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Serie numeriche

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Serie numeriche

Vogliamo dare significato a una “somma infinita.” Esempi:

1 + 1 2 + 1

2

2

+ 1 2

3

+ 1

2

4

+ · · · + 1

2

n

+ · · · (1) 1 + 1

2 + 1 3 + 1

4 + 1 5 + 1

6 + · · · + 1

n + · · · (2) 1 + 1

2

2

+ 1 3

2

+ 1

4

2

+ 1

5

2

+ · · · + 1

n

2

+ · · · (3) Data la serie

+∞

X

n=0

a

n

= a

0

+ a

1

+ a

2

+ ... + a

n

+ ... (4) consideriamo la successione delle somme parziali

∀n ∈ N S

n

= a

0

+ a

1

+ · · · + a

n

(2)

Serie convergenti, divergenti, indeterminate

Definizione Data la serie

+∞

X

n=0

a

n

, poniamo: S

n

= a

0

+ a

1

+ · · · + a

n

Si dice che la serie ` e convergente se la successione S

n

converge a un numero (finito) S . Si scrive

S =

+∞

X

n=0

a

n

Si dice che la serie ` e divergente a +∞ (o a −∞) se la successione S

n

diverge a +∞ (o a −∞).

Se infine la successione delle somme parziali S non converge

(3)

La serie geometrica

Teorema

Carattere della serie geometrica

+∞

X

n=0

q

n

= 1 + q + q

2

+ q

3

+ q

4

+ .... + q

n

+ .... (5)

1

Se |q| < 1 converge a 1 1 − q .

2

Se q ≥ 1 diverge a +∞.

3

Se q ≤ −1 indeterminata.

(4)

Dimostrazione (Serie geometrica)

La somma parziale S

n

` e data da:

S

n

= 1 + q + q

2

+ q

3

+ q

4

+ .... + q

n

= 1 − q

n+1

1 − q

1

Se |q| < 1, la successione q

n

tende a zero. Quindi lim S

n

= lim 1 − q

n+1

1 − q = 1 1 − q

2

Se q ≥ 1, ovvio che la successione S

n

tende a +∞.

3

Se q ≤ −1, il termine q

n+1

tende a +∞ in valore assoluto,

ma ha alternativamente segno positivo e negativo. Quindi la

(5)

Serie geometrica: una interpretazione geometrica

(6)

Esempio: i numeri come somme di serie

La successione

0, 3 = = 3/10

0, 33 = 0, 3 + 0, 03 = 3/10 + 3/100

0, 333 = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 = 3/10 + 3/100 + 3/1000

.... .... .... ....

tende a 0, 3 = 0, 333333... : 0, 3 = 3

10 + 3

10

2

+ · · · + · · ·

= 3

10

 1 + 1

10 + · · · + 1

10

n

+ · · · 

= 3

10

+∞

X

n=0

1

10

n

(7)

Serie armoniche generalizzate

Teorema (Serie armoniche generalizzate)

+∞

X

n=1

1 n

a

( converge se a > 1 diverge a + ∞ se a ≤ 1

Daremo una dimostrazione pi` u avanti, usando il calcolo integrale.

(8)

Condizione necessaria per la convergenza

Teorema (Condizione necessaria per la convergenza) Se una serie numerica

+∞

X

n=1

a

n

converge, allora lim

n→+∞

a

n

= 0.

Supponiamo che la serie converga: lim

k→+∞

S

k

= L Il termine n-esimo della serie ` e dato da

a

n

= S

n

− S

n−1

Quindi:

n→+∞

lim a

n

= lim

n→+∞

(S

n

− S

n−1

)

= lim

n→+∞

S

n

− lim

n→+∞

S

n−1

(9)

La condizione non ` e sufficiente

Controesempio

La serie armonica divergente

+∞

X

n=1

1

n = 1 + 1 2 + 1

3 + · · · + 1

n + · · · = +∞

mostra che

n→+∞

lim a

n

= 0 non implica

+∞

X

n=1

a

n

convergente.

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