Esercizi svolti sulle serie numeriche

(1)

Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficolt`a mag-giore.

Esercizio 1. Dopo aver verificato la convergenza, calcolare la somma delle seguenti serie: a) ∞ X n=1 n (n + 1)! [1] b) ∞ X n=1 1 n(n + 3) · 11 18 ¸ c) ∞ X n=1 2n + 1 n2_{(n + 1)}2 [1] d) ∞ X n=2 log µ 1 − 1 n2 ¶ [− log 2] e) ∞ X n=1 1 4n2_{− 1} · 1 2 ¸ f ) ∞ X n=1 µ 1 √ n− 1 √ n + 1 ¶ [1] g) ∞ X n=1 1 n(n + 1)(n + 2) · 1 4 ¸ Svolgimento a) La serie ∞ X n=1 n

(n + 1)! `e a termini positivi. Poich`e

n (n + 1)! = n (n + 1)n(n − 1)! = 1 (n + 1)(n − 1)! = o µ 1 n2 ¶ , n → +∞ 1

(2)

ed essendo convergente la serie

∞

X

n=1

1

n2, per il criterio del confronto asintotico la serie data converge.

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che

n (n + 1)! = n + 1 − 1 (n + 1)! = 1 n! − 1 (n + 1)!.

Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e

Sn = n X k=1 k (k + 1)! = n X k=1 µ 1 k!− 1 (k + 1)! ¶ = = 1 − 1 2!+ 1 2! − 1 3!+ · · · + 1 n! − 1 (n + 1)! = 1 − 1 (n + 1)!. Ne segue che la somma della serie `e

S = lim n Sn= limn µ 1 − 1 (n + 1)! ¶ = 1. Pertanto si ha ∞ X n=1 n (n + 1)! = 1. b) La serie ∞ X n=1 1

n(n + 3) `e a termini positivi. Poich`e

1

n(n + 3) ∼

1

n2, n → +∞

∞

X

n=1

1

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 1 n(n + 3)= A n + B n + 3 = (A + B)n + 3A n(n + 3) =⇒ ( A = 1₃ B = −1₃. Quindi 1 n(n + 3) = 1 3 µ 1 n− 1 n + 3 ¶ .

Ne segue che la serie data non è telescopica. Nonostante ciò è possibile calcolare la somma della serie. Si ha che la somma parziale n-esima della serie è

S_n = n X k=1 1 k(k + 3) = n X k=1 1 3 µ 1 k− 1 k + 3 ¶ = = 1 3 µ 1 −1 4+ 1 2 − 1 5 + 1 3 − 1 6+ 1 4 − 1 7 + · · · + 1 n− 1 n + 3 ¶ = = 1 3 µ 1 +1 2+ 1 3 − 1 n + 3 ¶ = 1 3 µ 11 6 − 1 n + 3 ¶ .

(3)

Ne segue che la somma della serie `e S = lim n Sn= limn 1 3 µ 11 6 − 1 n + 3 ¶ = 11 18. Pertanto si ha ∞ X n=1 1 n(n + 3) = 11 18. c) La serie ∞ X n=1 2n + 1

n2_{(n + 1)}2 `e a termini positivi. Poich`e 2n + 1

n2_{(n + 1)}2 ∼ 2

n3, n → +∞

∞

X

n=1

1

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 2n + 1 = (n + 1)2_{− n}2_{. Quindi} si ha che 2n + 1 n2_{(n + 1)}2 = (n + 1)2_{− n}2 n2_{(n + 1)}2 = 1 n2 − 1 (n + 1)2.

Sn = n X k=1 2k + 1 k2_{(k + 1)}2 = n X k=1 µ 1 k2 − 1 (k + 1)2 ¶ = = 1 −1 4 + 1 4 − 1 9 + · · · + 1 n2 − 1 (n + 1)2 =1 − 1 (n + 1)2. Ne segue che la somma della serie `e

S = lim n Sn= limn µ 1 − 1 (n + 1)2 ¶ = 1. Pertanto si ha ∞ X n=1 2n + 1 n2_{(n + 1)}2 = 1. d) La serie ∞ X n=2 log µ 1 − 1 n2 ¶

`e a termini negativi. Consideriamo la serie

∞ X n=2 · − log µ 1 − 1 n2 ¶¸ . `

E una serie a termini positivi. Poich`e log (1 + x) = x + o(x) per x → 0, si ha che

− log µ 1 − 1 n2 ¶ = 1 n2 + o µ 1 n2 ¶ ∼ 1 n2, n → +∞

(4)

∞

X

n=1

1

n2, per il criterio del confronto asintotico la serie ∞ X n=2 · − log µ 1 − 1 n2 ¶¸

converge. Quindi per l’algebra delle serie, la serie data converge.

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che

log µ 1 − 1 n2 ¶ = logn 2_{− 1} n2 = log (n + 1)(n − 1) n2 = log n + 1 n − log n n − 1.

S_n = n X k=2 log µ 1 − 1 k2 ¶ = n X k=2 µ logk + 1 k − log k k − 1 ¶ = = log3 2− log 2 + log 4 3− log 3 2 + · · · + log n + 1 n − log n n − 1 = = − log 2 + logn + 1 n .

Ne segue che la somma della serie `e

S = lim n Sn= limn µ − log 2 + logn + 1 n ¶ = − log 2. Pertanto si ha ∞ X n=2 log µ 1 − 1 n2 ¶ = − log 2. e) La serie ∞ X n=1 1

4n2_{− 1} `e a termini positivi. Poich`e 1

4n2_{− 1)} ∼ 1

4n2, n → +∞

∞

X

n=1

1

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 1 4n2_{− 1} = 1 (2n − 1)(2n + 1) = A 2n − 1 + B 2n + 1 = (2A + 2B)n + A − B 4n2_{− 1} =⇒ ( A = 1₂ B = −1 2. Quindi 1 4n2_{− 1}= 1 2 µ 1 2n − 1 − 1 2n + 1 ¶ .

(5)

Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e Sn = n X k=1 1 4k2_{− 1} = n X k=1 1 2 µ 1 2k − 1 − 1 2k + 1 ¶ = = 1 2 µ 1 −1 3 + 1 3− 1 5+ · · · + 1 2n − 1 − 1 2n + 1 ¶ =1 2 µ 1 − 1 2n + 1 ¶ .

S = lim n Sn= limn 1 2 µ 1 − 1 2n + 1 ¶ = 1 2. Pertanto si ha ∞ X n=1 1 4n2_{− 1} = 1 2. f ) La serie ∞ X n=1 µ 1 √ n − 1 √ n + 1 ¶

`e a termini positivi. Poich`e

1 √ n − 1 √ n + 1 = √ n + 1 −√n √ n√n + 1 = 1 √ n√n + 1³√n + 1 +√n´ ∼ 1 2n32 , n → +∞

∞

X

n=1

1

n32

, per il criterio del confronto asintotico la serie data converge.

