Travi a curvatura semplice: analisi di un arco circolare incastrato

UNIVERSITÀ DI PISA

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E INDUSTRIALE

Corso di laurea triennale in Ingegneria Civile Ambientale ed Edile

TRAVI A CURVATURA SEMPLICE:

ANALISI DI UN ARCO CIRCOLARE INCASTRATO

Tesi di laurea triennale

Relatori:

Prof. Ing. Paolo S. VALVO Ing. Luca TAGLIALEGNE

Laureando:

Gabriele POGGI

INDICE

PREFAZIONE………... INTRODUZIONE……….. CAPITOLO 1 – TEORIA TECNICA DELLE TRAVI

1.1 Concetto di trave………..………..……1

1.2 Equazioni differenziali di equilibrio………..2

1.2.1 Travi ad asse rettilineo……….……… 2

1.2.2 Travi a curvatura semplice……….4

1.3 Equazioni costitutive……….5

1.3.1 Sforzo normale………5

1.3.2 Flessione retta………..…9

1.3.3 Taglio………..….13

1.4 Equazione linea elastica per la trave inflessa………..16

1.4.1 Travi ad asse rettilineo……….16

1.4.2 Travi a curvatura semplice………19

1.5 Principio dei lavori virtuali………..…22

1.5.1 Enunciato del Principio dei lavori virtuali……….22

1.5.2 Applicazione del principio a travi a parete piena………..23

1.5.3 Equazione dei lavori virtuali………..24

1.6 Curva delle pressioni………25

CAPITOLO 2 – TRAVI A CURVATURA SEMPLICE 2.1 Deformazioni travi a curvatura semplice………27

2.1.1 Contributo dello sforzo normale……….…28

2.1.2 Contributo del taglio……….…29

2.1.5 Applicazione: Arco a due cerniere……….31

2.2 Archi circolari……….….35

2.2.1 Arco circolare di sezione costante………..……35

2.2.2 Deformata asse negli archi circolari……….…40

CAPITOLO 3 – APPLICAZIONE: ARCO INCASTRATO 3.1 Soluzione numerica di un arco circolare incastrato……….42

3.1.1 Definizione del problema……….….42

3.1.2 Metodo di soluzione………...43

3.1.3 Soluzione problema 1……….45

3.1.4 Soluzione problema 2………55

3.1.5 Soluzione problema 3……….68

3.1.6 Soluzione effettiva dell’arco incastrato………..75

3.1.7 Verifiche di resistenza………77

BIBLIOGRAFIA………80

Questa tesi nasce dal desiderio di approfondire gli argomenti che vengono usualmente trattati nei tradizionali corsi di scienza delle costruzioni.

In particolare è stato approfondito lo studio di travi a curvatura semplice. La scelta di questo argomento discende dalla curiosità e dalla voglia di comprendere il funzionamento di questi elementi costruttivi.

Essi infatti oltre ad essere elementi strutturali di fondamentale importanza nei campi di applicazione dell’ingegneria civile ed edile rappresentano anche elementi di grande valore artistico ed architettonico.

L’idea di questa tesi è quella di studiare la teoria che descrive il comportamento delle travi a semplice curvatura e di applicarla ad un esempio per concretizzare i concetti studiati.

Questa tesi ha come argomento le travi a semplice curvatura di sezione variabile.

La tesi è divisa in tre capitoli.

Nel primo capitolo viene trattata la teoria tecnica delle travi con l’obiettivo di fornire una trattazione di carattere generale per lo studio di problemi piani, con particolare attenzione allo studio di travi a curvatura semplice.

Il secondo capitolo è dedicato interamente allo studio delle travi a semplice curvatura, in particolare viene descritta una teoria completa per lo studio di queste travi che vale nei casi più generali e una teoria semplificata valida esclusivamente per archi circolari.

Infine nel terzo capitolo viene affrontato e risolto concretamente il problema di un arco circolare incastrato alle basi, che presenta sezione variabile e sottoposto a carichi concentrati e distribuiti (peso proprio).

Questo problema viene trattato con il metodo delle forze e risolto numericamente con l’ausilio del software MATLAB.

In appendice è stato riportato il foglio di calcolo scritto per risolvere il problema.

TRAVI A CURVATURA SEMPLICE:

ANALISI DI UN ARCO CIRCOLARE

INCASTRATO

Capitolo 1

TEORIA TECNICA DELLE TRAVI

1.1 Concetto di trave

Con trave si intende un elemento solido generato da una figura piana il cui baricentro si sposta lungo una linea spaziale detta linea d’asse. La figura generatrice deve mantenersi in ogni punto ortogonale alla linea d’asse, identificandosi, in tal modo, con la sezione trasversale della trave; inoltre, le sue dimensioni devono essere trascurabili rispetto alla lunghezza dello sviluppo della linea d’asse. La sezione trasversale può variare in forma e dimensioni lungo lo sviluppo della trave a patto che la variazione avvenga con continuità e “lentamente” (cioè con valori limitati delle derivate delle quantità geometriche che descrivono la sezione rispetto a una ascissa curvilinea fissata sulla linea d’asse). Nel seguito tratteremo travi piane, ovvero travi il cui asse è contenuto in un piano. Nell’ipotesi che anche i carichi e le reazioni vincolari siano contenute nello stesso piano, risultano diverse da zero solamente 3 componenti delle caratteristiche della sollecitazione (sarebbero 6 nello spazio). Le 3 componenti di interesse verranno indicate con i simboli N, T ed M, corrispondenti rispettivamente alla forza normale, alla forza di taglio ed al momento flettente. Inoltre in seguito tratteremo travi a curvatura semplice. Con questa definizione indicheremo travi il cui asse geometrico descrive una curva nel piano e che abbiano la dimensione della sezione (h), nel piano dell’asse geometrico, abbastanza piccola rispetto al raggio di curvatura (r) dell’asse geometrico. Su questa ipotesi si basa l’intera teoria delle travi a curvatura semplice, che ci permette di considerare un tratto infinitesimo di trave come prismatico. Le equazioni che troveremo saranno meglio approssimate quanto più piccolo sarà il rapporto ℎ/𝑟.

1.2 Equazioni differenziali di equilibrio

1.2.1 Travi ad asse rettilineo

Iniziamo studiando le equazioni di equilibrio per una trave ad asse rettilineo. Consideriamo un elemento infinitesimo di trave, le convenzioni sui segni sono quelle assunte nella seguente figura.

Figura 1.1-Forze agenti sul tratto di trave dz

Poiché il tratto dz è infinitesimo possiamo assumere che le caratteristiche della sollecitazione N1, T1, M1 corrispondano a quelle N, T, M incrementate ciascuna di un opportuno contributo infinitesimo, possiamo quindi scrivere: 𝑁1 = 𝑁 + 𝑑𝑁 𝑇1 = 𝑇 + 𝑑𝑇 𝑀1 = 𝑀 + 𝑑𝑀 (1.1) Imponendo adesso che l’elemento di trave sia in equilibrio possiamo ricavare le equazioni cercate.

-Equilibrio alla traslazione orizzontale:

𝑁1 − 𝑁 + 𝑞𝑡𝑑𝑧 = 0 𝑁 + 𝑑𝑁 − 𝑁 + 𝑞_𝑡𝑑𝑧 = 0

𝑑𝑁

𝑑𝑧

= −𝑞

𝑡

(1.2)

-Equilibrio alla traslazione verticale:

𝑇1 − 𝑇 + 𝑞𝑛𝑑𝑧 = 0 𝑇 + 𝑑𝑇 − 𝑇 + 𝑞_𝑛𝑑𝑧 = 0

𝑑𝑇

-Equilibrio alla rotazione attorno P1: 𝑀1 − 𝑀 − 𝑇 𝑑𝑧 + 𝑞_𝑛𝑑𝑧 2 2 − 𝑚 𝑑𝑧 = 0 𝑀 + 𝑑𝑀 − 𝑀 − 𝑇 𝑑𝑧 + 𝑞𝑛 𝑑𝑧2 2 − 𝑚 𝑑𝑧 = 0 Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

𝑑𝑀

𝑑𝑧

= 𝑇 + 𝑚

(1.4)

Combinando le equazioni (1.3) ed (1.4) possiamo scrivere un’ulteriore equazione: 𝑑𝑀 𝑑𝑧 = 𝑇 + 𝑚 → 𝑑2𝑀 𝑑𝑧2 = 𝑑𝑇 𝑑𝑧+ 𝑑𝑚 𝑑𝑧 = −𝑞𝑛

𝑑2𝑀 𝑑𝑧2

= −𝑞

𝑛

−

𝑑𝑚 𝑑𝑧

(1.5)

1.2.2 Travi a curvatura semplice

L’estensione delle equazioni differenziali di equilibrio alle travi a curvatura semplice non comporta l’introduzione di nuovi concetti.

Infatti, anche in questo caso, esse vengono determinate imponendo l’equilibrio di un elemento di trave infinitesimo, considerando però che l’elemento non sarà rettilineo ma presenterà una curvatura.

Consideriamo quindi un elemento di lunghezza ds sul quale agiscono carichi distribuiti per unità di lunghezza e scomponiamo tali carichi lungo le direzioni normale (n) e tangente (t) alla linea d’asse, consideriamo inoltre che sull’elemento agiscano coppie distribuite per unità di lunghezza.

