Serie numeriche

Serie numeriche

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`

a degli Studi di Padova

Dipartimento di Matematica

Sommatorie

Notazione.

Dati n

0

, n

1

∈ Z, con n

0

≤ n

1

e a

n

0

, . . . , a

n

1

∈ R si pone

n

1

X

k=n

0

a

k

= a

n

0

+ . . . + a

n

1

.

Il simbolo

P si chiama

sommatoria.

Nota.

Se

n

0

= n

1

allora

P

n

_k=n

1 ₀

a

k

= a

n

0

+ . . . + a

n

1

= a

n

0

.

Sommatorie: cambiamenti di indice

Nota.

Utilizzeremo spesso

cambiamenti di indice. Nell’esempio

−8

X

k=−10

1

k + 1

= −

1

9

−

1

8

−

1

7

posto

k = j − 10

abbiamo ad esempio che se k varia tra −10 e −8

allora da j = k + 10, necessariamente j varia tra 0 e 2. Quindi

Serie numeriche: definizioni

Definizione (Serie numerica)

Una

serie numerica

`

e la somma formale degli elementi di una successione

numerica {a

n

}

n∈N

. Di solito, per indicare una serie si usano le notazioni

a

0

+ a

1

+ . . . + a

n

+ . . .

oppure

+∞

X

k=0

a

k

.

Gli elementi a

k

si chiamano

termini della serie

, mentre i numeri

s

n

=

n

X

k=0

a

k

= a

0

+ a

1

+ . . . + a

n

Serie numeriche (semplicemente) convergenti

Definizione (Convergenza, divergenza, indeterminazione)

Sia {a

n

}

n∈N

una successione a valori in R. Si dice che la serie

P

+∞k=0

a

k

`

e

(semplicemente) convergente

se `

e convergente la successione {s

n

}

n∈N

delle

somme parziali

s

n

, ove s

n

=

P

n_k=0

a

k

.

In tal caso, il limite

s =

lim

n→+∞

s

n

=

n→+∞

lim

n

X

k=0

a

k

si dice

somma della serie

.

Si dice che la serie

converge

se s ∈ R;

diverge

se s = ±∞;

`

Nota importante

Nota.

Abbiamo detto che la serie

P

+∞

k=0

a

k

`

e

(semplicemente)

convergente

se `

e convergente la successione {s

n

}

n∈N

delle

somme

parziali

s

n

, ove s

n

=

P

n

k=0

a

k

e il limite

s =

lim

n→+∞

s

n

=

n→+∞

lim

n

X

k=0

a

k

si dice

somma della serie.

Classico errore.

Sommatorie: progressione geometrica

(Progressione Geometrica)

Si ricorda che fissato r ∈ R

1 − r

n+1

= (1 − r )(1 + r + . . . + r

n

).

(1)

Casi notevoli sono

n = 1: 1 − r

2

= (1 − r )(1 + r );

n = 2: 1 − r

4

= (1 − r )(1 + r + r

2

).

Di conseguenza, dividendo ambo i membri di (1) per 1 − r , si ricava

n

X

k=0

r

k

= 1 + r + . . . + r

n

=

1 − r

n+1

1 − r

.

Sommatorie: progressione geometrica

Nota.

Se s

n

=

P

n

_k=0

r

k

= 1 + r + . . . + r

n

`

e la somma parziale n-sima,

abbiamo

s

n

=

1 − r

n+1

1 − r

.

Poich`

e

s =

lim

n→+∞

s

n

=

n→+∞

lim

1 − r

n+1

1 − r

se |r | < 1 allora lim

n→+∞

r

n+1

= 0 e quindi s =

_1−r

1

;

se r ∈ [1, +∞) allora lim

n→+∞

r

n+1

= +∞ e quindi s = +∞,

cio`

e la serie `

e divergente;

se r ∈ (−∞, −1] allora lim

n→+∞

r

n+1

non esiste e quindi la

Serie numeriche convergenti e infinitesime

Teorema

Sia {a

n

}

n∈N

una successione a valori in R. Se

Serie numeriche convergenti e infinitesime

Dimostrazione.

Se la serie `

e convergente allora per un certo S ∈ R abbiamo

lim

n

s

n

= S e ovviamente lim

n

s

n−1

= S da cui

lim

n

(s

n

− s

n−1

) = lim

n

s

n

− lim

n

s

n−1

= S − S = 0.

(2)

Osserviamo ora che se s

n

=

P

n

_k=0

a

k

, allora

s

n

− s

n−1

=

n

X

k=0

a

k

−

n−1

X

k=0

a

k

=

a

n

+

n−1

X

k=0

a

k

!