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che la serie data `e telescopica. La somma parziale n-esima della serie `e

Sn = n X k=1 µ 1 √ k − 1 √ k + 1 ¶ = = 1 −√1 2 + 1 √ 2− 1 √ 3 + · · · + 1 √ n− 1 √ n + 1 =1 − 1 √ n + 1.

S = lim n Sn= limn µ 1 −√ 1 n + 1 ¶ = 1. Pertanto si ha ∞ X n=1 µ 1 √ n− 1 √ n + 1 ¶ = 1. g) La serie ∞ X n=1 1

n(n + 1)(n + 2) `e a termini positivi. Poich`e

1

n(n + 1)(n + 2) ∼

1

n3, n → +∞

∞

X

n=1

1

(6)

Calcoliamo la somma della serie. Osserviamo che 1 n(n + 1)(n + 2) = A n(n + 1)+ B (n + 1)(n + 2) = (A + B)n + 2A n(n + 1)(n + 2) =⇒ ( A = 1₂ B = −1 2. Quindi 1 n(n + 1)(n + 2) = 1 2 · 1 n(n + 1)− 1 (n + 1)(n + 2) ¸ .

Ne segue che la serie data `e telescopica. La somma parziale della serie `e

S_n = n X k=1 1 k(k + 1)(k + 2) = n X k=1 1 2 · 1 k(k + 1) − 1 (k + 1)(k + 2) ¸ = = 1 2 · 1 2 − 1 6+ 1 6 − 1 12 + · · · + 1 n(n + 1)− 1 (n + 1)(n + 2) ¸ = = 1 2 · 1 2 − 1 (n + 1)(n + 2) ¸ .

S = lim n Sn= limn 1 2 · 1 2− 1 (n + 1)(n + 2) ¸ = 1 4. Pertanto si ha ∞ X n=1 1 n(n + 1)(n + 2) = 1 4.

Esercizio 2. Determinare il carattere delle seguenti serie:

a) ∞

X

n=2

1

log (n + 1) [diverge positivamente]

b) ∞ X n=1 log n n4 [converge] c) ∞ X n=1 log n n32 [converge] d) ∞ X n=1 log µ n + 1 n2 ¶ [diverge negativamente] e) ∞ X n=1 arctan√1 n [diverge positivamente] f ) ∞ X n=2 √ n + 2 −√n − 2 n [converge]

(7)

g) ∞ X n=1 log√1 n [diverge negativamente] h) ∞ X n=2 log√1 n3 [diverge negativamente] k) ∞ X n=1 1

2log n [diverge positivamente]

i) ∞ X n=2 1 √

n log n3 [diverge positivamente]

j) ∞ X n=1 1 2log (n!) [converge] l) ∞ X n=1 32ncosn(nπ) [indeterminata] m) ∞ X n=1 3n2 (n!)n [converge] n) ∞ X n=1 n43 6n [converge] o) ∞ X n=1 1 ¡_4n 3n ¢ [converge] p) ∞ X n=1 2 ¡_3n+2 3n ¢ [converge] q) ∞ X n=2 1 n √

log n [diverge positivamente]

r) ∞ X n=0 µ 1 n + 2 ¶_n [converge] s) ∞ X n=1 sin (4n3₎ n(n + 1) [converge assolutamente] t) ∞ X n=1 1 5n µ n + 2 n ¶_n2 [diverge positivamente] u) ∞ X n=2 3n µ n − 2 n ¶_n2 [converge] v) ∞ X n=2 1

(8)

w) ∞ X n=1 nn (2n)! [converge] x) ∞ X n=1 n r 1 + 4 n3 [diverge positivamente] y) ∞ X n=1 nn+n1 ³ n + _n1´n [diverge positivamente] z) ∞ X n=1 µ 1 n − sin 1 n ¶ [converge] Svolgimento a) La serie ∞ X n=2 1

log (n + 1) `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positi-vamente).

Poich`e log (n + 1) = o(n + 1) per n → +∞, si ha che 1 n + 1 = o µ 1 log (n + 1) ¶ , n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=2 1

n + 1 divergente, per il criterio del confronto asintotico

anche la serie data `e divergente.

b) La serie

∞

X

n=1

log n

n4 `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-mente).

Poich`e log n = o(n) per n → +∞, si ha che log n n4 = o µ 1 n3 ¶ , n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 1

n3 convergente, per il criterio del confronto asintotico anche la serie data `e convergente.

c) La serie ∞ X n=1 log n n32

`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-mente). Poich`e log n = o³n13 ´ per n → +∞, si ha che log n n32 = o µ 1 n76 ¶ , n → +∞

(9)

ed essendo la serie ∞ X n=1 1 n76

convergente, per il criterio del confronto asintotico anche la serie data `e convergente.

d) La serie ∞ X n=1 log µ n + 1 n2 ¶

`e a termini negativi. Infatti, n+1

n2 < 1. Quindi o converge o diverge (negativamente). Osserviamo che lim n log µ n + 1 n2 ¶ = −∞.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data `e divergente.

e) La serie

∞

X

n=1

arctan√1

n `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge

(positi-vamente).

Poich`e arctan x = x + o(x) per x → 0, si ha che arctan√1 n = 1 √ n+ o µ 1 √ n ¶ ∼ 1 n12 , n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 1 n12

divergente, per il criterio del confronto asintotico anche la serie data `e divergente.

f ) La serie ∞ X n=2 √ n + 2 −√n − 2

n `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge

(positivamente). Si ha che √ n + 2 −√n − 2 n = 4 n³√n + 2 +√n − 2´ ∼ 2 n32 , n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 2 n32

convergente, per il criterio del confronto asintotico anche la serie data `e convergente.

g) La serie

∞

X

n=1

log√1

n `e a termini negativi. Infatti log

1

√

n = − log

√

n. Quindi o

converge o diverge (negativamente). Osserviamo che

lim

n log

√

n = +∞.

(10)

h) La serie

∞

X

n=2

log√1

n3 `e a termini negativi. Infatti log 1

√

n3 = − log √

n3_{. Quindi o} converge o diverge (negativamente).

Osserviamo che

lim

n log

√

n3 _{= +∞.}

k) La serie

∞

X

n=1

1

2log n `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-mente).

Osserviamo che

∀a, b > 0, alog b = blog a.

Infatti, poich`e se N > 0 si ha che N = elog N, allora se a, b > 0 si ha che

alog b= elog(alog b) = elog b log a= elog(blog a) = blog a.

Pertanto si ha che ∞ X n=1 1 2log n = ∞ X n=1 1 nlog 2. Poich`e log 2 < 1, ne segue che la serie data `e divergente.

i) La serie ∞ X n=2 1 √

n log n3 `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positi-vamente).

Poich`e log n = o (√n) per n → +∞, si ha che √

n log n3= 3√n log n = o(n), n → +∞.

Quindi si ha che 1 n = o µ 1 √ n log n3 ¶ , n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=2 1

n divergente, per il criterio del confronto asintotico anche

la serie data `e divergente.

j) La serie

∞

X

n=1

1

2log (n!) `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-mente).

