di massimo o di minimo vincolati, in quanto le due variabili risultano legate, vincolate, dalla condizione G(x, y) = a.

In generale, date due funzioni f (x, y) e G(x, y) definite in A e considerato l’insie- me di livelloZ = {(x, y) 2 A | G(x, y) = a}, si dice che (x0, y0)2 Z `e un punto di massimo (risp. minimo) relativo per f (x, y) vincolato aZ, se (x0, y0) risulta essere un punto di massimo (risp. minimo) per la restrizione f (x, y)|Z, cio`e se esiste

> 0 tale che

f (x, y) f(x0, y0) (risp. f (x, y) f (x0, y0)), 8(x, y) 2 I (x0, y0)\ Z.

L’insiemeZ (o equivalentemente l’equazione G(x, y) = a) verr`a chiamato vincolo.

Negli esempi che abbiamo visto il vincolo Z coincideva con il sostegno di una curva semplice regolare a tratti '(t), t 2 [a, b]11). Per determinare i punti di massimo e di minimo della funzione f (x, y) ristretta aZ abbiamo quindi cercato i punti di massimo e di minimo della funzione di una variabile reale F (t) = f ('(t)) = f (x, y)|Z, t2 [a, b]. Osserviamo che considerato t0 2 (a, b) e P0 = '(t0) punto regolare di '(t), la funzione f (x, y) avr`a un punto di massimo (risp. di minimo) in P0 vincolato aZ se e solo se F (t) ha un punto di massimo (risp. di minimo) in t0. Se F (t) risulta derivabile in t0, dal Teorema di Fermat dovr`a quindi risultare F0(t0) = 0. Ne segue che, se f (x, y) risulta di↵erenziabile in P0, punto interno al suo dominio A, e P0 `e punto regolare della curva '(t), dal Teorema di

11nella geometria classica una curva `e espressa mediante un’equazione del tipo G(x, y) = a, si pensi alla circonferenza x2+ y2= a o all’iperbole x2 y2= a

(2)

derivazione della funzione composta, otteniamo che F (t) risulta derivabile in t0 e che

F0(t0) =rf('(t0))· '0(t0) = 0.

Possiamo allora a↵ermare che se f (x, y)|Z ha un punto di massimo o di minimo nel punto regolare P0 = '(t0) allora il gradiente rf(P0), se non nullo, dovr`a risultare ortogonale alla curva '(t) nel punto P0 (ovvero ortogonale al vettore tangente '0(t) in P0).

O

ϕ(t ) ϕ'(t )0

0

∇f(ϕ(t ))0

Quindi se il vincolo Z = {(x, y) 2 A | G(x, y) = a} `e il sostegno di una curva semplice e regolare e se la funzione f (x, y) `e di classe C1 nell’aperto A, allora condizione necessaria affinch`e (x0, y0) 2 Z risulti punto di massimo o di mini- mo per f (x, y) vincolato a Z `e che, se non nullo, il gradiente rf(x0, y0) risulti ortogonale a Z.

Ad esempio, determiniamo i punti di massimo e di minimo assoluti per f (x, y) = xy vincolati a Z = {(x, y) 2 R2| x2+ y2 = 1}. Osserviamo che una parametriz- zazione del sostegno Z `e dato dalla curva '(✓) = (cos ✓, sin ✓) con ✓ 2 [ ⇡, ⇡].

Dovremo allora trovare i punti di massimo e di minimo della funzione F (✓) = f ('(✓)) = cos ✓ sin ✓, ✓ 2 [ ⇡, ⇡]. I punti di massimo e di minimo in ( ⇡, ⇡) saranno da ricercarsi tra i punti stazionari della funzione F (✓):

F0(✓) = sin2 cos2✓ = 0 , ✓ =±4 e ✓ =±34

che corrispondono ai punti di Z dove rf(cos ✓, sin ✓) = (sin ✓, cos ✓) risulta ortogonale a '0(✓) = ( sin ✓, cos ✓).