Le convenzioni sui segni sono quelle adottate nella figura seguente:

Figura 1.2-Forze agenti sul tratto di trave ds

Anche in questo caso visto la lunghezza infinitesima dell’elemento ds possiamo considerare:

𝑁1 = 𝑁 + 𝑑𝑁 𝑇1 = 𝑇 + 𝑑𝑇 𝑀1 = 𝑀 + 𝑑𝑀 (1.6) Inoltre considerando che 𝑑𝜑 ≪ 1 possiamo assumere che:

𝑠𝑒𝑛 (𝑑𝜑 2) ≅ ( 𝑑𝜑 2 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑𝜑 2) ≅ 1 (1.7)

Imponendo l’equilibrio dell’elemento possiamo ricavare le equazioni cercate. -Equilibrio alla traslazione lungo t:

𝑁1 cos (𝑑𝜑 2 ) − 𝑇1 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑑𝜑 2 ) − 𝑇 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑑𝜑 2 ) − 𝑁 cos ( 𝑑𝜑 2 ) + 𝑞𝑡 𝑑𝑠 = 0 𝑁 cos (𝑑𝜑 2 ) + 𝑑𝑁 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑𝜑 2 ) − 𝑇 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑑𝜑 2 ) − 𝑑𝑇 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑑𝜑 2 ) + −𝑇 𝑠𝑒𝑛 (𝑑𝜑 2 ) − 𝑁 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑𝜑 2 ) + 𝑞𝑡𝑑𝑠 = 0

Tramite le equazioni (1.7) e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore: 𝑑𝑁 − 𝑇 𝑑𝜑 + 𝑞𝑡𝑑𝑠 = 0

Sfruttando la relazione 𝑑𝑠 = 𝑅𝑑𝜑 possiamo scrivere:

𝑑𝑁

𝑑𝑠

−

𝑇

𝑅

= −𝑞

𝑡

(1.8)

-Equilibrio alla traslazione lungo n: 𝑁1 𝑠𝑒𝑛 (𝑑𝜑 2 ) + 𝑇1 cos ( 𝑑𝜑 2 ) + 𝑁 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑑𝜑 2 ) − 𝑇 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑𝜑 2 ) + 𝑞𝑛 = 0 𝑁1 𝑠𝑒𝑛 (𝑑𝜑 2 ) + 𝑑𝑁 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑑𝜑 2 ) + 𝑇 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑𝜑 2 ) + 𝑑𝑇 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑𝜑 2 ) + +𝑁 𝑠𝑒𝑛 (𝑑𝜑 2 ) − 𝑇 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑑𝜑 2 ) + 𝑞𝑛𝑑𝑠 = 0

Analogamente a quanto visto nel caso della traslazione lungo t, otteniamo:

𝑑𝑇

𝑑𝑠

+

𝑁

𝑅

= −𝑞

𝑛 (1.9)

-Equazione alla rotazione attorno ad O: 𝑀 − 𝑀1 + 𝑇𝑑𝑠 2 + 𝑇1 𝑑𝑠 2 + 𝑚 𝑑𝑠 = 0 𝑀 − 𝑀 − 𝑑𝑀 + 𝑇𝑑𝑠 2 + 𝑇 𝑑𝑠 2 + 𝑑𝑇 𝑑𝑠 2 + 𝑚 𝑑𝑠 = 0 Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore:

𝑑𝑀

𝑑𝑠

= 𝑇 + 𝑚

(1.10)

Si osservi come le equazioni (1.8) e (1.9) si riducono, rispettivamente, alle equazioni (1.2) e (1.3) nel limite per 𝑅 → ∞.

1.3 Equazioni costitutive

Nel seguito vedremo come ottenere le equazioni che legano le sollecitazioni alle deformazioni.

Queste equazioni vengono introdotte sfruttando i risultati di alcuni principi fondamentali su cui si basa la Scienza delle Costruzioni, in particolare si farà riferimento alla Legge di Hooke e al principio di Saint-Venant.

L’intento è quello di introdurre le equazioni partendo da problemi “semplici” ed estenderle poi ai casi più generali.

1.3.1 Sforzo normale

Iniziamo lo studio di questo problema introducendo alcune ipotesi: - Trave rettilinea

- Mantenimento sezioni piane ed ortogonali alla linea d’asse - Sezione della trave costante

- Peso proprio della trave trascurabile

Il principio di Saint-Venant ci permette di affermare che:

𝜎

_𝑧

=

𝑁

𝐴

(1.11)

La legge di Hooke ci permette di affermare che:

𝜎𝑧 = 𝐸 𝜀𝑧 (1.12) Il termine E dell’equazione (1.12) rappresenta il modulo di elasticità normale del materiale o modulo di Young, esso dipende dalla rigidezza del materiale che stiamo considerando.

Il termine 𝜀𝑧 dell’equazione (1.12) rappresenta la dilatazione assiale, ovvero la variazione di lunghezza di un tratto unitario di trave.

Con riferimento alla figura 1.3 possiamo scrivere:

𝜀

_𝑧

=

∆𝑙

𝑙

(1.13)

Tramite le equazioni (1.11), (1.12) e (1.13) ricaviamo: ∆𝑙 = 𝜀_𝑧𝑙 =𝜎𝑧 𝐸 𝑙 = 𝑁 𝐸𝐴𝑙

𝜀

_𝑧

=

𝑁 𝐸𝐴

(1.14)

Le ipotesi introdotte all’inizio di questa trattazione rendono le equazioni viste applicabili ad un numero limitato di casi, vediamo nel seguito come estenderle a casi più generali; in particolare vediamo come bisogna comportarsi quando rimuoviamo l’ipotesi di sezione costante e di peso proprio della trave trascurabile.

È necessario considerare il peso proprio della trave quando esso non è trascurabile rispetto al carico esterno agente.

Inoltre è opportuno precisare che l’ipotesi di sezione variabile è lecita solo se questa varia lentamente e con continuità lungo la trave. Con riferimento alla figura 1.4 possiamo esprimere lo sforzo normale al variare dell’ascissa z nel seguente modo:

𝑁(𝑧) = −𝑃 − ∫ 𝑝(𝑧)𝑑𝑧_𝑧 (1.15) L’espressione (1.14) in questo caso non può essere estesa a tutta la lunghezza della trave; tuttavia possiamo considerarla valida per un elemento infinitesimo di trave dz

Considerando che lungo il tratto dz possiamo ritenere costante la sezione ed il valore dello sforzo normale agente, tramite la (1.14) è lecito scrivere:

𝑑𝑙 =

𝑁(𝑧)

𝐸𝐴(𝑧)

𝑑𝑧

(1.16)

Figura 1.5

Per estendere la precedente equazione a tutta la trave è necessario integrarla sull’intera lunghezza della linea d’asse:

∆𝑙 = ∫

_{𝑧 𝐸𝐴(𝑧)}𝑁(𝑧)

𝑑𝑧

(1.17) A questo punto rimane da estendere la trattazione precedente alle travi ad asse curvilineo.

Nel caso di travi a curvatura semplice possiamo assumere che rimanga valida l’equazione (1.17), in questo caso nell’integrale l’ascissa rettilinea z verrà sostituita da un’ascissa curvilinea s per cui possiamo scrivere:

∆𝑙 = ∫

𝑁(𝑠)

𝐸𝐴(𝑠)

𝑑𝑠

1.3.2 Flessione retta

Come nel caso dello sforzo normale iniziamo a studiare questo problema introducendo alcune ipotesi:

- Trave rettilinea

- Mantenimento sezioni piane ed ortogonali alla linea d’asse - Sezione della trave costante

- Peso proprio della trave trascurabile - Momento flettente costante lungo la trave

Figura 1.6

Consideriamo una trave sottoposta a momento costante, il suo asse si deformerà subendo un’inflessione e trasformandosi in una curva.

In questo caso particolare la curvatura dell’asse risulterà costante lungo l’intero sviluppo della trave per cui l’asse descriverà un arco di circonferenza di centro O.

Tutte le fibre longitudinali della trave conseguentemente si infletteranno seguendo curve parallele a quelle della linea d’asse, alcune di esse risulteranno tese mentre altre compresse.

Per questo motivo dovranno esistere alcune fibre che mantengono la loro lunghezza inalterata.

Queste fibre individuano quello che viene chiamato asse neutro ed è intorno ad esso che ruotano le sezioni della trave.

Consideriamo adesso un tratto di trave compreso tra due sezioni trasversali poste a distanza unitaria una dall’altra:

Figura 1.7

L’ipotesi di mantenimento delle sezioni piane ci permette di trovare un legame lineare tra le deformazioni di una fibra e la distanza di essa dall’asse neutro, infatti mediante una proporzione possiamo scrivere:

𝑅: 1 = (𝑅 + 𝑦): (1 + 𝜀_𝑧)

𝜀

_𝑧

=

𝑦

𝑅

(1.19)

Sfruttando la legge di Hooke e l’equazione appena scritta ricaviamo:

𝜎

_𝑧

= 𝐸

𝑦

𝑅

(1.20)

Anche in questo caso il termine E rappresenta il modulo di Young del materiale di cui è costituita la trave.

