Serie numeriche
Vogliamo dare significato a una “somma infinita.” Esempi:
1 + 1 2 + 1
2
2+ 1 2
3+ 1
2
4+ · · · + 1
2
n+ · · · (1) 1 + 1
2 + 1 3 + 1
4 + 1 5 + 1
6 + · · · + 1
n + · · · (2) 1 + 1
2
2+ 1 3
2+ 1
4
2+ 1
5
2+ · · · + 1
n
2+ · · · (3) Data la serie
+∞
X
n=0
a
n= a
0+ a
1+ a
2+ ... + a
n+ ... (4) consideriamo la successione delle somme parziali
∀n ∈ N S
n= a
0+ a
1+ · · · + a
nSerie convergenti, divergenti, indeterminate
Definizione Data la serie
+∞
X
n=0
a
n, poniamo: S
n= a
0+ a
1+ · · · + a
nSi dice che la serie ` e convergente se la successione S
nconverge a un numero (finito) S . Si scrive
S =
+∞
X
n=0
a
nSi dice che la serie ` e divergente a +∞ (o a −∞) se la successione S
ndiverge a +∞ (o a −∞).
Se infine la successione delle somme parziali S non converge
La serie geometrica
Teorema
Carattere della serie geometrica
+∞
X
n=0
q
n= 1 + q + q
2+ q
3+ q
4+ .... + q
n+ .... (5)
1
Se |q| < 1 converge a 1 1 − q .
2
Se q ≥ 1 diverge a +∞.
3
Se q ≤ −1 indeterminata.
Dimostrazione (Serie geometrica)
La somma parziale S
n` e data da:
S
n= 1 + q + q
2+ q
3+ q
4+ .... + q
n= 1 − q
n+11 − q
1
Se |q| < 1, la successione q
ntende a zero. Quindi lim S
n= lim 1 − q
n+11 − q = 1 1 − q
2
Se q ≥ 1, ovvio che la successione S
ntende a +∞.
3
Se q ≤ −1, il termine q
n+1tende a +∞ in valore assoluto,
ma ha alternativamente segno positivo e negativo. Quindi la
Serie geometrica: una interpretazione geometrica
Esempio: i numeri come somme di serie
La successione
0, 3 = = 3/10
0, 33 = 0, 3 + 0, 03 = 3/10 + 3/100
0, 333 = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 = 3/10 + 3/100 + 3/1000
.... .... .... ....
tende a 0, 3 = 0, 333333... : 0, 3 = 3
10 + 3
10
2+ · · · + · · ·
= 3
10
1 + 1
10 + · · · + 1
10
n+ · · ·
= 3
10
+∞
X
n=0
1
10
nSerie armoniche generalizzate
Teorema (Serie armoniche generalizzate)
+∞
X
n=1
1 n
a( converge se a > 1 diverge a + ∞ se a ≤ 1
Daremo una dimostrazione pi` u avanti, usando il calcolo integrale.
Condizione necessaria per la convergenza
Teorema (Condizione necessaria per la convergenza) Se una serie numerica
+∞
X
n=1
a
nconverge, allora lim
n→+∞
a
n= 0.
Supponiamo che la serie converga: lim
k→+∞
S
k= L Il termine n-esimo della serie ` e dato da
a
n= S
n− S
n−1Quindi:
n→+∞
lim a
n= lim
n→+∞
(S
n− S
n−1)
= lim
n→+∞
S
n− lim
n→+∞
S
n−1La condizione non ` e sufficiente
Controesempio
La serie armonica divergente
+∞
X
n=1
1
n = 1 + 1 2 + 1
3 + · · · + 1
n + · · · = +∞
mostra che
n→+∞
lim a
n= 0 non implica
+∞
X
n=1
![Sintesi di una nuova serie di n-[4-(1H(2H)-benzotriazol-1(2)-
il)fenil]alchilcarbossiammidi e n,n'-bis[4-(1H(2H)-benzotriazol-
1(2)-il)fenil]alchildicarbossiammidi a potenziale attività
antivirale](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)