(11)

Poich`e n! ≥ n2 _{per ogni n ≥ 4, si ha che per ogni n ≥ 4} 1 2log (n!) ≤ 1 2log (n2₎ = 1 22 log n = 1 4log n. Osserviamo che

∀a, b > 0, alog b = blog a.

Infatti, poich`e se N > 0 si ha che N = elog N_{, allora se a, b > 0 si ha che}

alog b= elog(alog b) = elog b log a= elog(blog a) = blog a.

Pertanto si ha che ∞ X n=1 1 4log n = ∞ X n=1 1 nlog 4.

Poich`e log 4 > 1, ne segue che questa serie converge e per il criterio del confronto la serie data `e convergente.

l) La serie

∞

X

n=1

32ncosn(nπ) `e a termini di segno alterno. Infatti, essendo cos (nπ) = (−1)n_{, si ha che} ∞ X n=1 32ncosn(nπ) = ∞ X n=1 (−1)n9n= ∞ X n=1 (−9)n.

Ne segue che la serie data `e una serie geometrica con ragione −9 < −1. Quindi `e indeterminata. m) La serie ∞ X n=1 3n2

(n!)n `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge

(positiva-mente). Si ha che lim n n s 3n2 (n!)n = lim_n 3n n! = 0 < 1.

Quindi per il criterio della radice la serie data converge.

n) La serie

∞

X

n=1

n43

6n `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente).

Si ha che lim n n s n43 6n = limn n √ n43 6 = 1 6 < 1. Quindi per il criterio della radice la serie data converge.

(12)

o) La serie ∞ X n=1 1 ¡_4n 3n

¢ `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente). Posto an= ¡_4n1 3n ¢ = (3n)! n! (4n)! , si ha che an+1 an = [3(n + 1)]! (n + 1)! [4(n + 1)]! · (4n)! (3n)! n! = (3n + 3)! (n + 1)! (4n + 4)! · (4n)! (3n)! n! = = (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) (3n)! (n + 1) n! (4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1) (4n)! · (4n)! (3n)! n! = = (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(n + 1) (4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1). Ne segue che lim n a_n+1 an = lim n (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(n + 1) (4n + 4)(4n + 3)(4n + 2)(4n + 1) = 27 256 < 1. Quindi per il criterio del rapporto la serie data converge.

p) La serie ∞ X n=1 2 ¡_3n+2 3n

¢ `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-mente). Si ha che 2 ¡_3n+2 3n ¢ = 4 (3n)! (3n + 2)! = 4 (3n)! (3n + 2)(3n + 1) (3n)! = 4 (3n + 2)(3n + 1). Poich`e 4 (3n + 2)(3n + 1) ∼ 4 9n2, n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 1

q) La serie ∞ X n=2 1 n √

log n `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-mente).

Poich`e √n_{log n ≤ log n, si ha che per ogni n ≥ 1}

1 n √ log n ≥ 1 log n

ed essendo (vedi Eserczio 2 a)) la serie

∞

X

n=2

1

log n divergente, per il criterio del confronto anche la serie data `e divergente.

(13)

r) La serie ∞ X n=0 µ 1 n + 2 ¶_n

`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positi-vamente). Si ha che lim n n sµ 1 n + 2 ¶_n = lim n 1 n + 2 = 0 < 1.

Quindi per il criterio della radice la serie data converge.

s) La serie

∞

X

n=1

sin (4n3)

n(n + 1) `e a termini di segno variabile.

Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, cio`e la convergenza della serie

∞

X

n=1

| sin (4n3_)|

n(n + 1) .

Essendo | sin (4n3_{)| ≤ 1, si ha che per ogni n ≥ 1}

| sin (4n3_)|

n(n + 1) ≤

1

n(n + 1).

Poich`e _n(n+1)1 ∼ _n12 per n → +∞ ed essendo convergente la serie

∞

X

n=1

1

n2, per il criterio del confronto asintotico anche la serie

∞

X

n=1

1

n(n + 1) converge. Quindi per il

criterio del confronto anche la serie

∞

X

n=1

| sin (4n3_)|

n(n + 1) converge. Ne segue che la serie

data converge assolutamente e di conseguenza converge.

t) La serie ∞ X n=1 1 5n µ n + 2 n ¶_n2

`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente). Si ha che lim n n s 1 5n µ n + 2 n ¶_n2 = lim n 1 5 µ n + 2 n ¶_n = lim n 1 5 µ 1 + 2 n ¶_n = e2 5 > 1. Quindi per il criterio della radice la serie data diverge.

u) La serie ∞ X n=2 3n µ n − 2 n ¶_n2

`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (po-sitivamente). Si ha che lim n n s 3n µ n − 2 n ¶_n2 = lim n 3 µ n − 2 n ¶_n = lim n 3 µ 1 − 2 n ¶_n = 3 e2 < 1. Quindi per il criterio della radice la serie data converge.

(14)

v) La serie

∞

X

n=2

1

(log n)log n `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positi-vamente).

Osserviamo che per ogni α ≥ 0 si ha che nα _{= o (log n)}log n_{, per n → +∞. Infatti,}

lim

n

nα

(log n)log n = limn

eα log n (log n)log n = posto t = log n, = lim t→+∞ eαt tt = lim_t→+∞ µ eα t ¶_t = lim t→+∞e

t logeα_t _{= lim} t→+∞e

t(α−log t)_{= 0.}

Ne segue che per ogni α ≥ 0 1 (log n)log n = o µ 1 nα ¶ , n → +∞.

Considerando α > 1, essendo la serie

∞

X

n=1

1

nα convergente, per il criterio del

con-fronto asintotico anche la serie data `e convergente.

w) La serie

∞

X

n=1

nn

(2n)! `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-mente). Posto an= n n (2n)!, si ha che an+1 an = (n + 1)(n+1) [2(n + 1)]! · (2n)! nn = (n + 1)n_{(n + 1)} (2n + 2)! · (2n)! nn = = (n + 1)n(n + 1) (2n + 2)(2n + 1) (2n)!· (2n)! nn = µ n + 1 n ¶_n · n + 1 (2n + 2)(2n + 1). Ne segue che lim n a_n+1 an = limn µ n + 1 n ¶_n · n + 1 (2n + 2)(2n + 1) = 0 < 1. Quindi per il criterio del rapporto la serie data converge.

x) La serie ∞ X n=1 n r 1 + 4

n3 `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positi-vamente). Osserviamo che lim n n r 1 + 4 n3 = +∞.