Imponendo l’equilibrio alla rotazione della sezione attorno all’asse neutro scriviamo: ∫ 𝜎_𝑧𝑦 𝑑𝐴 = 𝑀 𝐴 ∫ 𝜎_𝑧𝑦 𝑑𝐴 = ∫ 𝐸 𝑅 𝑦 2_{𝑑𝐴 =} 𝐸 𝑅∫ 𝑦 2_{𝑑𝐴 = 𝑀} 𝐴 𝐴 𝐴

Possiamo notare che il termine all’interno dell’integrale rappresenta il

momento di inerzia della sezione rispetto all’asse x, per cui:

1 𝑅 =

𝑀 𝐸 𝐽_𝑥

Chiamiamo curvatura la quantità di cui ruotano rispettivamente due sezioni poste a distanza unitaria, possiamo quindi scrivere:

𝜒 =

1

𝑅

=

𝑀

𝐸 𝐽_𝑥

(1.21)

Volendo trovare di quanto varia l’angolo di cui ruotano due sezioni trasversali poste a distanza l tra di loro otteniamo:

φ = 𝜒𝑙 =

𝑀

𝐸 𝐽_𝑥

𝑙

(1.22)

Le ipotesi introdotte all’inizio di questa trattazione rendono le equazioni viste applicabili ad un numero limitato di casi, vediamo nel seguito come estenderle a casi più generali; in particolare vediamo come bisogna comportarsi quando rimuoviamo l’ipotesi di sezione costante e di momento costante lungo l’asse della trave.

L’equazione (1.22) è stata scritta nelle ipotesi di momento e sezione costante, queste ipotesi rimangono vere se pensiamo ad un elemento di trave infinitesimo dz per cui possiamo scrivere:

𝑑φ = 𝑀(𝑧) 𝐸 𝐽𝑥(𝑧)

𝑑𝑧

Per estendere la precedente equazione a tutta la trave è necessario integrarla sull’intera lunghezza della linea d’asse.

Integrando la precedente equazione otteniamo:

φ = ∫

𝑀(𝑧)

𝐸 𝐽_𝑥(𝑧)

𝑑𝑧

𝑧

(1.23)

A questo punto rimane da estendere la trattazione allo studio delle travi ad asse curvilineo.

Per farlo possiamo pensare che la curvatura iniziale dell’asse della trave (𝜒0) sia dovuta all’azione di un momento fittizio (𝑀0) applicato ad una trave ad asse rettilineo.

Conseguentemente possiamo pensare che la curvatura finale sia data dalla somma di due contributi di cui il primo è dovuto al momento fittizio (𝑀0) mentre il secondo dall’effettivo momento (𝑀) agente sulla trave. Quindi possiamo esprimere la curvatura effettiva nel seguente modo:

𝜒 = 𝜒 ∗ −𝜒0 = 𝑀₀+ 𝑀 𝐸 𝐽𝑥 − 𝑀0 𝐸 𝐽𝑥 = 𝑀 𝐸 𝐽𝑥

Quindi nel caso di travi a curvatura semplice possiamo assumere che rimanga valida l’equazione (1.23), in questo caso nell’integrale l’ascissa rettilinea z verrà sostituita da un’ascissa curvilinea s per cui possiamo scrivere:

φ = ∫

_{𝐸 𝐽}𝑀(𝑠)

𝑥(𝑠)

𝑑𝑠

𝑠

(1.24)

Le equazioni (1.23) ed (1.24) possono essere estese anche al caso in cui il peso proprio della trave non sia trascurabile.

Esso infatti può essere considerato come un carico esterno distribuito lungo la linea d’asse della trave.

1.3.3 Taglio

Come nei due casi visti in precedenza iniziamo a studiare questo problema introducendo alcune ipotesi:

- Trave rettilinea

- Sezione della trave costante

- Peso proprio della trave trascurabile

Notiamo che a differenza di quanto fatto per sforzo normale e momento flettente in questo caso non possiamo adottare l’ipotesi di mantenimento delle sezioni piane.

Infatti il taglio fa sorgere tensioni tangenziali (𝜏) che generano degli

scorrimenti angolari (𝛾).

In accordo con la legge di Hooke il legame che sorge tra questi due parametri è lineare ed è legato dalla seguente relazione:

𝜏 = 𝐺 𝛾 (1.25) Il termine G dell’equazione (1.25) rappresenta il modulo di elasticità

tangenziale, questo parametro dipende dal tipo di materiale.

È possibile stabilire un legame tra il modulo di elasticità normale ed il modulo di elasticità tangenziale mediante la seguente equazione:

𝐺 =

𝐸

2 (1+𝜈)

(1.26)

con 𝜈 modulo di Poisson.

Come possiamo notare nella figura 1.8, le sezioni si deformano a forma di “S”, questo è dovuto alla non costanza delle 𝜏 all’interno della sezione. In particolare notiamo che nei punti di estremità della sezione l’angolo tra le fibre longitudinali e trasversali della trave si mantiene ortogonale, questo è diretta conseguenza del fatto che alle estremità le 𝜏 sono nulle e dunque devono essere nulli anche gli scorrimenti angolari.

Ai fini dello studio della deformazione della trave interessa lo scorrimento angolare medio (𝛾_𝑚) della sezione, ovvero l’angolo di cui devia

l’asse geometrico deformato (z’) rispetto alla posizione originaria (z).

Figura 1.8

Per ottenere tale parametro è necessario ricorrere al concetto di Lavoro. Infatti possiamo procedere eguagliando il lavoro esterno di

deformazione (𝐿𝑒) compiuto dal taglio sullo spostamento relativo (𝛾𝑚𝑑𝑧) al

lavoro interno di deformazione (𝐿𝑖_{) del tronco dz.} 𝐿𝑒 ₌1 2 𝑇 𝛾𝑚𝑑𝑧 𝐿𝑖 = 1 2𝐾 𝑇2 𝐺𝐴 𝑑𝑧

𝐿

𝑒

= 𝐿

𝑖

⟹ 𝛾

𝑚

= 𝐾

𝑇 𝐺𝐴

(1.27)

Il coefficiente K introdotto nelle precedenti equazioni viene chiamato fattore

di taglio, esso è un coefficiente adimensionale che dipende dalla forma della

sezione.

Lo spostamento trasversale relativo (𝑣_𝑡) tra due sezioni poste ad una certa distanza si trova integrando l’equazione (1.27) rispetto alla linea d’asse compresa tra le due sezioni:

𝑣𝑡= ∫ 𝛾𝑚𝑑𝑧 𝑧

𝑣

_𝑡

= ∫ 𝐾

_{𝑧 𝐺𝐴}𝑇

𝑑𝑧

(1.28) L’equazione (1.28) è stata trovata ragionando su un elemento infinitesimo, per questo motivo può essere estesa a travi di sezione variabile ed a travi a

curvatura semplice.

Per le travi a curvatura semplice l’ascissa z sarà sostituita con un’ascissa curvilinea s, in questo caso l’equazione (1.28) diventa:

𝑣

_𝑡

= ∫ 𝐾

𝑇

𝐺𝐴

𝑑𝑠

𝑠

(1.29)

Le equazioni (1.28) ed (1.29) possono essere estese anche al caso in cui il peso proprio della trave non sia trascurabile.

Esso infatti può essere considerato come un carico esterno distribuito lungo la linea d’asse della trave.

1.4 Equazioni linea elastica

Le equazioni differenziali della linea elastica si ottengono combinando le equazioni differenziali di equilibrio con le equazioni costitutive.

In seguito vediamo come ricavare queste equazioni prima per le travi ad asse rettilineo e poi per le travi a curvatura semplice.

1.4.1 Travi ad asse rettilineo

Prima di procedere è utile analizzare alcuni aspetti dell’equazione (1.21) trovata in precedenza.

Essa infatti come già detto è stata ricavata nel caso di momento flettente costante lungo lo sviluppo della trave, condizione che implica taglio nullo. Possiamo pensare che questa equazione rimanga valida anche nel caso in cui il taglio sia presente e si mantenga costante, questo perché un taglio costante implica uno scorrimento angolare (𝛾𝑚) costante che non ha nessuna influenza sulla curvatura.

Detto questo possiamo assumere con ottima approssimazione che l’equazione rimanga valida anche nel caso in cui il taglio sia variabile. Quest’ultima affermazione è legata alla snellezza della trave, infatti maggiore sarà la snellezza e migliore sarà l’approssimazione.

Travi che rispettano questa condizione vengono dette travi non

deformabili a taglio e per esse possiamo trovare una relazione diretta tra le

rotazioni di una sezione ed il suo spostamento verticale.

Se indichiamo con v lo spostamento di una sezione in direzione ortogonale alla linea d’asse, dalla geometria differenziale sappiamo che:

𝜒 =

1 𝑅

= ±

𝑑2𝑣 𝑑𝑧2 (1+(𝑑𝑣 𝑑𝑧) 2 ) 2 3

(1.30)

Il segno che assume questa equazione dipende dalla scelta del sistema di riferimento.

Nell’ambito della Scienza delle Costruzioni nel caso di una trave:

𝑑𝑣

𝑑𝑧

≪ 1

(1.31)

Conseguentemente tramite l’equazione (1.30) possiamo scrivere:

𝜒 ≅ ±

𝑑2𝑣

𝑑𝑧2

Con la scelta usuale degli assi di riferimento adottata nella Scienza delle Costruzioni (quindi con un asse coincidente con l’asse geometrico indeformato e orientato da sinistra verso destra e l’altro ortogonale all’asse geometrico indeformato ed orientato dall’alto verso il basso) possiamo scrivere l’equazione precedente in questo modo:

𝜒 ≅ −

𝑑2𝑣

𝑑𝑧2

(1.32)

Dalla combinazione delle equazioni (1.21) e (1.32) ricaviamo:

𝑑2𝑣

𝑑𝑧2

= −

𝑀

𝐸 𝐽_𝑥

(1.33)

Se introduciamo l’ipotesi di trave a sezione costante ed omogenea (EJ=cost) allora derivando l’equazione appena scritta otteniamo un’ulteriore equazione:

𝑑3𝑣 𝑑𝑧3

= −

1 𝐸 𝐽_𝑥 𝑑𝑀 𝑑𝑧

Tramite l’equazione (1.4) in assenza di coppie distribuite (𝑚 = 0) possiamo riscriverla nella seguente forma:

𝑑3𝑣

𝑑𝑧3

= −

𝑇

𝐸 𝐽_𝑥

(1.34)

Derivando quest’ultima equazione troviamo:

𝑑4𝑣 𝑑𝑧4

= −

1 𝐸 𝐽_𝑥 𝑑𝑇 𝑑𝑧

Tramite l’equazione (1.3) possiamo riscriverla nella seguente forma:

𝑑4𝑣

𝑑𝑧4

=

𝑞_𝑛

𝐸 𝐽_𝑥

(1.35)

Le espressioni (1.33), (1.34) e (1.35) rappresentano le equazioni della linea

Le equazioni trovate fino ad ora hanno validità nella maggior parte dei casi di interesse nell’ambito della scienza delle costruzioni, tuttavia vediamo di estendere la loro validità anche a casi in cui non sia lecita l’ipotesi di trascurabilità della deformazione a taglio.

