• Non ci sono risultati.

SERIE NUMERICHE

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "SERIE NUMERICHE"

Copied!
7
0
0

Testo completo

(1)

SERIE NUMERICHE

Con l’introduzione delle serie, ci si propone di esten- dere l’operazione di somma ad un numero infinito di addendi.

Def. Data una successione {an}, si chiama serie di termini an la successione {sn} il cui termine n−mo sn `e definito come

sn =

n

X

k=0

ak = a0 + a1 + · · · + an , ∀ n ∈ N .

In maniera pi`u esplicita, la successione {sn} `e la funzione di N in R:

s : N → R

0 7→ s0 = a0

1 7→ s1 = a0 + a1

2 7→ s2 = a0 + a1 + a2 . . .

n 7→ sn = a0 + a1 + · · · + an . . .

(2)

• Il termine n−mo sn della serie {sn} si chiama somma parziale n−ma della serie (o ridotta n−ma della serie)

• Data una successione {an}, la serie di termini an si indica abitualmente con il simbolo +∞P

n=0

an (o anche con P

an o P

n an se non occorre specificare meglio); in altre parole si pone:

+∞

X

n=0

an = {sn} , dove sn =

n

X

k=0

ak .

Def. Se la successione {sn} converge, diverge (po- sitivamente o negativamente), `e oscillante, diciamo rispettivamente che la serie converge, diverge (posi- tivamente o negativamente), `e oscillante (o indeter- minata).

Se la successione {sn} non `e oscillante, il limite di {sn} si chiama somma della serie di termini an e si indica anch’essa con il simbolo +∞P

n=0

an (oppure P an,

(3)

P

n an); in altre parole si pone anche:

+∞

X

n=0

an = lim

n→+∞sn , quando il limite di {sn} esiste.

Studiare il carattere della serie

+∞

P

n=0

an significa stabilire se la serie `e convergente, divergente o indeterminata.

Osservazione. In base a quanto precede, il simbolo

+∞P

n=0

an (o ciascuna delle sue varianti P

an, P

n an) si usa con un doppio significato: esso indica sia la successione {sn} delle somme parziali sn =

n

P

k=0

ak, sia il suo limite lim

n→+∞sn (se esiste).

La somma di una serie +∞P

n=0

an si pu`o assumere come definizione di “somma degli infiniti termini an (n = 0, 1, 2, . . . )”. Nel caso in cui la successione {an} sia

(4)

definitivamente nulla, ovvero se

∃ m ∈ N : ∀ n ≥ m an = 0 , il valore

+∞

P

n=0

an coincide con l’usuale somma degli addendi a0, a1,...,am−1, cio`e:

+∞

X

n=0

an =

m−1

X

n=0

an .

Si ha infatti che ∀ n ≥ m − 1 la somma parziale n−ma sn =

n

P

k=0

ak si riduce a

sn =

m−1

X

k=0

ak +

n

X

k=m

ak =

m−1

X

k=0

ak . Quindi {sn} `e definitivamente costante e

n→lim+∞sn =

m−1

X

k=0

ak =

m−1

X

n=0

an

(5)

(l’indice della sommatoria `e muto).

Data una serie +∞P

n=0

an, una relazione importante tra il termine n−mo an della serie e la somma parziale n−ma sn =

n

P

k=0

ak `e data dalla seguente:

an = sn − sn−1 , ∀ n ≥ 1 .

La precedente si ricava subito osservando che:

sn − sn−1 =

n

P

k=0

ak

n−1

P

k=0

ak

=

n−1

P

k=0

ak + an

n−1

P

k=0

ak = sn−1 + an − sn−1 = an

ESEMPI: 1) Se an = 1 ∀ n ∈ N, la serie +∞P

n=0

an = +∞P

n=0

1

`e per definizione la successione {sn}, dove:

sn =

n

X

k=0

ak =

n

X

k=0

1 = n + 1 , ∀ n ∈ N .

(6)

Si calcola

n→lim+∞sn = lim

n→+∞n + 1 = +∞ . Quindi la serie

+∞

P

n=0

1 `e positivamente divergente e la sua somma `e +∞; in base a quanto detto prima, si scrive anche:

+∞

X

n=0

1 = +∞ .

2) Se an = (−1)n, ∀ n ∈ N, la serie

+∞P

n=0

(−1)n `e per definizione la successione {sn}, dove per ogni n ∈ N:

sn =

n

X

k=0

(−1)k =

(1 se n pari 0 se n dispari

La successione {sn} `e oscillante: quindi si dice che la serie +∞P

n=0

(−1)n `e oscillante o indeterminata.

(7)

3) Se an = 2−n, ∀ n ∈ N, la serie +∞P

n=0

2−n `e per definizione la successione {sn}, dove per ogni n ∈ N:

sn =

n

X

k=0

2−k = 1 − 2(n+1)

1 − 21 = 2(1−2(n+1)) = 2−2−n . Si calcola:

n→lim+∞sn = lim

n→+∞(2 − 2−n) = 2 . Quindi la serie

+∞P

n=0

2−n converge e la sua somma `e

+∞

X

n=0

2−n = 2

———————————————–

∗ Si usa qui la formula di fattorizzazione

1 − qn+1 = (1 − q)(1 + q + · · · + qn−1 + qn)

= (1 − q)

n

P

k=0

qk con q = 21

Riferimenti

Documenti correlati

[r]

Se una serie è convergente ma non assolutamente convergente, allora scelto un qualsiasi S ∈ R esiste un riordinamento della serie data con somma S. Vedi: Teoremi 2.17 e 2.18 a

Brevi cenni sull'approssimazione di funzioni mediante funzioni più semplici.. Polinomi di Taylor e di McLaurin con resto in forma

[r]

Questo risultato pu`o essere riletto nel seguente modo: la serie in questione definisce una funzione della variabile x il cui dominio D `e l’insieme in cui la serie converge,

Quindi al fine di determinare il carattere di una serie si possono trascurare i “primi” termini (anche se questo potrebbe cambiare il valore della somma).. Un primo semplice

Vengono proposti una serie di esercizi relativi alla condizione necessaria per la convergenza di una serie che sono anche un occasione per ricordare il calcolo dei limiti

Serie geometrica: una