Osserviamo inoltre che una parametrizzazione alternativa del vincolo Z `e data dalla curva regolare a tratti +[ dove ±sono le curve di equazione cartesiana

(3)

y =±p

x2 1, x2 [ 1, 1]. Usando tale parametrizzazione avremo dovuto deter- minare i massimi e minimi delle funzioni F±(x) = f (x,±p

x2 1) =±xp 1 x2, x2 [ 1, 1].

Non `e per`o sempre possibile, come nel precedente esempio, determinare una parametrizzazione globale del vincolo Z. Vedremo che se G(x, y) `e funzione di classe C1 in un aperto A e se (x0, y0) 2 A `e punto regolare di G(x, y), cio`e se rG(x0, y0) 6= 0, e se G(x0, y0) = a, allora in un intorno di (x0, y0) l’insieme di livello Z = {(x, y) 2 A | G(x, y) = a} risulter`a essere il grafico di una funzione di una variabile di classe C1 e dunque il sostegno di una curva regolare.

In altri termini, potremo dire che se G(x0, y0) = a e (x0, y0) `e punto regolare per la funzione G(x, y) allora, almeno localmente, sar`a possibile esplicitare nell’equa- zione G(x, y) = a una variabile rispetto all’altra.

Diamo allora la seguente definizione, si dice che una funzione y = y(x), x2 I ⇢ R,

`e definita implicitamente dall’equazione G(x, y) = a se risulta G(x, y(x)) = a per ogni x2 I.

Analogalmente, si dice che la funzione x = x(y), y 2 J ⇢ R, `e definita implicita- mente dall’equazione G(x, y) = a se risulta

G(x(y), y) = a per ogni y 2 J.

Ad esempio le funzioni y(x) =p

1 x2, x2 [ 1, 1], e x(y) =p1 y2, y2 [ 1, 1], sono definite implicitamente dall’equazione x2+ y2 = 1.

(4)

Il seguente risultato prova, come anticipato, che nell’intorno di un punto regolare della funzione G(x, y), l’equazione G(x, y) = a definisce implicitamente una fun- zione di una variabile, altrimenti detto l’insieme di livello Z = {(x, y) | G(x, y) = a} risulta localmente il grafico di una funzione di una variabile.

Teorema 2.16. (del Dini sulla Funzione Implicita)

Sia G(x, y) funzione di classe C1 in un aperto A⇢ R2 e sia (x0, y0)2 A tale che G(x0, y0) = a e rG(x0, y0) 6= 0. Allora esiste un intorno B del punto (x0, y0) tale che l’insieme

Z \ B = {(x, y) 2 A | G(x, y) = a} \ B

coincide con il grafico di una funzione di una variabile. Precisamente,

(i) se @yG(x0, y0)6= 0, allora esiste > 0 ed esiste una funzione y(x) defini- ta nell’intervallo I = (x0 , x0+ ) tale che y(x0) = y0e G(x, y(x)) = a per ogni x2 I;

(ii) se @xG(x0, y0)6= 0, allora esiste > 0 ed esiste una funzione x(y) defini- ta nell’intervallo J = (y0 , y0+ ) tale che x(y0) = x0 e G(x(y), y) = a per ogni y2 J.

Dim. Consideriamo solo il caso (i), la prova del caso (ii) sar`a del tutto analoga.

Sia allora (x0, y0) 2 A tale che G(x0, y0) = a e @G@y(x0, y0)6= 0. Supponiamo, per semplicit`a, a = 0 e che @G@y(x0, y0) > 0. Poich`e @G@y(x, y) `e per ipotesi continua in A, dal Teorema della permanenza del segno esiste r > 0 tale che

@G

@y(x, y) > 0 per ogni (x, y)2 (x0 r, x0+ r)⇥ (y0 r, y0+ r).