Visto che stiamo affrontando problemi governati da equazioni lineari allora possiamo ritenere valido il principio di sovrapposizione degli effetti. Possiamo dunque utilizzare l’equazione (1.33) ricavata in assenza di deformazione a taglio e sovrapporre a questa l’effetto dovuto alla deformazione da taglio.

Vediamo come valutare questo contributo, per farlo consideriamo ancora valida l’ipotesi di trave a sezione costante ed omogenea (GA=cost). Ricordando l’equazione (1.27) possiamo scrivere:

𝛾

_𝑚

=

𝑑𝑣𝑡

𝑑𝑧

= 𝐾

𝑇 𝐺𝐴

Derivando la precedente equazione otteniamo: 𝑑𝑣_𝑡2 𝑑𝑧2 = 𝐾 𝐺𝐴 𝑑𝑇 𝑑𝑧

Tramite l’equazione (1.3) possiamo riscriverla nella seguente forma:

𝑑𝑣𝑡2

𝑑𝑧2

= −

𝐾

𝐺𝐴

𝑞

𝑛

(1.36)

A questo punto tramite il principio di sovrapposizione degli effetti sfruttando le equazioni (1.33) e (1.36) otteniamo:

𝑑2𝑣 𝑑𝑧2

= −

𝑀 𝐸 𝐽_𝑥

−

𝐾 𝐺𝐴

𝑞

𝑛

(1.37)

Rimane da analizzare il caso in cui anche la sezione della trave sia variabile, in questo caso possiamo scrivere:

𝑑2_𝑣 𝑑𝑧2 = 𝑑 𝑑𝑧(𝐾 𝑇 𝐺𝐴)

Anche in questo caso tramite il principio di sovrapposizione degli effetti otteniamo:

𝑑2𝑣 𝑑𝑧2

= −

𝑀 𝐸 𝐽_𝑥

+

𝑑 𝑑𝑧

(

𝐾 𝑇 𝐺𝐴

)

(1.38)

1.4.2 Travi a curvatura semplice

Figura 1.9

Per ricavare le equazioni nel caso di trave a curvatura semplice partiamo dall’analisi della figura 1.9, essa infatti ci permette di introdurre i legami geometrici necessari per ricavare le espressioni cercate.

Consideriamo un tratto infinitesimo dell’asse geometrico nella configurazione indeformata (𝑎𝑏) e lo stesso tratto nella configurazione deformata (𝑎′𝑏′).

Prendiamo il tratto 𝑎′𝑏′ e trasliamolo parallelamente a sé stesso fino a portare il punto 𝑎′ in 𝑎.

In questa configurazione il tratto 𝑏𝑏′ rappresenta lo spostamento relativo del punto 𝑏 rispetto al punto 𝑎.

Facciamo adesso l’ipotesi di trascurabilità delle deformazioni assiali dovute allo sforzo normale, con questa assunzione il tratto 𝑏𝑏′ risulta ortogonale al tratto 𝑑𝑠.

Inoltre se facciamo l’ipotesi di piccoli spostamenti possiamo assumere 𝜑 ≪ 1 , in questo caso vale la relazione: 𝑡𝑎𝑛𝜑 ≅ 𝜑

Sfruttando le ipotesi semplificative appena introdotte possiamo scrivere:

𝑡𝑎𝑛𝜑 ≅ 𝜑 =

𝑑𝑢

𝑑𝑠

(1.39)

Volendo scrivere anche relazioni per gli spostamenti orizzontali e verticali, sfruttando la similitudine dei due triangoli otteniamo:

𝑡𝑎𝑛𝜑 ≅ 𝜑 =

𝑑𝑣

𝑑𝑥

; 𝑡𝑎𝑛𝜑 ≅ 𝜑 =

𝑑𝑤

𝑑𝑦

(1.40)

Inoltre possiamo scrivere due ulteriori equazioni:

𝑑𝑠 cos 𝜃 = 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑠 sin 𝜃 = 𝑑𝑦 (1.41)

1.4.2.1 Spostamenti verticali

Figura 1.10

Consideriamo la proiezione 𝑎′′𝑏′′ del tratto ds sull’asse X.

Nell’ipotesi di trascurabilità della deformazione a taglio, richiamando l’equazione (1.22) ed applicandola al tratto infinitesimo ds otteniamo:

𝑑𝜑 = 𝜒 𝑑𝑠 = − 𝑀 𝐸 𝐽𝑥

𝑑𝑠 Derivando questa equazione rispetto a dx otteniamo:

𝑑𝜑 𝑑𝑥 = − 𝑀 𝐸 𝐽_𝑥 𝑑𝑠 𝑑𝑥

Tramite le relazioni (1.40) ed (1.41) possiamo ricavare la seguente equazione:

𝑑

2_𝑣

𝑑𝑥2

= −

𝑀

1.4.2.2 Spostamenti orizzontali

Consideriamo la proiezione 𝑎′′′𝑏′′′ del tratto ds sull’asse Y.

Nell’ipotesi di trascurabilità della deformazione a taglio, richiamando l’equazione (1.22) ed applicandola al tratto infinitesimo ds otteniamo:

𝑑𝜑 = 𝜒 𝑑𝑠 = − 𝑀 𝐸 𝐽_𝑥 𝑑𝑠

Derivando questa equazione rispetto a dy otteniamo: 𝑑𝜑 𝑑𝑦 = − 𝑀 𝐸 𝐽𝑥 𝑑𝑠 𝑑𝑦 Tramite le relazioni (1.40) ed (1.41) possiamo ricavare la seguente equazione:

𝑑 2_𝑤 𝑑𝑦2

= −

𝑀 𝐸 𝐽_𝑥sin 𝜃

(1.43)

Figura 1.11

Le espressioni (1.42) e (1.43) rappresentano le equazioni della linea elastica

per travi a curvatura semplice, ottenute nelle ipotesi di trascurabilità delle

deformazioni dovute allo sforzo normale ed al taglio.

Volendo tenere conto anche di queste deformazioni tramite il principio dei lavori virtuali possiamo ottenere le seguenti relazioni:

𝑑2𝑣 𝑑𝑥2

= −

𝑀 𝐸 𝐽_𝑥cos 𝜃

−

𝑑 𝑑𝑥

(

𝑁 tan 𝜃 𝐸𝐴

− 𝐾

𝑇 𝐺𝐴

)

(1.44)

𝑑2𝑤 𝑑𝑦2

= −

𝑀 𝐸 𝐽_𝑥sin 𝜃

+

𝑑 𝑑𝑦

(

𝑁 cot 𝜃 𝐸𝐴

+ 𝐾

𝑇 𝐺𝐴

)

(1.45)

1.5 Principio dei Lavori Virtuali

Il principio dei lavori virtuali è valido per tutti quei casi in cui è applicabile il principio di sovrapposizione degli effetti.

Inoltre è applicabile a corpi perfettamente o imperfettamente elastici, soggetti a cedimenti vincolari, variazioni termiche, difetti di montaggio e tensioni iniziali dovute a qualsiasi causa.

Quindi praticamente questa teoria si estende a tutti i casi della Scienza delle Costruzioni che si possono descrivere mediate equazioni lineari. Prima di enunciare il principio dei lavori virtuali è utile richiamare alcune definizioni utili all’applicazione di quest’ultimo:

-Sistema congruente: un sistema si dice congruente se il campo di spostamenti e deformazioni soddisfa le equazioni implicite di congruenza con le rispettive condizioni al bordo.

-Sistema equilibrato: un sistema si dice equilibrato se le forze esterne unitamente alle caratteristiche della sollecitazione soddisfano le equazioni indefinite di equilibrio e le relative condizioni al contorno.

-Lavoro virtuale esterno: lavoro che le forze esterne del sistema equilibrato compiono sugli spostamenti e sulle rotazioni del sistema congruente.

-Lavoro virtuale interno: lavoro che le caratteristiche della sollecitazione del sistema equilibrato compiono sulle deformazioni del sistema congruente.

1.5.1 Enunciato del Principio dei lavori virtuali

Enunciato: Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema materiale

qualsiasi sia in equilibrio è che la somma dei lavori di tutte le forze agenti su di esso sia nulla per qualunque insieme di spostamenti virtuali, piccolissimi e possibili.

Nel precedente enunciato quando si parla di spostamenti piccolissimi non si intende in senso assoluto ma basta che siano piccolissimi rispetto alle

dimensioni del sistema.

Questo è necessario e sufficiente a non alterare la posizione mutua delle forze in equilibrio.