(15)

y) La serie ∞ X n=1 nn+_n1 ³

n +_n1´n `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge

(positi-vamente). Osserviamo che lim n nn+1n ³ n + 1_n´n = limn nn+n1 nn ³_{1 +} 1 n2 ´_n = lim n nn1 ³ 1 +_n12 ´_n = 1.

z) La serie ∞ X n=1 µ 1 n − sin 1 n ¶

`e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (posi-tivamente). Poich`e sin x = x −1 6x 3_{+ o(x}3_), _{x → 0,} si ha che 1 n− sin 1 n = 1 n− · 1 n − 1 6n3 + o µ 1 n3 ¶¸ = 1 6n3 + o µ 1 n3 ¶ ∼ 1 6n3, n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 1

Esercizio 3. Stabilire se convergono, convergono assolutamente o non convergono le seguenti serie: a) ∞ X n=2 (−1)n 1

log (n + 1) [converge ma non assolutamente]

b) ∞ X n=1 (−1)nlog n n4 [converge assolutamente] c) ∞ X n=1 (−1)nlog n n32 [converge assolutamente] d) ∞ X n=1 (−1)nlog µ n + 1 n2 ¶ [non converge] e) ∞ X n=1 (−1)narctan√1

(16)

f ) ∞ X n=1 (−1)nlog√1 n [non converge] g) ∞ X n=1 (−1)n n + 1

n2_{+ 1} [converge ma non assolutamente]

h) ∞ X n=1 cos (n + 1)π √

n + log n3 [converge ma non assolutamente]

k) ∞

X

n=1

(−1)n n

(2n + 1)2 [converge ma non assolutamente]

i) ∞

X

n=1

(−1)n 1

log (n + 1) − log n [non converge]

j) ∞

X

n=1

(−1)ntan1

n [converge ma non assolutamente]

l) ∞

X

n=1

3n2

(n!)ncos nπ [converge assolutamente]

m) ∞ X n=1 (−1)nn 43 6n [converge asssolutamente] n) ∞ X n=1 (−1)n ¡_3n+2 3n ¢ [converge asssolutamente] o) ∞ X n=1 n23 (−2)n [converge asssolutamente] p) ∞ X n=1 h

2 arctan (n + 1) − πicos [(n + 1)π] [converge ma non assolutamente]

q) ∞ X n=1 sin Ã n2_{+ n + 1} n + 1 π !

[converge ma non assolutamente]

r) ∞

X

n=1

cos (nπ)log n

n + 1 [converge ma non assolutamente]

*s)

∞

X

n=2

(−1)n

n + (−1)n [converge ma non assolutamente]

*t) ∞ X n=1 (−1)n µ 1 n + (−1)n n2 ¶

[converge ma non assolutamente]

*u) ∞ X n=1 (−1)n µ 1 √ n+ (−1)n n ¶ [non converge]

(17)

*v) ∞ X n=1 (−1)nbn, bn= ( ₁ n2 se n `e pari, 1 n se n `e dispari [non converge] Svolgimento a) La serie ∞ X n=2 (−1)n 1

log (n + 1) `e a termini di segno alterno.

∞

X

n=2

1

log (n + 1). Per l’Esercizio 2 a) questa serie diverge. Quindi la serie data non converge assolutamente.

Studiamo ora la convergenza. Posto b_n= 1

log (n+1), si ha che: 1) lim

n bn= limn

1

log (n + 1) = 0;

2) la successione (bn) `e decrescente. Infatti,

log (n + 1) < log (n + 2) =⇒ bn+1= _{log (n + 2)}1 < _{log (n + 1)}1 = bn.

Quindi per il criterio di Leibiniz la serie data converge.

b) La serie

∞

X

n=1

(−1)nlog n

n4 `e a termini di segno alterno.

∞

X

n=1

log n

n4 . Per l’Esercizio 2 b) questa serie converge. Quindi la serie data con-verge assolutamente e di conseguenza concon-verge.

c) La serie ∞ X n=1 (−1)nlog n n32

`e a termini di segno alterno.

∞

X

n=1

log n

n32

. Per l’Esercizio 2 c) questa serie converge. Quindi la serie data con-verge assolutamente e di conseguenza concon-verge.

d) La serie ∞ X n=1 (−1)nlog µ n + 1 n2 ¶

∞ X n=1 · − log µ n + 1 n2 ¶¸ = − ∞ X n=1 log µ n + 1 n2 ¶

. Per l’Esercizio 2 d) questa serie diverge. Quindi la serie data non converge assolutamente.

Studiamo ora la convergenza. Osserviamo che lim n (−1) n_log µ n + 1 n2 ¶ 6 ∃.

(18)

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data non converge.

e) La serie

∞

X

n=1

(−1)narctan√1

n `e a termini di segno alterno.

∞

X

n=1

arctan√1

n. Per l’Esercizio 2 e) questa serie diverge. Quindi la serie data

non converge assolutamente.

Studiamo ora la convergenza. Posto b_n= arctan_√1

n, si ha che: 1) lim n bn= limn arctan 1 √ n = 0;

2) la successione (bn) `e decrescente. Infatti

1 √ n + 1 < 1 √ n =⇒ bn+1= arctan 1 √ n + 1 < arctan 1 √ n = bn.

f ) La serie

∞

X

n=1

(−1)nlog√1

∞ X n=1 µ − log√1 n ¶ = − ∞ X n=1 log√1

n. Per l’Esercizio 2 g) questa serie diverge. Quindi

la serie data non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Osserviamo che

lim

n (−1)

n_log_√1

n 6 ∃.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che la serie data non converge.

g) La serie

∞

X

n=1

(−1)n n + 1

n2_{+ 1} `e a termini di segno alterno.

∞

X

n=1

n + 1

n2_{+ 1}. `E una serie a termini positivi. Poich`e

n + 1 n2_{+ 1} ∼ 1 n, n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 1

la serie

∞

X

n=1

n + 1

n2_{+ 1} diverge. Quindi la serie data non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Posto bn= _nn+12₊₁, si ha che:

(19)

1) lim

n bn= limn

n + 1 n2_{+ 1} = 0;

2) la successione (bn) `e decrescente. Infatti, se consideriamo la funzione f

asso-ciata alla successione (b_n), f (x) = x+1

x2₊₁ ristretta all’intervallo [1, +∞), si ha

che f `e derivabile con

f0(x) = −x2− 2x + 1 (x2_{+ 1)}2 .

Poich`e per ogni x ∈ [1, +∞) si ha f0_{(x) < 0, allora f `e decrescente su [1, +∞).}

Ne segue che la successione (bn) `e decrescente.

h) La serie ∞ X n=1 cos (n + 1)π √

n + log n3 `e a termini di segno alterno. Infatti, essendo cos (n + 1)π = (−1)n+1_{, la serie `e} X∞

n=1

(−1)n+1

√

n + log n3.

∞

X

n=1

1

√

n + log n3. E una serie a termini positivi. Poich`e log n` 3 = o (

√ n) per n → +∞, si ha che 1 √ n + log n3 = 1 √ n + o (√n) ∼ 1 √ n, n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 1 √

la serie ∞ X n=1 1 √

n + log n3 diverge. Quindi la serie data non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Posto bn= √_{n+log n}1 3 = √_{n+3 log n}1 , si ha che:

1) lim

n bn= limn

1

√

n + 3 log n = 0;

√ n+3 log n <√n + 1+3 log (n + 1) implica b_n+1= √ 1 n + 1 + 3 log (n + 1) < 1 √ n + 3 log n = bn.

k) La serie

∞

X

n=1

(−1)n n

(2n + 1)2 `e a termini di segno alterno.