In particolare avremo che @G@y(x0, y) > 0 per ogni y 2 (y0 r, y0+ r) e dunque che la funzione g(y) = G(x, y)|x=x0 = G(x0, y) risulta strettamente crescente nell’intervallo [y0 r, y0 + r]. Poich`e g(y0) = G(x0, y0) = 0, avremo allora che g(y0 r) = G(x0, y0 r) < 0 mentre g(y0+ r) = G(x0, y0+ r) > 0. Essendo di classeC1, la funzione continua e sempre dal Teorema della permanenza del segno, avremo che esiste 2 (0, r) tale che G(x, y0 r) < 0 e G(x, y0+ r) > 0 per ogni x2 (x0 , x0+ ).

Ne segue che, fissato comunque x2 (x0 , x0+ ), la funzione gx(y) = G(x, y) risulta continua e strettamente crescente in [y0 r, y0 + r], essendo gx0(y) =

@G

@y(x, y) > 0, e tale che gx(y0 r) < 0 e gx(y0+r) > 0. Dal Teorema sull’esistenza degli zeri e dalla monotonia stretta, abbiamo dunque che per ogni x2 (x0 , x0+ ) esiste un unico y = y(x) tale che gx(y(x)) = G(x, y(x) = 0.

(5)

Consideriamo ad esempio l’equazione G(x, y) = y2 x2+ x4 = 0. Dal Teorema del Dini, per ogni P0(x0, y0) con G(x0, y0) = 0 erG(x0, y0)6= 0 esiste un intorno B tale che, posto Z = {(x, y) 2 R2| G(x, y) = 0}, l’insieme Z \ B `e grafico di una funzione di una variabile reale. Osserviamo che possiamo esplicitare tale equazione rispetto ad y ottenendo

y =±px2 x4, x2 [ 1, 1].

Abbiamo quindi che l’insieme di livello Z `e unione di due grafici

L’insieme di livello y2 x2+ x4= 0

Osserviamo invece che rG(0, 0) = 0 e che in ogni intorno B dell’origine O(0, 0) l’insieme Z \ B non `e il grafico di alcuna funzione di una variabile.

L’equazione G(x, y) = x3+ y3 3xy = 0 definisce una curva piana (il folium di Cartesio). Osserviamo che rG(x, y) = (3x2 3y, 3y2 3x) = 0 e G(x, y) = 0 solo se (x, y) = (0, 0). In tale punto non potremo applicare il Teorema del Dini e la curva non risulta grafico di alcuna funzione di una variabile in alcun intorno del punto.

Si pu`o inoltre provare che, nelle ipotesi del Teorema del Dini, la funzione implicita risulta funzione derivabile nell’intervallo in cui risulta definita. Per valutarne la derivata osserviamo che nel caso in cui @G@y(x0, y0)6= 0, sia y(x), x 2 (x0 , x0+ ), la funzione definita implicitamente dall’equazione G(x, y) = a. Avremo allora che

G(x, y(x)) = a, 8x 2 (x0 , x0+ )

e derivando entrambi i membri dell’uguaglianza, ricordando che dal Teorema di derivazione della funzione composta se F (t) = G(x(t), y(t)) allora F0(t) =

@G

@x(x(t), y(t))x0(t) +@G@y(x(t), y(t))y0(t), otteniamo

@G

@x(x, y(x)) + @G

@y(x, y(x))y0(x) = 0, 8x 2 (x0 , x0+ )

(6)

il folium di Cartesio x3+ y3 3xy = 0

e dunque, poich`e @G@y(x, y(x))6= 0 in (x0 , x0+ ), si ha y0(x) =

@G

@x(x, y(x))

@G

@y(x, y(x)), 8x 2 (x0 , x0+ ).

Ne segue quindi che, nelle ipotesi del Teorema del Dini, la funzione implicita risulta funzione di classe C1. In particolare, poich`e y(x0) = y0 risulta

y0(x0) =

@G

@x(x0, y0)

@G

@y(x0, y0).

Analogalmente, nel caso in cui @G@x(x0, y0) 6= 0, sia x(y), y 2 (y0 , y0+ ), la funzione definita implicitamente dall’equazione G(x, y) = a, allora

x0(y) =

@G

@y(x(y), y)

@G

@x(x(y), y), 8y 2 (y0 , y0+ ) e dunque

x0(y0) =

@G

@y(x0, y0)

@G

@x(x0, y0).

