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Serie  Numeriche     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

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Academic year: 2021

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(1)

Serie  Numeriche   Analisi  Matematica  I   Natali  Mattia    

  1  

Serie  Numeriche  

a

n

n =0

⎛ ∑

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

 

 Serie  Notevoli:    

Serie  Armonica  generalizzata:  

1 n

α

n =1

  (α  >  0).  

 Converge  con  α  >  1.  

 Diverge  con  α  ≤  1.  

Serie  Geometrica:  

q

n

n =0

.  

 q  =  ragione.    (q  ∈  R).  

 Diverge  con  |q|  ≥  1.  

 Converge  con  |q|  <  1.  

• La  somma  della  serie  (quando  converge)  è  

S = 1

1 − q

(N.B.  La  serie  deve  partire  da  n  =  0!!)  

 Irregolare  con  q  ≤  -­‐1.  

Serie  di  Mengoli  (Telescopica):  

1 n(n +1)

n =0

.  

 Converge.  

 La  somma  della  Serie  si  può  trovare  con  il  metodo  già  utilizzato  con  gli  integrali  (

A n + B

n +1

):  i   termini  “si  mangiano  a  vicenda”,  i  rimanenti  sono  il  risultato  della  somma.  

Condizione  necessaria  per  la  convergenza:  

n → ∞

lim a

n

= 0.  

 

 Serie  a  termini  non  negativi:  

Criterio  del  Confronto  

(si  usa  spesso  con  senx  e  cosx)

:  

 Siano  

a

n

n =0

 e  

b

n

n =0

 serie  a  termini  non  negativi  tali  che  0  ≤  an  ≤  bn  ∀n  ∈  N.  Allora  

 Se  

b

n

n =0

 è  convergente,  allora  

a

n

n =0

 è  convergente  (

a

n

n =0

 è  minorante  di  una  convergente).  

a

n

n =0

 è  divergente,  allora  

b

n

n =0

 diverge  (

b

n

n =0

 è  maggiorante  di  una  divergente).  

Criterio  del  Confronto  asintotico:

 riconduci,  attraverso  il  metodo  asintotico,  la  serie  da   calcolare  ad  una  nota  per  trarre  delle  conclusioni  sul  suo  comportamento.  

(Esempio:  

a

n

n =0

 ~  

1

n =0

n

 [serie  armonica]  

a

n

n =0

 diverge).  

Criterio  del  Rapporto

 (si  usa  spesso  con  i  fattoriali):  

 Sia  

a

n

n =0

 con  an  >  0.  Calcola  

n → ∞

lim a

n +1

a

n

= l

:  

(2)

Serie  Numeriche   Analisi  Matematica  I   Natali  Mattia    

  2  

• Se  0  ≤  l  <  1    la  serie  converge.  

• Se  l  >  1    la  serie  diverge.  

• Se  l  =  1    la  serie  è  indeterminata.  

Criterio  della  Radice

 (si  usa  spesso  con  xn):  

 Sia  

a

n

n =0

 con  an  >  0.    Calcola  

n → ∞

lim

n

a

n :  

• Se  0  ≤  l  <  1    la  serie  converge.  

• Se  l  >  1  la  serie  diverge.  

• Se  l  =  1    la  serie  è  indeterminata.  

 

 Serie  di  segno  alternato:  

Teorema  della  convergenza  assoluta

   vedi  sotto.  Se  la  serie  non  è  assolutamente   convergente  usa  criterio  di  Liebniz.  

Criterio  di  Liebniz:  

 Sia  

(−1)

n

a

n

n =0

 ,  la  serie  converge  se:  

• an  ≥  0.  

n → ∞

lim a

n

= 0

.  

an +1≤ an  verifica  così    f’(x)  <  0  con  x  >  x0.  

∀n ≥ n0.    

 Serie  di  segno  qualunque:  

Teorema  della  convergenza  assoluta:  

 Una  serie  

a

n

n =0

 si  dice  assolutamente  convergente  se  la  serie  

a

n

n =0

 converge.  

 Se  la  serie  

a

n

n =0

 converge,  allora  anche  la  serie  

a

n

n =0

 converge  (non  vale  il  contrario).  

 Resto:  

Serie  a  termini  alternati:  

a

n +1

= R

n +1.  

 Per  calcolare  la  serie  con  un  certo  errore  bisogna  calcolare  la  serie  fino  a  n  che  si  trova  dalla   seguente  disequazione  

an +1 < errore  (Esempio  errore  =  1/100).  

 

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