Il principio dei lavori virtuali si fonda su tre condizioni distinte: -Equilibrio del sistema di forze

-Congruenza e compatibilità degli spostamenti -Annullarsi della somma dei lavori virtuali

Quando due di queste tre condizioni risultano soddisfatte allora conseguentemente lo deve essere anche la terza.

1.5.2 Applicazione del principio a travi a parete piena

Consideriamo due sistemi di cui uno equilibrato ed uno congruente.

Rappresentiamo le grandezze riferite al sistema equilibrato con il pedice 𝛼 mentre quelle riferite al sistema congruente con il pedice 𝛽.

Iniziamo valutando il Lavoro virtuale esterno (𝐿𝑒𝑣), introduciamo la seguente notazione:

-𝑃_𝛼: carichi esterni.

-𝛿_𝛽: spostamenti generalizzati (traslazioni e rotazioni) dei punti di applicazione dei carichi valutati nella direzione di azione del carico. -𝑅_𝛼: reazioni vincolari.

-𝜉𝛽: spostamenti generalizzati dei vincoli valutati nella direzione della reazione vincolare.

𝐿

𝑒_𝑣

= ∑ 𝑃

_𝛼

𝛿

_𝑏

+ ∑ 𝑅

_𝛼

𝜉

_𝛽

(1.46) Nel caso in cui il carico esterno sia distribuito il primo termine dell’equazione precedente diventa un integrale e la (1.46) diventa:

𝐿

𝑒_𝑣

= ∫ 𝑃

_𝑠 𝛼

𝛿

𝑏

𝑑𝑠 +

∑ 𝑅

𝛼

𝜉

𝛽

(1.47)

Valutiamo adesso il Lavoro virtuale interno(𝐿𝑖_𝑣), introduciamo la seguente notazione:

-𝑁𝛼; 𝑇𝛼; 𝑀𝛼: caratteristiche della sollecitazione.

-𝑑𝜀_𝛽: deformazione di un tratto ds dovuta allo sforzo normale. -𝑑𝑣_𝛽: deformazione di un tratto ds dovuta al taglio.

-𝑑𝜑𝛽: deformazione di un tratto ds dovuta al momento flettente.

𝐿

𝑖_𝑣

= −(∫ 𝑁

_𝑠 𝛼

𝑑𝜀

𝛽

+ ∫ 𝑇

_𝑠 𝛼

𝑑𝑣

𝛽

+ ∫ 𝑀

_𝑠 𝛼

𝑑𝜑

𝛽

)

(1.48)

Il segno meno della precedente equazione deriva dalla convenzione adottata per scriverla.

In questo caso infatti vengono considerate le deformazioni che fanno equilibrio alle forze e non quelle provocate da esse.

Conseguentemente forze e deformazioni hanno sempre segno opposto.

Richiamando le equazioni costitutive precedentemente scritte ed esplicitandole per il tratto ds in questione possiamo scrivere:

𝑑𝜀_𝛽 = 𝑁𝛽 𝐸𝐴 𝑑𝑠 ; 𝑑𝑣𝛽 = 𝑇_𝛽 𝐺𝐴 𝑑𝑠 ; 𝑑𝜑𝛽 = 𝑀_𝛽 𝐸 𝐽_𝑥 𝑑𝑠 Sostituendo queste espressioni nell’equazione (1.48) otteniamo: 𝐿𝑖_{𝑣 = −(∫ 𝑁} 𝛼 𝑁𝛽 𝐸𝐴𝑑𝑠 + ∫ 𝑇𝛼𝐾 𝑇𝛽 𝐺𝐴𝑑𝑠 + ∫ 𝑀𝛼 𝑀𝛽 𝐸 𝐽𝑥 𝑠 𝑑𝑠 𝑠 𝑠 ) (1.49)

Poiché quest’ultima equazione contiene le equazioni costitutive la sua validità sarà legata alle ipotesi introdotte precedentemente per queste equazioni.

1.5.3 Equazione dei lavori virtuali

Imponendo l’uguaglianza tra lavoro virtuale esterno ed interno otteniamo: ∑ 𝑃𝛼𝛿𝑏+ ∑ 𝑅𝛼𝜉𝛽= −(∫ 𝑁𝛼 𝑁𝛽 𝐸𝐴𝑑𝑠 + ∫ 𝑇𝛼𝐾 𝑇𝛽 𝐺𝐴𝑑𝑠 + ∫ 𝑀𝛼 𝑀𝛽 𝐸 𝐽𝑥 𝑠 𝑑𝑠 𝑠 𝑠 ) (1.50)

Nel caso di travi snelle risulta lecito trascurare la deformazione dovuta allo sforzo normale e di taglio.

1.6 Curva delle pressioni

Figura 1.12

Tra gli infiniti poligono funicolari che collegano le forze applicate, prende nome di curva delle pressioni quello che ha come primo e ultimo lato le reazioni delle imposte.

Il comportamento statico di un arco è legato alla curva delle pressioni, infatti più questa sarà vicina all’asse della trave e minore sarà il valore del momento flettente.

Se la curva delle pressioni è contenuta nella striscia definita dai punti di nocciolo in ogni sezione, allora l’arco sarà totalmente compresso.

Facendo riferimento ad una sezione S dell’arco possiamo fare le seguenti considerazioni:

Facendo riferimento alla figura 1.13 definiamo 𝜃′ l’angolo che la risultante R forma con l’orizzontale e 𝜃 l’angolo che la sezione S forma con un certo asse di riferimento verticale. Se la curva delle pressioni è molto prossima all’asse della trave allora è lecito confondere i due angoli Figura 1.13

per cui risulta: 𝜃 ≅ 𝜃′.

Con riferimento alla figura 1.14 è possibile trovare il valore del momento flettente di una sezione S mediante le seguenti formule:

𝑀 = 𝑁 𝑑𝑛 = 𝑇 𝑑𝑡 = 𝑅 𝑑 Lo sforzo normale e di taglio si determinano scomponendo la risultante lungo la normale Figura 1.14

e la tangente alla linea d’asse.

Nel caso in cui i carichi applicati all’arco siano esclusivamente verticali potrebbe essere comodo riferirsi alle componenti orizzontali e verticali della risultante.

In questa situazione infatti la componente orizzontale H rimarrebbe costante lungo l’intero sviluppo della trave ed il suo valore sarebbe uguale a quello delle reazioni vincolari orizzontali.

Con riferimento alla figura 1.15 è possibile trovare il valore del momento flettente di una sezione S mediante le seguenti formule:

𝑀 = 𝐻 𝑑_𝑣 = 𝑉𝑑₀

È utile notare che in questo caso la curva delle pressioni riferita all’asse dell’arco Figura 1.15 coincide con il diagramma del momento a meno del fattore H.

𝑀 = 𝐻 𝑑

_𝑣

⇒ 𝑑

_𝑣

=

𝑀

Capitolo 2

TRAVI A CURVATURA SEMPLICE

2.1 Deformazioni travi a curvatura semplice

Vediamo in seguito come è possibile ricavare equazioni che descrivono la deformazione della linea d’asse di una trave a curvatura semplice mediante considerazioni cinematiche.

Ricordando che stiamo operando in ambito lineare possiamo ritenere valido il principio di sovrapposizione degli effetti, per questo in seguito il problema dello sforzo normale, del taglio e del momento flettente verranno affrontati separatamente.

(a)

(b) (c)

Figura 2.1 - (a): Contributo momento flettente; (b): Contributo sforzo normale; (c): Contributo taglio

2.1.1 Contributo dello sforzo normale

Il primo problema che affrontiamo è quello dove consideriamo che agisca il solo sforzo normale.

Tramite l’equazione costitutiva (1.14) possiamo scrivere: 𝜀 = 𝑁

𝐸𝐴

Tramite questa equazione e con riferimento alla figura 2.1 (b) ricaviamo:

𝜀

_𝑥

=

𝑁

𝐸𝐴

cos 𝜃 ; 𝜀

𝑦

=

𝑁

𝐸𝐴

sin 𝜃

(2.1)

Il tratto ds per effetto dello sforzo normale subisce un allungamento che vale: 𝑑𝑢_(𝑁) = 𝜀 𝑑𝑠 = 𝑁

𝐸𝐴 𝑑𝑠

Adesso poiché ci interessano le componenti dello spostamento lungo la direzione X e la direzione Y possiamo scrivere:

𝑑𝑤

_(𝑁)

= 𝜀

_𝑥

𝑑𝑠 =

𝑁 𝐸𝐴

𝑑𝑠 cos 𝜃 ⇒ 𝑑𝑤

(𝑁)

=

𝑁 𝐸𝐴

𝑑𝑥

(2.2)

𝑑𝑣

_(𝑁)

= 𝜀

_𝑦

𝑑𝑠 =

𝑁 𝐸𝐴

𝑑𝑠 sin 𝜃 ⇒ 𝑑𝑣

(𝑁)

=

𝑁 𝐸𝐴

𝑑𝑦

(2.3)

2.1.2 Contributo del taglio

Il secondo problema che affrontiamo è quello dove consideriamo che agisca solamente il taglio.