Ad esempio, consideriamo l’equazione G(x, y) = x2 y3 = 0. Si ha chiaramente che possiamo esplicitare tale equazione rispetto ad x ottenendo y = y(x) = p3

x2. Osserviamo che nell’origine risulta rG(0, 0) = 0 e che in corrispondenza nel punto x = 0 la funzione implicita y(x) non risulta derivabile. Abbiamo invece

(7)

che ad esempio nel punto P0( 1, 1) risulta rG( 1, 1) = ( 2, 3) 6= 0 e che y0( 1) =

@G

@x( 1, 1)

@G

@y( 1, 1) = 2 3

Torniamo a considerare il problema della ricerca di punti di massimo e di minimo per una funzione f (x, y) di classe C1 in un aperto A vincolati a

Z = {(x, y) 2 A | G(x, y) = a}.

Osserviamo che se G(x, y) risulta funzione di classe C1 in A, dato (x0, y0)2 Z se rG(x0, y0)6= 0 dal Teorema del Dini in un intorno di (x0, y0),Z coincide con il grafico di una funzione di una variabile, con il sostegno di una curva regolare.

Precisamente, se @G@y(x0, y0)6= 0, sia y(x), x 2 (x0 , x0+ ) la funzione implicita definita da G(x, y) = a. Avremo allora che in un intorno di (x0, y0), il vincolo Z coincider`a con il sostegno della curva '(x) = (x, y(x)), x2 (x0 , x0+ ). Per quanto visto si ha che se (x0, y0) risulta punto di massimo o di minimo relativo per f (x, y) vincolato aZ allora x0 dovr`a risultare punto di massimo o di minimo per la funzione F (x) = f ('(x)) e dunque, dal Teorema di Fermat e dal Teorema di derivazione della funzione composta, ci`o equivale a richiedere che, se non nullo, rf(x0, y0) risulti ortogonale a '0(x0):

F0(x0) =rf(x0, y0)· '0(x0) = 0

D’altra parte abbiamo visto che rG(x0, y0) risulta ortogonale alla sua curva di livello '(x): essendo H(x) = G(x, y(x)) = G('(x)) = a per ogni x2 (x0 , x0+ ) avremo che H0(x) = 0 per ogni x 2 (x0 , x0 + ), da cui, sempre per il Teorema di derivazione delle funzioni composte, cherG(x0, y0) risulta anch’esso ortogonale a '0(x0):

H0(x0) =rG(x0, y0)· '0(x0) = 0.

(8)

Ne segue allora che se (x0, y0) `e un punto di massimo o di minimo relativo di f (x, y) vincolato a Z = {(x, y) 2 R2| G(x, y) = a} con rG(x0, y0) 6= 0, allora rf(x0, y0) erG(x0, y0) dovranno essere paralleli. Dovr`a quindi esistere 02 R, detto moltiplicatore di Lagrange, tale che

rf(x0, y0) = 0rG(x0, y0)

In altre parole, i punti di massimo e di minimo relativo vincolati a Z dovranno essere cercati tra le soluzioni del sistema

(rf(x, y) = rG(x, y)

G(x, y) = a ()

8>

><

>>

:

@f

@x(x, y) = @G@x(x, y)

@f

@y(x, y) = @G@y(x, y) G(x, y) = a

() rF (x, y, ) = 0

dove abbiamo posto F (x, y, ) = f (x, y) (G(x, y) a) (tale funzione `e detta Lagrangiana). Abbiamo dunque provato il seguente risultato

Teorema 2.17. (dei moltiplicatori di Lagrange)