∞

X

n=1

n

(2n + 1)2. `E una serie a termini positivi. Poich`e

n

(2n + 1)2 ∼ 1

(20)

ed essendo la serie

∞

X

n=1

1

4n divergente, per il criterio del confronto asintotico anche la serie

∞

X

n=1

n

(2n + 1)2 diverge. Quindi la serie data non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Posto bn= _(2n+1)n 2, si ha che:

1) lim

n bn= limn

n

(2n + 1)2 = 0;

asso-ciata alla successione (b_n), f (x) = x

(2x+1)2 ristretta all’intervallo [1, +∞), si

ha che f `e derivabile con

f0(x) = 1 − 2x (2x + 1)3.

Poich`e per ogni x ∈ [1, +∞) si ha f0_{(x) < 0, allora f `e decrescente su [1, +∞).}

Ne segue che la successione (bn) `e decrescente.

i) La serie

∞

X

n=1

(−1)n 1

log (n + 1) − log n `e a termini di segno alterno.

∞ X n=1 1 log (n + 1) − log n = ∞ X n=1 1

logn+1_n . Osserviamo che lim n 1 logn+1 n = +∞.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che questa serie diverge. Quindi la serie data non converge assolu-tamente.

Studiamo ora la convergenza. Per quanto appena osservato, anche la serie di partenza non verifica la condizione necessaria per la convergenza della serie. Infatti,

lim

n (−1)

n 1

logn+1_n 6 ∃. Ne segue che la serie data non converge.

j) La serie

∞

X

n=1

(−1)ntan1

∞

X

n=1

tan1

n. `E una serie a termini positivi. Poich`e tan x = x + o(x) per x → 0,

si ha che tan1 n = 1 n+ o µ 1 n ¶ ∼ 1 n, n → +∞

(21)

ed essendo la serie

∞

X

n=1

1

la serie

∞

X

n=1

tan1

n diverge. Quindi la serie data non converge assolutamente.

Studiamo ora la convergenza. Posto bn= tan1_n, si ha che:

1) lim

n bn= limn tan

1

n = 0;

2) la successione (b_n) `e decrescente. Infatti, essendo 0 < 1

n < π2 per ogni n ≥ 1, si ha che n < n + 1 =⇒ tan 1 n + 1 < tan 1 n.

l) La serie

∞

X

n=1

3n2

(n!)ncos nπ `e a termini di segno alterno. Infatti, essendo cos nπ =

(−1)n_{, la serie `e} X∞ n=1

(−1)n 3n

2

(n!)n.

∞

X

n=1

3n2

(n!)n. Per l’Esercizio 2 m) questa serie converge. Quindi la serie data converge

assolutamente e di conseguenza converge.

m) La serie ∞ X n=1 (−1)nn 43

6n `e a termini di segno alterno.

∞

X

n=1

n43

6n. Per l’Esercizio 2 n) questa serie converge. Quindi la serie data converge

assolutamente e di conseguenza converge.

n) La serie ∞ X n=1 (−1)n ¡_3n+2 3n

¢ `e a termini di segno alterno.

∞ X n=1 1 ¡_3n+2 3n

¢. Per l’Esercizio 2 p) questa serie converge. Quindi la serie data converge assolutamente e di conseguenza converge.

o) La serie

∞

X

n=1

n23

(−2)n `e a termini di segno alterno. Infatti, si pu`o scrivere come ∞

X

n=1

(−1)nn23 2n .

∞

X

n=1

n23

(22)

`

E una serie a termini positivi. Si ha che

lim n n s n23 2n = limn n √ n23 2 = 1 2 < 1.

Quindi per il criterio della radice la serie

∞

X

n=1

n23

2n converge. Ne segue che la serie

data converge assolutamente e di conseguenza converge.

p) La serie

∞

X

n=1

h

2 arctan (n + 1) − πicos [(n + 1)π] `e a termini di segno alterno. In-fatti, essendo cos (n + 1)π = (−1)n+1_{, la serie `e}

∞ X n=1 (−1)n+1h2 arctan (n + 1) − πi= ∞ X n=1 (−1)nhπ − 2 arctan (n + 1)i.

∞ X n=1 h π − 2 arctan (n + 1)i. Si ha che arctan (n + 1) = π 2 − arctan 1 n + 1.

Poich`e arctan x = x + o(x) per x → 0, ne segue che

π −2 arctan (n + 1) = 2 arctan 1 n + 1 = 2 n + 1+o µ 1 n + 1 ¶ ∼ 2 n + 1, n → +∞. Essendo la serie ∞ X n=1 1

n + 1 divergente, per il criterio del confronto asintotico anche

la serie

∞

X

n=1

h

π − 2 arctan (n + 1)i `e divergente. Quindi la serie data non converge assolutamente.

Studiamo ora la convergenza. Posto bn = π − 2 arctan (n + 1) = 2 arctan_n+11 , si

ha che: 1) lim

n bn= limn 2 arctan

1

n + 1 = 0;

n < n + 1 =⇒ b_n+1= 2 arctan 1

n + 2 < 2 arctan

1

n + 1 = bn.

q) La serie ∞ X n=1 sin Ã n2_{+ n + 1} n + 1 π !

`e a termini di segno alterno. Infatti,

sin Ã n2_{+ n + 1} n + 1 π ! = sin µ nπ + π n + 1 ¶ = cos (nπ) sin µ π n + 1 ¶ = (−1)nsin π n + 1.

(23)

Quindi la serie `e ∞ X n=1 (−1)nsin π n + 1.

∞

X

n=1

sin π

n + 1. `E una serie a termini positivi. Poich`e sin x = x + o(x) per x → 0, si

ha che sin π n + 1 = π n + 1 + o µ 1 n + 1 ¶ ∼ π n + 1, n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 π

an-che la serie

∞

X

n=1

sin π

n + 1 diverge. Quindi la serie data non converge assolutamente.

Studiamo ora la convergenza. Posto bn= sin_n+1π , si ha che:

1) lim

n bn= limn sin

π

n + 1 = 0;

2) la successione (b_n) `e decrescente. Infatti, essendo 0 < π

n+1 ≤ π2 per ogni n ≥ 1, si ha che n < n + 1 =⇒ sin π n + 2 < sin π n + 1.

r) La serie

∞

X

n=1

cos (nπ)log n

n + 1 `e a termini di segno alterno. Infatti, essendo cos (nπ) =

(−1)n_{, la serie `e} X∞ n=1

(−1)nlog n

n + 1.

∞

X

n=1

log n

n + 1. `E una serie a termini positivi. Poich`e

1 n + 1 = o µ log n n + 1 ¶ , n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 1

anche la serie

∞

X

n=1

log n

n + 1 diverge. Quindi la serie data non converge assolutamente.