Tramite l’equazione costitutiva (1.27) possiamo scrivere: 𝛾 = 𝐾 𝑇

𝐺𝐴

Tramite questa equazione e con riferimento alla figura 2.1 (c) ricaviamo:

𝛾

_𝑥

= 𝐾

𝑇

𝐺𝐴

sin 𝜃 ; 𝛾

𝑦

= 𝐾

𝑇

𝐺𝐴

cos 𝜃

(2.4)

Il tratto ds per effetto dello sforzo normale subisce una variazione he vale: 𝑑𝑢(𝑇)= 𝛾 𝑑𝑠 = 𝐾

𝑇 𝐺𝐴 𝑑𝑠

Adesso poiché ci interessano le componenti dello spostamento lungo la direzione X e la direzione Y possiamo scrivere:

𝑑𝑤_(𝑇) = 𝛾_𝑥 𝑑𝑠 = 𝐾 𝑇 𝐺𝐴 𝑑𝑠 sin 𝜃 ⇒ 𝑑𝑤(𝑇) = 𝐾 𝑇 𝐺𝐴 𝑑𝑦 (2.5) 𝑑𝑣_(𝑇) = −𝛾_𝑦 𝑑𝑠 = −𝐾 𝑇 𝐺𝐴 𝑑𝑠 cos 𝜃 ⇒ 𝑑𝑣(𝑇) = −𝐾 𝑇 𝐺𝐴 𝑑𝑥 (2.6)

2.1.3 Contributo del momento flettente

Il terzo ed ultimo problema che affrontiamo è quello dove agisce esclusivamente il momento flettente.

Tramite l’equazione costitutiva (1.22) riscritta per un elemento infinitesimo ds otteniamo:

𝑑𝜑 = 𝑀 𝐸 𝐽 𝑑𝑠

Questa quantità rappresenta la rotazione che subisce l’elemento infinitesimo

ds per l’effetto del momento flettente.

Come possiamo intuire dalla figura 2.1 (a) questa rotazione influenza anche la rotazione del punto A che subirà una variazione.

Il valore di questa variazione può essere espresso nel seguente modo:

𝑑𝜃

_𝐴

= −𝑑𝜑 = −

𝑀

𝐸 𝐽

𝑑𝑠

(2.7)

Sempre come conseguenza della rotazione che subisce l’elemento ds il punto

A si porterà in A’, questo spostamento avverrà in direzione ortogonale alla

congiungente tra ds ed A.

Il valore di questo spostamento possiamo esprimerlo nel seguente modo: 𝑑𝑢𝐴(𝑀) = 𝐿 𝑑𝜑

Adesso poiché ci interessano le componenti dello spostamento lungo la direzione X e la direzione Y possiamo scrivere:

𝑑𝑤_𝐴(𝑀) = 𝑑𝑢_𝐴(𝑀)sin 𝛼 = 𝑑𝑢_𝐴(𝑀) 𝑌𝐴− 𝑌 𝐿 𝑑𝑣_𝐴(𝑀) = −𝑑𝑢_𝐴(𝑀)cos 𝛼 = −𝑑𝑢_𝐴(𝑀) 𝑋𝐴− 𝑋

Dalle precedenti equazioni segue:

𝑑𝑤

_𝐴(𝑀)

=

𝑀

𝐸 𝐽

(𝑌

𝐴

− 𝑌) 𝑑𝑠

(2.8)

𝑑𝑣

_𝐴(𝑀)

= −

𝑀

𝐸 𝐽

(𝑋

𝐴

− 𝑋) 𝑑𝑠

(2.9)

2.1.4 Deformazioni effettive

A questo punto, dopo aver descritto l’effetto causato da ciascuna caratteristica della sollecitazione, possiamo utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti per trovare la soluzione completa del problema.

Quindi per trovare le equazioni che descrivono lo spostamento relativo tra due punti della linea d’asse della trave sarà necessario sommare i diversi contributi ed integrarli lungo il tratto di trave interessato.

Per lo spostamento relativo in direzione X, tra i punti A e B, tramite le equazioni (2.2), (2.5), e (2.8) possiamo scrivere:

𝑊

_𝐴𝐵

= ∫

𝑀 𝐸 𝐽 𝐵 𝐴

(𝑌

𝐴

− 𝑌) 𝑑𝑠 + ∫

𝑁 𝐸𝐴

𝑑𝑥 + ∫ 𝐾

𝑇 𝐺𝐴

𝑑𝑦

𝐵 𝐴 𝐵 𝐴

(2.10)

Per lo spostamento relativo in direzione Y, tra i punti A e B, tramite le equazioni (2.3), (2.6) e (2.9) possiamo scrivere:

𝑉

𝐴𝐵

= ∫

𝑀 𝐸 𝐽 𝐵 𝐴

(𝑋

𝐴

− 𝑋) 𝑑𝑠 + ∫

𝑁 𝐸𝐴

𝑑𝑦 + ∫ 𝐾

𝑇 𝐺𝐴

𝑑𝑥

𝐵 𝐴 𝐵 𝐴

(2.11)

Per la rotazione relativa tra i punti A e B, tramite la (2.7) possiamo scrivere:

𝜃

_𝐴𝐵

= − ∫

_𝐴𝐵_{𝐸 𝐽}𝑀

𝑑𝑠

(2.12)

Le equazioni (2.10), (2.11) e (2.12) tengono conto esclusivamente della deformazione elastica della curva compresa tra A e B e quindi forniscono

esclusivamente lo spostamento relativo tra due sezioni.

Quindi per ottenere lo spostamento assoluto tra due sezioni è necessario considerare anche atti di moto rigido.

Se ad esempio assumiamo che il punto B subisca uno spostamento orizzontale 𝑊_𝐵, uno spostamento verticale 𝑉_𝐵 ed una rotazione destrogira 𝜑_𝐵, possiamo scrivere le seguenti equazioni che descrivono lo spostamento assoluto del punto A:

𝑊_𝐴 = 𝑊_𝐴𝐵+ 𝑊_𝐵+ 𝜑_𝐵 (𝑌_𝐴− 𝑌_𝐵) (2.13) 𝑉𝐴 = 𝑉𝐴𝐵 + 𝑉𝐵− 𝜑𝐵(𝑋𝐴− 𝑋𝐵) (2.14) 𝜃_𝐴 = 𝜃_𝐴𝐵− 𝜑_𝐵 (2.15)

2.1.5 Applicazione: arco a due cerniere

Vediamo adesso come è possibile applicare ad un arco i concetti sopra introdotti.

Consideriamo un arco circolare, vincolato tramite due cerniere e sottoposto ad una serie di carichi verticali la cui risultante è la P illustrata nella figura seguente.

Figura 2.2

Possiamo subito notare che le reazioni vincolari verticali sono staticamente determinate mentre non lo sono quelle orizzontali.

Ricavarle imponendo due equazioni di equilibrio, una alla traslazione verticale ed una alla rotazione attorno al punto A:

{ 𝑉𝐴+ 𝑉𝐵= 𝑃 𝑉_𝐵𝑙 − 𝑃 𝑎 = 0 ⇒ { 𝑉_𝐴 =𝑃 𝑏 𝑙 𝑉_𝐵= 𝑃 𝑎 𝑙 (2.16)

Per ricavare le reazioni orizzontali il procedimento risulta più laborioso. Intanto possiamo notare che le reazioni vincolari orizzontali in A e B hanno verso opposto ma stesso valore assoluto, quindi basta determinarne una per risolvere il problema.

Vediamo nel seguito come determinare la spinta orizzontale 𝐻_𝐴, per quanto detto sopra sappiamo che risulterà 𝐻𝐵= −𝐻𝐴.

Procediamo eliminando il grado di vincolo orizzontale in A e sostituendolo con una spinta orizzontale H.

Poiché il grado di vincolo eliminato impedirebbe lo spostamento orizzontale di A, la spinta H applicata dovrà essere tale da provocare un accorciamento della corda dell’arco che abbia lo stesso modulo dell’allungamento che risulterebbe provocato dai carichi agenti, questo per fare in modo che la condizione di vincolo reale sia rispettata.

Con questa assunzione ed indicando con Nv, Tv e Mv le caratteristiche della sollecitazione dovute ai soli carichi e alle reazioni verticali, possiamo scrivere le caratteristiche della sollecitazione effettive nel seguente modo: 𝑁 = 𝑁𝑣− 𝐻 cos 𝜃 ; 𝑇 = 𝑇𝑣 − 𝐻 sin 𝜃 ; 𝑀 = 𝑀𝑣− 𝐻 𝑦 (2.17) A questo punto utilizzando l’equazione (2.10) ed imponendo che lo spostamento relativo tra i punti A e B sia nullo è possibile ricavare il valore della spinta H. 𝑊𝐴𝐵 = ∫ 𝑀 𝐸 𝐽𝑥 𝐵 𝐴 (𝑌 − 𝑌𝐴) 𝑑𝑠 + ∫ 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + ∫ 𝐾 𝑇 𝐺𝐴 𝑑𝑦 = 0 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴

Tramite le equazioni (2.17) è possibile riscrivere la precedente equazione nel modo seguente:

𝑊_𝐴𝐵 = ∫ 𝑀𝑣 𝐸 𝐽_𝑥 𝐵 𝐴 (𝑌 − 𝑌_𝐴) 𝑑𝑠 − ∫ 𝐻 𝐸 𝐽_𝑥 𝐵 𝐴 𝑌 (𝑌 − 𝑌_𝐴)𝑑𝑠 + ∫ 𝑁𝑣 𝐸𝐴 𝑑𝑥 + 𝐵 𝐴 − ∫ 𝐻 𝐸𝐴cos 𝜃 𝑑𝑥 + ∫ 𝐾 𝑇_𝑣 𝐺𝐴 𝑑𝑦 − ∫ 𝐾 𝐻 𝐺𝐴sin 𝜃 𝑑𝑦 = 0 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴

Mettendo l’origine del sistema di riferimento in A allora risulta 𝑌𝐴 = 0, quindi la precedente equazione diventa:

∫ 𝑀𝑣 𝐸 𝐽𝑥 𝐵 𝐴 𝑌𝑑𝑠 + ∫ 𝑁𝑣 𝐸𝐴𝑑𝑥 + ∫ 𝐾 𝑇𝑣 𝐺𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝑑𝑦 = = ∫ 𝐻 𝐸 𝐽_𝑥 𝐵 𝐴 𝑌2_{𝑑𝑠 + ∫} 𝐻 𝐸𝐴cos 𝜃𝑑𝑥 + ∫ 𝐾 𝐻 𝐺𝐴sin 𝜃𝑑𝑦 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 Poiché possiamo scrivere:

𝑑𝑥 = 𝑑𝑠 cos 𝜃 ; 𝑑𝑦 = 𝑑𝑠 sin 𝜃 (2.18) Sfruttando queste equazioni otteniamo:

∫ 𝑀𝑣 𝐸 𝐽_𝑥 𝐵 𝐴 𝑌𝑑𝑠 + ∫ 𝑁𝑣 𝐸𝐴cos 𝜃 𝑑𝑠 + ∫ 𝐾 𝑇_𝑣 𝐺𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 sin 𝜃 𝑑𝑠 = = ∫ 𝐻 𝐸 𝐽𝑥 𝐵 𝐴 𝑌2_{𝑑𝑠 + ∫} 𝐻 𝐸𝐴cos 2_{𝜃𝑑𝑠 + ∫ 𝐾} 𝐻 𝐺𝐴sin 2_𝜃𝑑𝑠 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 Ricavando H dalla precedente equazione:

𝐻 =

∫ 𝑀𝑣 𝐸 𝐽𝑥 𝐵 𝐴 𝑌𝑑𝑠+∫ 𝑁𝑣 𝐸𝐴cos 𝜃 𝑑𝑠+∫ 𝐾 𝑇𝑣 𝐺𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 sin 𝜃 𝑑𝑠 ∫ 1 𝐸 𝐽𝑥 𝐵 𝐴 𝑌2𝑑𝑠+∫ 1 𝐸𝐴cos2𝜃𝑑𝑠+∫ 𝐾 1 𝐺𝐴sin2𝜃𝑑𝑠 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴

(2.19)

L’espressione (2.19) permette di ricavare il valore di H tenendo conto delle deformazioni dovute a tutte le caratteristiche della sollecitazione presenti. Tuttavia se la curva delle pressioni risulta “abbastanza” prossima all’asse della trave è lecito trascurare la deformazione causata dal taglio. Inoltre come abbiamo visto quando abbiamo parlato della curva delle pressioni in questa situazione è lecito confondere l’angolo 𝜃 con l’angolo 𝜃′.

Utilizzando l’equazione (2.10) e trascurando l’effetto del taglio possiamo scrivere: 𝑊_𝐴𝐵 = ∫ 𝑀 𝐸 𝐽_𝑥 𝐵 𝐴 (𝑌 − 𝑌_𝐴) 𝑑𝑠 + ∫ 𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 = 0 𝐵 𝐴

Da questa equazione utilizzando prima le equazioni (2.17) e poi (2.18) otteniamo: 𝑊_𝐴𝐵 = ∫ 𝑀𝑣 𝐸 𝐽_𝑥 𝐵 𝐴 (𝑌 − 𝑌_𝐴)𝑑𝑠 − ∫ 𝐻 𝐸 𝐽_𝑥𝑌 (𝑌 − 𝑌𝐴)𝑑𝑠 + ∫ 𝑁 𝐸𝐴cos 𝜃𝑑𝑠 𝐵 𝐴 = 0 𝐵 𝐴

Se come fatto in precedenza assumiamo 𝑌_𝐴 = 0 e sfruttiamo la seguente relazione: 𝑁 = − 𝐻 cos 𝜃′ ≅ − 𝐻 cos 𝜃 Possiamo scrivere: 𝑊𝐴𝐵 = ∫ 𝑀_𝑣 𝐸 𝐽𝑥 𝐵 𝐴 (𝑌𝐴 − 𝑌)𝑑𝑠 − ∫ 𝐻 𝐸 𝐽𝑥 𝑌 (𝑌𝐴− 𝑌)𝑑𝑠 − ∫ 𝑁 𝐸𝐴cos 𝜃𝑑𝑠 𝐵 𝐴 = 0 𝐵 𝐴 𝑊_𝐴𝐵 = ∫ 𝑀𝑣 𝐸 𝐽𝑥 𝐵 𝐴 𝑌𝑑𝑠 − ∫ 𝐻 𝐸 𝐽𝑥 𝑌2_{𝑑𝑠 − ∫} 𝐻 𝐸𝐴 𝑑𝑠 𝐵 𝐴 = 0 𝐵 𝐴 Ricavando H dalla precedente equazione:

𝐻 =

∫ 𝑀𝑣 𝐸 𝐽𝑥 𝐵 𝐴 𝑌𝑑𝑠 ∫ 1 𝐸 𝐽𝑥 𝐵 𝐴 𝑌2𝑑𝑠+∫ 1 𝐸𝐴 𝑑𝑠 𝐵 𝐴

(2.20)

L’equazione (2.20) come già detto è valida nel caso in cui la curva delle pressioni sia prossima all’asse della trave.

Tuttavia possiamo pensare che rimanga valida anche nel caso in cui la curva delle pressioni si scosti di molto dall’asse della trave.

In questo caso infatti l’effetto preponderante diventa il momento flettente ed è lecito trascurare il taglio.

2.2 Archi circolari

2.2.1 Arco circolare di sezione costante

Il metodo che andremo ad esporre discende direttamente dalle equazioni differenziali di equilibrio e di elasticità di un tronco elementare dell’arco. Questo metodo a differenza di quelli precedentemente introdotti permette di calcolare immediatamente una qualunque sollecitazione o deformazione di una qualsiasi sezione, inoltre tiene conto di tutte le caratteristiche della sollecitazione.

In particolare permette di valutare separatamente il contributo dello sforzo normale e del momento flettente.

Conseguentemente, è facile valutarne l’importanza relativa e scegliere quando sia opportuno considerare lo sforzo normale e quando sia lecito tralasciarlo.

Questa trattazione tuttavia presenta dei limiti; essa, infatti, è applicabile esclusivamente sotto le seguenti ipotesi:

-Arco circolare

-Arco di sezione e momento di inerzia costanti -Arco simmetrico e simmetricamente caricato

Nel seguito assumeremo le convenzioni mostrate nella figura seguente con la precisazione che i versi indicati valgono per la metà di sinistra mentre per la metà di destra valgono i versi simmetrici.

Mediante le equazioni differenziali di equilibrio (1.8), (1.9) e (1.10), assumendo le convenzioni della figura 2.3 possiamo scrivere:

𝑁 +

𝑑𝑇 𝑑𝜃

= 𝑟 𝑞

𝑛

; 𝑇 −

𝑑𝑁 𝑑𝜃

= −𝑟 𝑞

𝑡

; 𝑟𝑇 = −

𝑑𝑀 𝑑𝜃

(2.21)

Per le equazioni costitutive (1.14) e (1.21), assumendo le convenzioni della figura 2.3 possiamo scrivere:

𝜀 = −

𝑁

𝐸𝐴

; 𝜒 =

𝑀

𝐸𝐽

(2.22)

Le componenti V e H possono essere espresse in funzione delle caratteristiche della sollecitazione nel seguente modo:

𝑉 = 𝑁 sin 𝜃 + 𝑇 cos 𝜃 ; 𝐻 = 𝑁 cos 𝜃 − 𝑇 sin 𝜃 (2.23) Gli spostamenti 𝜉 e 𝜂 sono legati ad 𝑢 e 𝑣 dalle seguenti relazioni:

𝜉 = 𝑤 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑣 sin 𝜃 ; 𝜂 = 𝑤 sin 𝜃 + 𝑣 cos 𝜃 (2.24) Per poter descrivere completamente il problema mancano ancora delle relazioni che legano le deformazioni agli spostamenti, queste relazioni possono essere ricavate da considerazioni di tipo geometrico.

Vediamo di ricavare queste equazioni ragionando sulle seguenti figure: -Equazione 1

Figura 2.4

tratto 𝑎𝑏 = 𝑑𝑠.

Consideriamo la sua variazione di lunghezza, essa è dovuta a due contributi di cui il primo legato all’incremento 𝑑𝑤 dello spostamento 𝑤 ed il secondo allo spostamento 𝑣.

Il primo contributo possiamo analizzarlo considerando che il tratto 𝑎𝑏 si sposta in 𝑎′𝑏′, la conseguente variazione di lunghezza possiamo scriverla nel seguente modo:

{𝜀 𝑑𝑠}′ _{= 𝑤 + 𝑑𝑤 − 𝑤 = 𝑑𝑤}

Il secondo contributo possiamo analizzarlo considerando che il tratto 𝑎𝑏 si sposta in 𝑎′′𝑏′′, la conseguente variazione di lunghezza, trascurando il termine dovuto alla variazione 𝑑𝑣 (infinitesimo di ordine superiore) possiamo scriverla nel seguente modo:

{𝜀 𝑑𝑠}′′ _{= (𝑟 − 𝑣) 𝑑𝜃 − 𝑟 𝑑𝜃 = −𝑣 𝑑𝜃}

Sommando questi due contributi otteniamo la variazione totale di lunghezza: 𝜀 𝑑𝑠 = {𝜀 𝑑𝑠}′+ {𝜀 𝑑𝑠}′′= 𝑑𝑤 − 𝑣 𝑑𝜃

Poiché 𝑑𝑠 = 𝑟 𝑑𝜃 la precedente equazione diventa:

𝜀 𝑟 =

𝑑𝑤

𝑑𝜃

− 𝑣

(2.25)

-Equazione 2

La seconda equazione si ricava ragionando sulla rotazione di una generica sezione, in questo caso consideriamo quella della sezione 𝑏.