Siano f (x, y) e G(x, y) funzioni di classeC1 in un aperto A⇢ R2. Se (x0, y0)2 A risulta punto di massimo o di minimo relativo per f (x, y) vincolato a G(x, y) = a con rG(x0, y0) 6= 0 allora esiste 0 2 R tale che rF (x0, y0, 0) = 0 essendo F (x, y, ) = f (x, y) (G(x, y) a), ovvero tale che (x0, y0, 0) risulti soluzione del sistema

8>

><

>>

:

@f

@x(x, y) = @G@x(x, y)

@f

@y(x, y) = @G@y(x, y) G(x, y) = a

Esempi

• Determiniamo i punti di massimo e di minimo per f(x, y) = xy vincolati alla circonferenza (x 1)2+ y2 = 1. Potremo determinare tali punti osservando che la circonferenza `e il sostegno della curva '(✓) = (1 + cos ✓, sin ✓), ✓ 2 [ ⇡, ⇡] e cercando i punti di massimo e di minimo della funzione F (✓) = (1 + cos ✓) sin ✓.

Determiniamo invece tali punti usando il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Posto G(x, y) = (x 1)2+ y2, consideriamo la lagrangiana

F (x, y, ) = f (x, y) (G(x, y) 1) = xy ((x 1)2+ y2 1)

(9)

e determiniamone i punti stazionari, cercando le soluzioni del sistema 8>

><

>>

:

@F

@x(x, y, ) = y 2 (x 1) = 0

@F

@y(x, y, ) = x 2 y = 0

@F

@ (x, y, ) = (x 1)2+ y2 1 = 0 Tale sistema ammette come soluzioni

8>

><

>>

:

= 0 x = 0 y = 0

e 8>

><

>>

:

=±p23 x = 32 y =±p23

Abbiamo allora che gli unici punti candidati punti di massimo e di minimo relativo vincolati (osserviamo difatti che le funzioni risultano di classe C1 in R2 e che ogni punto del vincolo `e regolare essendo rG(x, y) = (2x 2, 2y)6= 0 per ogni (x 1)2+ y2= 1) sono i punti O(0, 0) e P±(32,±p23). Osservato che f (O) = 0 e che f (P±) =±3p23, ne concludiamo che P+`e punto di massimo vincolato mentre P `e punto di minimo vincolato.

Osserviamo che O(0, 0) non `e ne’ punto di massimo ne’ punto di minimo vincolato in quanto f (0, 0) = 0 e risulta f (x, y) > 0 se xy > 0 mentre f (x, y) < 0 se xy < 0.

• Determinare la distanza minima del punto P (3, 0) dalla parabola y = x2. Consi- deriamo la funzione distanza al quadrato f (x, y) = (x 3)2+y2e determiniamone il punto di minimo assoluto vincolato a G(x, y) = 0 essendo G(x, y) = y x2. Considerata la Lagrangiana

F (x, y, ) = (x 3)2+ y2 (y x2) determiniamone i punti stazionari ovvero le soluzioni del sistema

8>

><

>>

:

@F

@x(x, y, ) = 2(x 3) + 2 x = 0

@F

@y(x, y, ) = 2y = 0

@F

@ (x, y, ) = x2 y = 0

Tale sistema ha come unica soluzione (x, y, ) = (1, 1, 2) ed osservato che la fun- zione non ammette massimo vincolato a y = x2 (difatti la distanza diverge a +1) e che rG(x, y) = ( 2x, 1) 6= 0, avremo che P (1, 1) `e punto di minimo vincolato. La distanza minima del punto (3, 0) dalla parabola y = x2 `e quindi pari a d =»f (1, 1) =p

5.