−

n−1

X

k=0

a

k

= a

n

.

Serie numeriche convergenti e infinitesime: errore classico

Classico errore.

Il teorema dice

Sia {a

n

}

n∈N

una successione a valori in R. Allora

+∞

X

k=0

a

k

`

e convergente

allora

lim

k

a

k

= 0

cio`

e {a

n

}

n∈N

infinitesima.

Il teorema non dice che

se la successione {a

n

} `

e infinitesima allora

la serie

P

+∞

Serie numeriche convergenti e infinitesime

Nota.

Osserviamo che esistono serie non convergenti, ma tali che

{a

n

}

n∈N

`

e infinitesima.

Esempio

La serie armonica

+∞

X

k=1

1

k

Serie numeriche convergenti e infinitesime

Esempio

La serie

P

+∞

k=1

√

1

_k

pur essendo infinitesima `

e

divergente

. Infatti si

verifica facilmente che

Serie numeriche: propriet`

a

Teorema

Le serie

P

+∞

k=0

a

k

e

P

+∞

k=

k

0

a

k

hanno lo stesso comportamento.

Definizione (Resto della serie)

La quantit`

a

r

n

=

+∞

X

k=n+1

a

k

si chiama

resto

n−simo della serie

P

+∞

Serie numeriche: propriet`

a

Nota.

Evidentemente, se

s

n

=

P

n

k=0

a

k

,

r

n

=

P

∞

k=n+1

a

k

allora

+∞

X

k=0

a

k

=

n

X

k=0

a

k

+

∞

X

k=n+1

a

k

= s

n

+ r

n

.

Serie numeriche: propriet`

a

Teorema

Se

P

+∞

k=0

a

k

`

e convergente allora il resto n-simo `

e infinitesimo cio`

e

+∞

X

k=n

0

a

k

→ 0

per n

0

→ ∞

.

Teorema

Se

P

+∞

k=0

a

k

,

P

+∞

k=0

b

k

sono convergenti allora lo `

e pure

+∞

X

k=n

0

(λa

k

+ µb

k

)

Serie numeriche: serie di Mengoli

Esempio (Serie di Mengoli (1650))

La serie (di Mengoli)

+∞

X

k=2

1

k(k − 1)

`

e

convergente

e la sua somma vale S = 1.

Serie numeriche: serie di Mengoli

N : 1 e+02 SOMMA : 0 . 9 9 0 0 9 9 0 0 9 9 0 0 9 8 9 7 5 7 1 4 9 1 4 7 8 6 2 9 4 7 N : 1 e+03 SOMMA : 0 . 9 9 9 0 0 0 9 9 9 0 0 0 9 9 9 7 0 0 9 6 0 7 9 0 0 5 0 8 8 5 N : 1 e+04 SOMMA : 0 . 9 9 9 9 0 0 0 0 9 9 9 9 0 0 0 7 4 9 5 1 6 5 4 0 0 5 4 1 7 4 N : 1 e+05 SOMMA : 0 . 9 9 9 9 9 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 5 5 2 1 5 2 6 7 7 3 9 5 5 0 N : 1 e+06 SOMMA : 0 . 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 1 0 4 7 5 7 7 6 9 0 3 7 1 7 8 1 5 0 0 N : 1 e+07 SOMMA : 0 . 9 9 9 9 9 9 8 9 9 9 9 9 8 1 5 3 1 1 5 2 4 2 8 7 1 5 3 5 8 8 N : 1 e+08 SOMMA : 0 . 9 9 9 9 9 9 9 8 9 8 2 7 4 7 3 4 0 1 1 4 9 4 0 4 7 0 8 1 2 1

La serie di Mengoli pu`

o banalmente essere riscritta come

+∞

X

k=1

1

k(k + 1)

.

Nella tabella si valutano s

100

, s

1000

, . . ., s

100000000

e si vede

Serie numeriche: serie geometrica

Esempio (Serie geometrica)

La serie (geometrica) di ragione geometrica

+∞

X

k=0

r

k

`

e

convergente per r ∈ (−1, 1)

e la somma vale 1/(1 − r );

divergente per r ∈ [1, +∞);

Serie numeriche a termini positivi

Definizione (Serie a termini positivi)

Una serie

P

+∞

k=0

a

k

si dice

a termini positivi

se a

k

≥ 0 per ogni

k ∈ N.

Definizione (Serie a termini definitivamente positivi)

Una serie

P

+∞

k=0

a

k

si dice

a termini definitivamente positivi

se

esiste n

0

∈ N tale che a

k

≥ 0 per ogni k ∈ N, k ≥ n

0

.

