TEOREMA DI PITAGORA
TRIANGOLO RETTANGOLO a = cateto minore b= cateto maggiore c= ipotenusa TEOREMA DI PITAGORAIn un qualsiasi triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti
Traducendo in simboli matematici si ha:
c² = a² + b² c=
√
a2 +b2 a=√
c2 −b2 b=√
c2 −a2Questa formula per calcolare l'ipotenusa conoscendo i due cateti
Questa formula per calcolare il cateto minore conoscendo l'ipotenusa e il cateto maggiore
Questa formula per calcolare il cateto maggiore conoscendo l'ipotenusa e il cateto minore
TERNA PITAGORICA
Quando tre numeri formano una terna pitagorica?
Tre numeri a, b, c formano una terna pitagorica se a² + b²= c²
Esempi
I numeri 3, 4, 5 formano una terna pitagorica perché cioè
I numeri 5, 12, 13 formano una terna pitagorica perché cioè
Terne primitive e terne derivate
3, 4, 5 è una terna primitiva perché il MCD(3,4,5)=1
9, 12, 15 è una terna derivata da 3, 4, 5 perché il MCD (9, 12, 15)= 3
Metodi per trovare una terna pitagorica
Ogni terna di numeri che rappresenta i lati di un triangolo rettangolo è detta terna pitagorica.
3²+4²= 5² 9 + 16 = 25
5²+12²= 13² 25 + 144 = 169
Una terna è detta primitiva se il loro M.C.D. È 1
Una terna pitagorica è detta derivata se il loro M.C.D. È diverso da 1
Dato un numero qualsiasi n a= n b= (n² – 1) : 2 c= (n² + 1) : 2 n= 5 allora a= 5 b= (5² -1):2= 12 c= (5² +1):2= 13
Dati due numeri n, m con n<m a= (m²-n²) b= 2mn c= (m² + n²) n= 5 m=6 a= (6² - 5²)=11 b= 2x5x6= 60 c= (5² +6²)= 61
TEOREMA DI PITAGORA NEI POLIGONI
QUADRATO
La diagonale divide un quadrato in due triangoli rettangoli isosceli con gli angoli di 45°. La diagonale di un quadrato è sempre uguale al lato per la radice di due
Legenda Formule l lato Diretta Inversa d diagonale
Nota bene
deriva da deriva da
RETTANGOLO
La diagonale divide un rettangolo in due triangoli rettangoli aventi l'ipotenusa congruente alla diagonale e i cateti congruenti ai lati.
Legenda Formule b h d base altezza diagonale
Il teorema di Pitagora viene applicato al triangolo rettangolo e a tutti i poligoni in cui è possibile individuare un triangolo rettangolo
d =l
√
2 l=d2√
2 d =l√
2 d =√
l2+l2=√
2 l2=l√
2 l=d√
2 2 l=√
d2=√
d2 x√
√
22=d2√
2 d =√
b2 +h2 b=√
d2 −h2 h=√
d2 −b2d2=2
√
(
l)
2−(
d1 2)
2 d1=2√
(
l)
2−(
d2 2)
2 TRAPEZIOUn trapezio è equicomposto da un rettangolo e uno o due triangoli rettangoli.
Ciascun triangolo rettangolo ha l'ipotenusa uguale al lato obliquo e i cateti rispettivamente uguali all'altezza e alla proiezione del lato obliquo.
Legenda Formule
a, b h l1,l2
proiezione lato obliquo sulla base maggiore altezza
lato obliquo
ROMBO
Nel rombo il triangolo rettangolo ha l'ipotenusa congruente al lato e i cateti congruenti a metà diagonali
Legenda l lato
d1 diagonale minore d2 diagonale maggiore
Formule Per calcolare il lato
Per calcolare la diagonale minore Per calcolare la diagonale maggiore
l2=
√
b2+h2 b=√
l22−h2 h=√
l22−b2l=
√
a2 +h2h=l
2
√
3TRIANGOLO EQUILATERO
L'altezza di un triangolo equilatero è sempre uguale a metà lato per la radice di tre
Legenda Formule l lato Diretta Inversa h altezza
Nota bene
deriva da
deriva da
TRIANGOLO RETTANGOLO EMIQUILATERO
Il triangolo rettangolo avente gli angoli acuti di 30° e 90° è un triangolo particolare (squadra lunga) perché è congruente a metà triangolo equilatero (emiquilatero).
Un triangolo rettangolo con gli angoli di 30° e 60° ha sempre l'ipotenusa il doppio del cateto
minore e l'altezza uguale al cateto minore per radice di tre.
Legenda Formule c ipotenusa c = 2a a Cateto minore b Cateto maggiore h=l 2
√
3 l= 2 h√
3 3 d =√
l2 −(
l 2)
2 =√
l2 −l 2 4=√
3 4l 2 =l 2√
3 l=d√
2 2 l= 2 h√
3= 2 h√
3√
3 x√
2= 2h√
3 3 b=a√
3 a=b√
3 3TRIANGOLO RETTANGOLO EMIQUADRATO
Il triangolo rettangolo avente gli angoli acuti di 45° e i cateti congruenti è un triangolo particolare (squadra corta) perché è isoscele ed è congruente a metà quadrato(emiquidrato).
Un triangolo rettangolo con gli angoli di 45° ha l'ipotenusa uguale al cateto per radice di due.
Legenda Formule a, b cateti Diretta Inversa
c ipotenusa
Nota bene
deriva da deriva da
CIRCONFERENZA
Nella circonferenza un triangolo rettangolo viene individuato dal raggio (ipotenusa) dalla metà di una corda (cateto) e dalla distanza centro-corda (cateto).
Legenda Formule c corda d distanza corda-centro r raggio c=a