La rotazione può essere pensata come la somma di due contributi di cui il primo dovuto allo spostamento 𝑤 ed il secondo dovuto all’incremento 𝑑𝑣 dello spostamento 𝑣.

Il primo contributo possiamo analizzarlo considerando che il punto 𝑏 si sposta in 𝑏′, con le convenzioni assunte, la conseguente variazione di angolo possiamo esprimerla come:

𝜑₁ = −𝑤 𝑟

Il secondo contributo possiamo analizzarlo considerando che il punto 𝑏 si sposta in 𝑏′′, con le convenzioni assunte, la conseguente variazione di angolo possiamo esprimerla come:

𝜑₂ = −𝑑𝑣 𝑑𝑠

Sommando questi due contributi otteniamo la variazione totale dell’angolo: 𝜑 = 𝜑1+ 𝜑2 = − 1 𝑟( 𝑑𝑣 𝑑𝜃− 𝑤)

𝜑𝑟 = −

𝑑𝑣 𝑑𝜃

− 𝑤

(2.26) -Equazione 3 Figura 2.6

La terza equazione si ricava ragionando sulla variazione dovuta all’incremento 𝑑𝜑 della sezione 𝑏 rispetto alla sezione 𝑎.

Possiamo scrivere: 𝑑𝑠 = 𝑟 𝑑𝜃 ⇒ 1 𝑟 = 𝑑𝜃 𝑑𝑠 𝑑𝑠 = 𝑟₁(𝑑𝜃 − 𝑑𝜑) ⇒ 1 𝑟₁ = 𝑑𝜃 − 𝑑𝜑 𝑑𝑠 Sfruttando queste equazioni possiamo scrivere:

1 𝑟₁− 1 𝑟 = 𝜒 = − 𝑑𝜑 𝑑𝑠 = − 1 𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃

Tramite questa equazione e sfruttando i risultati dell’equazione (2.26) possiamo scrivere:

𝜒𝑟

2

=

𝑑2𝑣 𝑑𝜃2

+

𝑑𝑤 𝑑𝜃

= −𝑟

𝑑𝜑 𝑑𝜃

(2.27)

A questo punto utilizzando le equazioni scritte in precedenza è possibile trovare i parametri desiderati, è utile ricordare che queste equazioni valgono solamente in casi particolari che rispettano le ipotesi introdotte all’inizio.

2.2.2 Deformata dell’asse negli archi circolari

La seguente trattazione è valida per travi ad asse circolare e di sezione costante o variabile.

Vedremo che in questo caso è possibile esprimere la deformata dell’asse della trave con un’equazione differenziale analoga a quella della linea elastica per una trave ad asse rettilineo.

Per farlo è necessario conoscere le espressioni di 𝑀 e di 𝐽𝑥 in tutti i punti della trave in funzione dell’angolo 𝜃 che il raggio forma con una direzione di riferimento.

Figura 2.6

Con riferimento alla figura 2.6 vediamo come ricavare l’equazione cercata tramite considerazioni geometriche.

Indichiamo con 𝑣 lo spostamento lungo la normale e con 𝑤 lo spostamento lungo la tangente.

Prima della deformazione la curvatura di un elemento infinitesimo 𝑎𝑏 possiamo esprimerla come:

𝜒0 = 1 𝑟 =

𝑑𝜃 𝑑𝑠

Dopo la deformazione il tratto 𝑎𝑏 si è spostato in 𝑎′𝑏′.

del tratto 𝑎𝑏 diventi quella del tratto 𝑎′𝑏′ che si trova all’interno dello stesso angolo 𝑑𝜃 (in realtà avremmo spostamento sia lungo 𝑣 che 𝑤).

Trascurando la piccolissima inclinazione dovuta all’incremento infinitesimo 𝑑𝑣 possiamo esprimere la lunghezza del tratto nella configurazione deformata nel seguente modo:

𝑑𝑠′ = (𝑟 − 𝑣) 𝑑𝜃

Nella configurazione deformata le tangenti nel punto 𝑎′ e nel punto 𝑏′ sono variate rispettivamente della quantità:

𝑑𝛼 =𝑑𝑣 𝑑𝑠 ; 𝑑𝛽 = 𝑑𝑣 𝑑𝑠+ 𝑑2_𝑣 𝑑𝑠2 𝑑𝑠

Conseguentemente nella configurazione deformata l’angolo tra le due sezioni possiamo scriverlo come:

𝑑𝜃′= 𝑑𝜃 + 𝑑𝛽 − 𝑑𝛼 = 𝑑𝜃 + 𝑑 2_𝑣 𝑑𝑠2 𝑑𝑠 La curvatura del tratto deformato risulta:

𝜒′= 1 𝑟′ = 𝑑𝜃′ 𝑑𝑠′ = 𝑑𝜃 +𝑑2𝑣 𝑑𝑠2 𝑑𝑠 (𝑟 − 𝑣) 𝑑𝜃 = 𝑑𝜃 +𝑑2𝑣 𝑑𝑠2 𝑑𝑠 (1 −𝑣_{𝑟) 𝑑𝜃}

Ricordando che il termine 𝑣/𝑟 è piccolissimo, sviluppando in serie di Taylor la precedente equazione e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore possiamo scrivere: 𝜒′ = 1 𝑟′= 1 𝑟(1 + 𝑣 𝑟) + 𝑑2𝑣 𝑑𝑠2

Pertanto la variazione di curvatura possiamo esprimerla come: 1 𝑟′− 1 𝑟= 𝑣 𝑟2+ 𝑑2_𝑣 𝑑𝑠2 Sfruttando il legame costitutivo possiamo scrivere:

𝑣 𝑟2

−

𝑑2𝑣 𝑑𝑠2

=

𝑀 𝐸𝐽_𝑥

(2.28)

Capitolo 3

APPLICAZIONE: ARCO INCASTRATO

3.1 Soluzione numerica di un arco circolare incastrato

In seguito ci proponiamo di risolvere, con l’ausilio del software MATLAB, il problema di una trave ad asse circolare, con sezione variabile ed incastrata alle basi.

3.1.1 Definizione del problema

Figura 3.1

La trave in oggetto presenta una linea d’asse di forma circolare le cui caratteristiche geometriche sono illustrate nella figura 3.1.

Sulla trave agiscono due carichi concentrati più il peso proprio, di entità non trascurabile, che verrà trattato come un carico distribuito.

La trave è realizzata in acciaio, la sezione presenta andamento debolmente e continuamente variabile lungo la linea d’asse.

I parametri della sezione sono descritti nella figura 3.2.

Figura 3.2

L’area ed il momento di inerzia della sezione possono essere espressi come: 𝐴(𝜃) = 𝑏ℎ(𝜃) − [(𝑏 − 2𝑡)(ℎ(𝜃) − 2𝑡)] (3.1)

𝐽

_𝑥

(𝜃) =

𝑏 ℎ3(𝜃)

12

−

(𝑏−2𝑡)[(ℎ(𝜃)−2𝑡)]3

12

(3.2)

Per l’acciaio possiamo assumere che il modulo di Young e la densità valgano: 𝐸 = 210 𝐺𝑃𝑎 ; 𝛿 = 7850𝑘𝑔

𝑚3

Con riferimento al problema sopra introdotto, quello che ci proponiamo di fare è studiare la risposta statica della trave sotto carichi verticali.

In particolare l’obiettivo è quello di individuare le sezioni maggiormente sollecitate per effettuare le opportune verifiche di resistenza.

3.1.2 Metodo di soluzione

Il problema che ci siamo proposti di affrontare è descritto da equazioni lineari, questo ci permette di sfruttare il principio di sovrapposizione degli effetti. Per risolvere il problema si è ritenuto opportuno utilizzare il Metodo

In particolare nel seguito viene utilizzata la notazione di 𝑀𝑢̈𝑙𝑙𝑒𝑟 𝐵𝑟𝑒𝑠𝑙𝑎𝑢 per cui assumiamo:

-𝜂_𝑖: Spostamento generalizzato del punto di applicazione dell’incognita iperstatica 𝑋𝑖 nella direzione dell’incognita iperstatica stessa, valutato nel sistema effettivo e preso positivo se concorde con il verso dell’incognita iperstatica stessa.

-𝜂_𝑖𝑗: Spostamento generalizzato del punto di applicazione dell’incognita iperstatica 𝑋_𝑖 nella direzione dell’incognita iperstatica stessa, valutato nel sistema 𝐹𝑗 e preso positivo se concorde con il verso dell’incognita iperstatica stessa.

Per comprendere meglio gli effetti prodotti dalle azioni applicate si è deciso di scomporre il problema effettivo in tre sotto problemi su cui agiscono separatamente le forze in gioco.

Nel seguito faremo riferimento ad un Problema 1 su cui agisce il carico concentrato 𝑄₁, ad un Problema 2 su cui agisce il carico concentrato 𝑄₂ ed un Problema 3 su cui agisce il peso proprio.

La soluzione del problema effettivo sarà determinata come somma dei contributi delle soluzioni dei tre problemi.