Studiamo ora la convergenza. Posto b_n= log n_n+1, si ha che:

1) lim

n bn= limn

log n

(24)

asso-ciata alla successione (bn), f (x) = log x_x+1 ristretta all’intervallo [1, +∞), si ha

che f `e derivabile con

f0(x) = x+1 x − log x (x + 1)2 . Poich`e lim x→+∞ µ x + 1 x − log x ¶ = −∞,

esiste N ∈Ntale che per ogni x ≥ N si ha f0_{(x) < 0. Quindi f `e decrescente}

su [N, +∞). Ne segue che la successione (bn) `e decrescente per ogni n ≥ N .

*s) La serie

∞

X

n=2

(−1)n

n + (−1)n `e a termini di segno alterno.

∞ X n=2 1 n + (−1)n. Si ha che 1 n + (−1)n ∼ 1 n, n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=2 1

la serie

∞

X

n=2

1

n + (−1)n diverge. Quindi la serie data non converge assolutamente.

Studiamo ora la convergenza. Posto bn= _n+(−1)1 n, si ha che:

1) lim

n bn= limn

1

n + (−1)n = 0;

2) la successione (b_n) non `e decrescente. Infatti,

b2n+1 = _{2n + 1 + (−1)}1 _2n+1 = _2n1 > _{2n + 1}1 = _{2n + (−1)}1 _2n = b2n.

Quindi non si pu`o applicare il criterio di Leibiniz. Per stabilire se la serie data converge, osserviamo che

(−1)n n + (−1)n = (−1)n 1 n + (−1)n = (−1)n 1 n + (−1)n n − (−1)n n − (−1)n = = (−1)nn − (−1)n n2_{− 1} = (−1)n n n2_{− 1}− 1 n2_{− 1}. Allora la serie data diventa

∞ X n=2 (−1)n n + (−1)n = ∞ X n=2 µ (−1)n n n2_{− 1}− 1 n2_{− 1} ¶ .

(25)

La serie

∞

X

n=2

(−1)n n

n2_{− 1} `e convergente. Infatti, `e una serie a termini di segno alterno che non converge assolutamente, essendo n

n2₋₁ ∼ _n1 per n → +∞, ma

converge per il criterio di Leibiniz, essendo n

n2₋₁ → 0 per n → +∞ e la successione an= _n2n₋₁ decrescente (si osservi che la funzione associata f (x) = _x2x₋₁ ha derivata f0_{(x) = −} x2₊₁ (x2₋₁₎2 < 0 su [2, +∞)). Inoltre la serie ∞ X n=2 1 n2_{− 1} `e convergente, essendo 1

n2₋₁ ∼ _n12 per n → +∞. Poich`e il termine generale della serie data `e

differenza del termine generale di due serie convergenti, per l’algebra delle serie ne segue che la serie data converge e possiamo scrivere

∞ X n=2 (−1)n n + (−1)n = ∞ X n=2 (−1)n n n2_{− 1}− ∞ X n=2 1 n2_{− 1}. *t) La serie ∞ X n=1 (−1)n µ 1 n+ (−1)n n2 ¶

∞ X n=1 µ 1 n + (−1)n n2 ¶ . Si ha che 1 n + (−1)n n2 ∼ 1 n, n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 1

n divergente, per il criterio del confronto asintotico anche la

serie ∞ X n=1 µ 1 n+ (−1)n n2 ¶

diverge. Quindi la serie data non converge assolutamente. Studiamo ora la convergenza. Osserviamo che

∞ X n=1 (−1)n µ 1 n+ (−1)n n2 ¶ = ∞ X n=1 µ (−1)n n + 1 n2 ¶ . Le serie ∞ X n=1 (−1)n n e ∞ X n=1 1

n2 convergono entrambe. Quindi per l’algebra delle serie, anche la serie data converge.

Osservazione

a) In questo caso non si pu`o applicare il criterio di Leibiniz. Infatti, posto

bn= _n1 +(−1) n n2 , si ha che: 1) lim n bn= limn µ 1 n+ (−1)n n2 ¶ = 0;

(26)

2) la successione (bn) non `e decrescente. Infatti, b2n = _2n1 +(−1) 2n (2n)2 = 1 2n+ 1 (2n)2 = 2n + 1 (2n)2 , b2n+1 = _{2n + 1}1 + (−1) 2n+1 (2n + 1)2 = 1 2n + 1 − 1 (2n + 1)2 = 2n (2n + 1)2, b2n+2 = 2n + 3 (2n + 2)2. Ne segue che b2n+1< b2n ma b2n+2 > b2n+1.

b) Abbiamo osservato che bn ∼ _n1 per n → +∞. Di conseguenza si ha che

(−1)n_b

n ∼ (−1)

n

n per n → +∞. `E errato dire che poich`e la serie ∞

X

n=1

(−1)n

n

`e convergente, allora per il criterio del confronto asintotico anche la serie

∞

X

n=1

(−1)nbn`e convergente. Infatti, il criterio del confronto asintotico si applica

solo alle serie a termini positivi. *u) La serie ∞ X n=1 (−1)n µ 1 √ n + (−1)n n ¶

∞ X n=1 µ 1 √ n+ (−1)n n ¶ . Si ha che 1 √ n + (−1)n n ∼ 1 √ n, n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=1 1 √

la serie ∞ X n=1 µ 1 √ n + (−1)n n ¶

diverge. Quindi la serie data non converge assoluta-mente.

Studiamo ora la convergenza. Osserviamo che

∞ X n=1 (−1)n µ 1 √ n+ (−1)n n ¶ = ∞ X n=1 µ (−1)n √ n + 1 n ¶ . La serie ∞ X n=1 (−1)n √

n converge, mentre la serie

∞

X

n=1

1

n diverge. Quindi per l’algebra

delle serie, la serie data diverge.

Osservazione

a) In questo caso non si pu`o applicare il criterio di Leibiniz. Infatti, posto

bn= √1_n+(−1)

n

(27)

1) lim n bn= limn µ 1 √ n+ (−1)n n ¶ = 0;

2) la successione (bn) non `e decrescente. Infatti,

b_2n= √1 2n+ (−1)2n 2n = 1 √ 2n+ 1 2n = √ 2n + 1 2n , b2n+1 = √ 1 2n + 1 + (−1)2n+1 2n + 1 = 1 √ 2n + 1− 1 2n + 1 = √ 2n + 1 − 1 2n + 1 , b2n+2 = √ 2n + 2 + 1 2n + 2 . Ne segue che b2n+1 < b2n ma b2n+2 > b2n+1.

b) Abbiamo osservato che bn ∼ √1_n per n → +∞. Di conseguenza si ha che

(−1)n_b n ∼ (−1) n √ n per n → +∞. La serie ∞ X n=1 (−1)n √ n converge, mentre la serie ∞ X n=1

(−1)nbn non converge. Ci`o `e in accordo col fatto che il criterio del

confronto asintotico si applica solo alle serie a termini positivi.