(10)

• Determinare i punti di massimo e di minimo di f(x, y) = x2 + y2 vincolati a G(x, y) = y2 x2+ x4 = 0. Potremo considerare la funzione f (x, y) ristretta ai grafici delle funzioni y =±p

x2 x4. In alternativa, consideriamo la Lagrangiana F (x, y, ) = x2+y2 (y2 x2+x4), determiniamone i punti stazionari osservando per`o che O(0, 0) `e punto singolare per la funzione G(x, y). Consideriamo quindi

il sistema 8

>>

<

>>

:

@F

@x(x, y, ) = 2x (2x 4x3) = 0

@F

@y(x, y, ) = 2y 2 y = 0

@F

@ (x, y, ) = y2+ x2 x4= 0 Tale sistema ha come soluzioni

8>

><

>>

:

x =±1 y = 0

= 1

e 8>

><

>>

: x = 0 y = 0 2 R

,

Osservato che f (±1, 0) = 1 e che f(0, 0) = 0, otteniamo che i punti P±(±1, 0) sono punti di massimo mentre il punto singolare O(0, 0) (infatti rG(0, 0) = 0) `e punto di minimo.

• Determiniamo i punti di massimo e di minimo della funzione f(x, y) = xy y2+3 vincolati aZ = {(x, y) | x + y2 = 1, x 0}. Per determinare tali punti, osservato che Z `e il grafico della funzione x(y) = 1 y2, y2 [ 1, 1], potremo determinare i punti di massimo e di minimo della funzione f (x(y), y)) = (1 y2)y y2 + 3. In alternativa, utilizzando il metodo di Lagrange, posto G(x, y) = x + y2, determiniamo i punti stazionari della Lagrangiana

F (x, y, ) = f (x, y) (G(x, y) 1) = xy y2+ 3 (x + y2 1), x 0 e dunque le soluzioni (con x 0) del sistema

8>

><

>>

:

@F

@x(x, y, ) = y = 0

@F

@y(x, y, ) = x 2y 2 y = 0

@F

@ (x, y, ) = x + y2 1 = 0 Tale sistema ha per soluzioni

8>

><

>>

:

= 1

x = 0 y = 1

e 8>

><

>>

:

= 13 x = 89 y = 13

(11)

Essendo f (0, 1) = 2 e f (89,13) = 3 + 275 , poich`e rG(x, y) = (1, 2y) 6= 0 e le funzioni risultano di classe C1 in R2, avremo che P (0, 1) `e punto di minimo mentre Q(89,13) `e punto di massimo. Osserviamo che f (0, 1) = 2 = f (0, 1) e quindi che anche R(0, 1) risulta punto di minimo. I punti P ed R sono punti del vincolo appartenenti alla frontiera dell’insieme A = {(x, y) 2 R2| x 0} dove risulta definito il vincolo. L’insieme A non risulta aperto ed il Teorema visto non si applica nei punti del vincolo appartenenti alla frontiera @A.

Concludiamo con un esempio di applicazione delle precedenti tecniche alla riso- luzione di problemi di ottimizzazione vincolata.

Vogliamo determinare le dimensioni del parallelepipedo a base quadrata di vo- lume massimo avente superficie pari a 48 cm2. Denotata con x la lunghezza del lato di base e con y l’altezza, vogliamo determinare il massimo della fun- zione V (x, y) = x2y con x > 0, y > 0 vincolata a 2x2 + 4xy = 48. Posto S(x, y) = x2+ 2xy, potremo riscrivere il vincolo come S(x, y) = 24. Considerata allora la Lagrangiana

F (x, y, ) = V (x, y) (S(x, y) 24) = x2y (x2+ 2xy 24) determiniamone i punti stazionari. Il sistema

8>

><

>>

:

@F

@x(x, y, ) = 2xy (2x + 2y) = 0

@F

@y(x, y, ) = x2 2 x = 0

@F

@ (x, y, ) = x2+ 2xy 24 = 0

ammette come unica soluzione con x > 0, y > 0, x = y = 2p

2 e = p

2.

Osservato che rS(x, y) = (2x + 2y, 2x) 6= 0 per ogni (x, y) con S(x, y) = 24, otteniamo che il volume massimo si avr`a in corrispondenza di x = y = 2p

2 (il parallelepipedo di volume massimo `e un cubo) e che il volume massimo `e pari a V (2p

2, 2p

2) = 16p

2. Osserviamo che il parallelepipedo di volume minimo `e quello degenere corrispondente a x = y = 0 il cui volume `e nullo.

Riferimenti