*v) La serie ∞ X n=1 (−1)nbn, dove bn= ( ₁ n2 se n `e pari, 1 n se n `e dispari

`e a termini di segno alterno. Studiamo la convergenza. Per stabilire se la serie data converge, consideriamo la somma parziale n-esima della serie

Sn= n

X

k=1

(−1)kb_k.

Studiamo la convergenza della successione (Sn). Osserviamo che

S2m= 2m X k=1 (−1)kb_k= −1 +1 4− 1 3+ 1 16 + · · · − 1 2m − 1 + 1 (2m)2 = = − µ 1 +1 3+ · · · + 1 2m − 1 ¶ + µ 1 4+ 1 16+ · · · + 1 (2m)2 ¶ = = − m X k=1 1 2k − 1 + m X k=1 1 (2k)2. Poich`e la serie ∞ X k=1 1

2k − 1 diverge, allora la successione

S_2m0 = − m X k=1 1 2k − 1

(28)

diverge a −∞; poich`e la serie

∞

X

k=1

1

(2k)2 converge, allora la successione

S_2m00 = m X k=1 1 (2k)2 converge. Ne segue che la successione S_2m= S0

2m+ S2m00 diverge a −∞. Inoltre, si ha che S2m+1= S2m−_{2m + 1}1 . Quindi anche lim m S2m+1= −∞. Poich`e la successione (Sn) `e S_n= ( S_2m se n = 2m, S2m+1 se n = 2m + 1, si ha che lim n Sn= −∞.

Quindi la serie data diverge.

Osservazione

a) In questo caso non si pu`o applicare il criterio di Leibiniz. Infatti, si ha che: 1) lim

n bn= 0;

2) la successione (bn) non `e decrescente. Infatti,

b2n+1= _{2n + 1}1 > _(2n)1 ₂ = b2n. b) Anche se bn= ( ₁ n2 se n `e pari, 1 n se n `e dispari,

`e errato dire che

∞ X n=1 (−1)nbn=              ∞ X n=1 (−1)n 1 n2 se n `e pari, ∞ X n=1 (−1)n1 n se n `e dispari =              ∞ X n=1 1 (2n)2 =⇒ converge, ∞ X n=1 1 2n + 1 =⇒ diverge e concludere di conseguenza che la serie diverge.

(29)

Esercizio 4. Determinare per quali valori del parametro α ∈Rconvergono o convergono assolutamente le seguenti serie:

a) ∞

X

n=1

cos2_(nα)

n(n + 1) [converge assolutamente per ogni α ∈R]

b) ∞

X

n=1

2 + sin n

nα [converge, anche assolutamente, se α > 1]

c) ∞

X

n=1

log n

nα [converge, anche assolutamente, se α > 1]

d) ∞ X n=0 π 2 − arctan n

(n + 1)α [converge, anche assolutamente, se α > 0]

e) ∞ X n=1 n n + 1α

n _{[converge, anche assolutamente, se |α| < 1]}

*f ) ∞ X n=1 (−1)nnα³1 − e1n ´ " converge assolutamente se α < 0,

converge ma non assolutamente se 0 ≤ α < 1 # g) ∞ X n=0 (−1)n(tan α)2n "

converge, anche assolutamente, se

−π 4 + kπ < α < π4 + kπ, ∀k ∈Z # h) ∞ X n=2 (−1)nnα√nn5 " converge assolutamente se α < −1,

converge ma non assolutamente se −1 ≤ α < 0 #

k) ∞

X

n=0

e−n4+αn [converge assolutamente per ogni α ∈R]

Svolgimento a) La serie ∞ X n=1 cos2_(nα)

n(n + 1) `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge

(positiva-mente).

Poich`e cos2_{(nα) ≤ 1 per ogni n e per ogni α, si ha che} cos2_(nα) n(n + 1) ≤ 1 n(n + 1) ∼ 1 n2, n → +∞.

Essendo convergente la serie

∞

X

n=1

1

n2, per il criterio del confronto asintotico anche la serie

∞

X

n=1

1

n(n + 1) converge. Per il criterio del confronto la serie data converge

(30)

b) La serie

∞

X

n=1

2 + sin n

nα `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge

(positiva-mente).

Poich`e 1 ≤ 2 + sin n ≤ 3 per ogni n, si ha che 1 nα ≤ 2 + sin n nα ≤ 3 nα. Essendo la serie ∞ X n=1 1

nα convergente se α > 1 e divergente se α ≤ 1, per il criterio

del confronto la serie data converge se α > 1.

c) La serie

∞

X

n=1

log n

nα `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positivamente).

Poich`e log n = o³nβ´ _{per n → +∞ per ogni β > 0, si ha che}

log n nα = o µ 1 nα−β ¶ , n → +∞. Essendo la serie ∞ X n=1 1

nα−β convergente se e solo se α − β > 1, per il criterio del

confronto asintotico la serie data converge se α > 1 + β, per ogni β > 0. Quindi per ogni α > inf{1 + β : β > 0} = 1 la serie data converge.

Consideriamo ora 0 < α ≤ 1. Poich`e 1 nα = o µ log n nα ¶ , n → +∞

ed essendo divergente la serie

∞

X

n=1

1

nα con α ≤ 1, per il criterio del confronto

asintotico la serie data diverge.

Infine se α ≤ 0 non `e verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di conseguenza la serie data diverge. Quindi la serie data converge se α > 1.

d) La serie ∞ X n=0 π 2 − arctan n

(n + 1)α `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge

(posi-tivamente). Si ha che arctan n = π 2 − arctan 1 n.

Poich`e arctan x = x + o(x) per x → 0, ne segue che

π 2 − arctan n (n + 1)α = arctan_n1 (n + 1)α = 1 nα+1 + o µ 1 nα+1 ¶ ∼ 1 nα+1, n → +∞.

(31)

Essendo la serie

∞

X

n=1

1

nα+1 convergente se e solo se α > 0, per il criterio del confronto

asintotico la serie data converge se α > 0.

e) La serie ∞ X n=1 n n + 1α

n _{è a termini positivi se α > 0, è nulla se α = 0 ed è a termini}

di segno alterno se α < 0. Consideriamo quindi α 6= 0.

Studiamo inizialmente la convergenza assoluta, ossia la convergenza della serie

∞ X n=1 n n + 1|α| n_. Poich`e n n + 1|α| n_{∼ |α|}n_, _{n → +∞}

ed essendo la serie geometrica

∞

X

n=1

|α|n convergente se e solo se |α| < 1, per il

criterio del confronto asintotico la serie

∞ X n=1 n n + 1|α| n_{converge se e solo se |α| < 1.}

Quindi la serie data converge assolutamente se e solo se |α| < 1. Consideriamo ora |α| ≥ 1 e studiamo la convergenza. Osserviamo che

lim n n n + 1α n₌        1 se α = 1, +∞ se α > 1, 6 ∃ se α ≤ −1.

Quindi non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie, ne segue che per |α| ≥ 1 la serie data non converge. Quindi la serie data converge se |α| < 1. *f ) La serie ∞ X n=1 (−1)nnα³1 − en1 ´ = ∞ X n=1 (−1)n+1nα³en1 − 1 ´ `e a termini di segno alterno.

∞ X n=1 nα³en1 − 1 ´ .

Poich`e ex_{= 1 + x + o(x) per x → 0, si ha che}

nα³en1 − 1 ´ = nα · 1 n + o µ 1 n ¶¸ = 1 n1−α + o µ 1 n1−α ¶ ∼ 1 n1−α, n → +∞. Essendo la serie ∞ X n=1 1

n1−α convergente se e solo se α < 0, per il criterio del confronto asintotico la serie ∞ X n=1 nα³en1 − 1 ´

converge se e solo se α < 0. Quindi la serie data converge assolutamente se e solo se α < 0.

(32)

Consideriamo ora α ≥ 0 e studiamo la convergenza. Poniamo bn = nα

³

en1 − 1

´ . Per quanto osservato in precedenza, si ha che bn ∼ _n1−α1 per n → +∞. Allora si

ha che: 1) lim n bn=        0 se 0 ≤ α < 1, 1 se α = 1, +∞ se α > 1.

Quindi se α ≥ 1 non `e verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di conseguenza la serie data non converge.

Limitiamoci ora a considerare il caso 0 ≤ α < 1.

2) Per 0 ≤ α < 1 la successione (bn) `e decrescente. Infatti, se consideriamo

la funzione f associata alla successione (b_n), f (x) = xα³_e_x1 _{− 1}´ _ristretta

all’intervallo [1, +∞), si ha che f `e derivabile con

f0(x) = xα−2he1x(αx − 1) − αx

i

.

Poich`e et_{= 1 + t + o(t) per t → 0, si osserva che}

lim x→+∞ h ex1(αx − 1) − αx i = lim x→+∞ ·µ 1 +1 x + o µ 1 x ¶¶ (αx − 1) − αx ¸ = = lim x→+∞ · αx − 1 + α −1 x + o(1) − αx ¸ = α − 1 < 0.

Ne segue che esiste N ∈Ntale che per ogni x ≥ N si ha e1x(αx − 1) − αx < 0.

Di conseguenza per ogni x ≥ N si ha f0(x) < 0 e quindi f `e decrescente su [N, +∞). Ne segue che la successione (bn) `e decrescente per ogni n ≥ N .

Quindi per il criterio di Leibiniz la serie data converge, non assolutamente, se 0 ≤ α < 1. In definitiva converge se α < 1.

g) La serie

∞

X

n=0

(−1)n(tan α)2n `e a termini di segno alterno. Osserviamo che ∞ X n=0 (−1)n(tan α)2n= ∞ X n=0 ³ − tan2α´n.

Quindi `e una serie geometrica con ragione − tan2_{α. Pertanto converge, anche} assolutamente, se e solo se tan2_{α < 1, cio`e per −}π

4 + kπ < α < π4 + kπ, per ogni

(33)

h) La serie

∞

X

n=2

(−1)nnα√nn5 _{`e a termini di segno alterno.}

∞ X n=2 nα√nn5 ₌ ∞ X n=2 nα+n5. Poich`e nα+5n ∼ nα, n → +∞ ed essendo la serie ∞ X n=2

nα convergente se e solo se α < −1, per il criterio del

confronto asintotico la serie

∞

X

n=2

nα+n5 converge se e solo se α < −1 e di conseguenza

la serie data converge assolutamente se e solo se α < −1.

Consideriamo ora α ≥ −1 e studiamo la convergenza. Poniamo bn = nα n

√ n5 ₌

nα+5n. Per quanto osservato in precedenza, si ha che b_n∼ nα per n → +∞. Allora

si ha che: 1) lim n bn=        0 se −1 ≤ α < 0, 1 se α = 0, +∞ se α > 0.

Quindi se α ≥ 0 non `e verificata la condizione necessaria per la convergenza della serie e di conseguenza la serie data non converge.

Limitiamoci ora a considerare il caso −1 ≤ α < 0.

2) Per −1 ≤ α < 0 la successione (bn) `e decrescente. Infatti, se consideriamo la

funzione f associata alla successione (bn), f (x) = xα+

5

x ristretta all’intervallo

[2, +∞), si ha che f `e derivabile con

f0(x) = xα+5x · 5 x2(1 − log x) + α x ¸ .

Essendo α < 0 si ha che si ha f0_{(x) < 0 per x ≥ 3. Quindi f `e decrescente su}

[3, +∞). Ne segue che la successione (bn) `e decrescente per ogni n ≥ 3.

Quindi per il criterio di Leibiniz la serie data converge, non assolutamente, se

−1 ≤ α < 0. In definitiva converge se α < 0.

k) La serie

∞

X

n=0

e−n4+αn `e a termini positivi. Quindi o converge o diverge (positiva-mente).

Poich`e per ogni α ∈Rsi ha che

e−n4+αn= o µ 1 n2 ¶ , n → +∞

(34)

∞

X

n=1

1

n2, per il criterio del confronto asintotico la serie data converge per ogni α ∈R.

Esercizio 5. Determinare per quali valori di x ∈ Rconvergono le seguenti serie e per tali valori calcolarne la somma:

a) ∞ X n=0 3n xn_{(x − 6)}n       converge se x < 3 − 2√3, 3 −√6 < x < 3 +√6, x > 3 + 2√3; somma: x2− 6x x2_{− 6x − 3}       b) ∞ X n=1 xn (1 − x)n    converge se x < 1 2; somma: x 1 − 2x    c) ∞ X n=1 µ 1 1 − log |x| ¶_n        converge se x < −e2_, −1 < x < 0, 0 < x < 1, x > e2_; somma: 1 − 2 log |x| log |x|        d) ∞ X n=1 (3x)nx    converge se 0 < x < 1₃; somma: (3x)x 1 − (3x)x    e) ∞ X n=0 (6 − 2x)n 2n_{(x − 1)}2n   converge se x < −1, x > 2, somma: (x − 1)2 x2_{− x − 2}   Svolgimento a) La serie ∞ X n=0 3n xn_{(x − 6)}n = ∞ X n=0 · 3 x(x − 6) ¸_n

`e una serie di potenze con ragione 3

x(x − 6). Quindi converge quando

¯ ¯ ¯ ¯_{x(x − 6)}3 ¯ ¯ ¯ ¯< 1, cio`e se x < 3 − 2√3, 3 −√6 < x < 3 +√6, x > 3 + 2√3.

Per tali x si ha che la somma `e

S(x) = ∞ X n=0 · 3 x(x − 6) ¸_n = 1 1 − 3 x(x − 6) = x2− 6x x2_{− 6x − 3}.