Esempio

La serie

P

+∞

k=0

k−5

Serie numeriche a termini positivi

Teorema

Sia

P

+∞

k=0

a

k

a termini definitivamente positivi. Allora

o converge

o diverge a +∞

.

Dimostrazione.

Se la serie

P

∞

k=0

a

k

`

e a termini positivi, allora la successione {s

n

}

di somme parziali s

n

=

P

n

_k=0

a

k

`

e crescente.

Serie numeriche a termini positivi: serie armonica

Definizione (Serie armonica)

La serie

+∞

X

k=1

1

k

si chiama

serie armonica

.

Serie numeriche a termini positivi: serie armonica

Dimostrazione.

Osserviamo che essendo una serie a termini positivi,

P

∞

k=2n

0

+1

1

Serie numeriche a termini positivi: criterio del confronto

% SULLA SERIE ARMONICA sum ( 1 / n )

N : 1 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 6 6 9 5 3 1 1 3 6 5 8 5 8 5 1 e+01 N : 2 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 7 3 8 8 4 5 8 5 2 1 4 1 7 1 8 e+01 N : 3 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 7 7 9 3 9 2 3 6 2 1 1 9 3 8 3 e+01 N : 4 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 8 0 8 1 6 0 5 6 8 9 4 7 6 9 7 e+01 N : 5 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 8 3 0 4 7 4 9 2 3 8 2 8 9 9 9 e+01 N : 6 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 8 4 8 7 0 7 0 7 9 3 4 1 6 2 2 e+01 N : 7 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 8 6 4 1 2 2 1 4 7 2 0 5 5 9 0 e+01 N : 8 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 8 7 7 4 7 5 2 8 6 3 7 8 7 8 2 e+01 N : 9 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 8 8 9 2 5 3 5 8 9 8 7 5 1 5 6 e+01 N : 1 . 0 e+08 SOMMA : 1 . 8 9 9 7 8 9 6 4 1 3 8 5 3 0 1 e+01

In tabella il valore della somma N-sima della serie armonica

s

N

=

P

N

k=1

1

Serie numeriche a termini positivi: criterio del confronto

Teorema

Siano {a

n

}

n∈N

, {b

n

}

n∈N

due successioni (reali) tali che

0 ≤ a

k

≤ b

k

, k ∈ N.

Allora

Se

P

+∞

k=0

b

k

converge

allora

P

+∞

k=0

a

k

converge

.

Se

P

+∞

k=0

a

k

diverge

allora

P

+∞

k=0

b

k

diverge

.

Nota.

Se

P

+∞

k=0

a

k

converge

allora non si pu`

o dire che

P

+∞

k=0

b

k

converge

.

Se

P

+∞

k=0

b

k

diverge

allora non si pu`

o dire che

P

+∞

k=0

a

k

diverge

.

Pensare alle serie

P

+∞

k=1

(1/k

2

) e

P

+∞

Serie numeriche a termini positivi: criterio del confronto

Esempio

La serie

P

+∞

k=1

b

k

k

diverge per b > 1.

Traccia.

Serie numeriche a termini positivi: serie armonica

generalizzata

Definizione (Serie armonica generalizzata)

La serie

+∞

X

k=1

1

k

α

, α ∈ R

`

e detta

serie armonica generalizzata.

Teorema

La serie armonica generalizzata ha il seguente comportamento

diverge

per

α ∈ (−∞, 1]

;

Serie numeriche a termini positivi: serie armonica

% SULLA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA sum ( 1 / n ˆ ( 0 . 9 ) )

N : 1 e+02 SOMMA : 6 . 4 2 6 7 3 0 4 8 4 5 8 1 3 9 9 0 6 1 0 2 8 1 5 0 7 5 4 2 8 2 N : 1 e+03 SOMMA : 1 0 . 5 2 3 5 0 6 6 1 1 7 9 9 3 7 6 7 4 2 0 5 5 7 5 6 0 3 9 9 1 7 N : 1 e+04 SOMMA : 1 5 . 6 8 8 8 7 5 8 8 8 1 3 1 1 6 6 2 9 1 8 2 7 8 6 7 0 9 8 6 1 8 N : 1 e+05 SOMMA : 2 2 . 1 9 2 6 7 8 3 9 3 6 4 6 2 5 4 1 6 4 6 5 0 5 9 9 7 0 5 0 5 5 N : 1 e+06 SOMMA : 3 0 . 3 8 0 6 0 5 0 2 6 4 8 3 5 5 0 5 4 5 8 9 0 4 6 6 3 1 0 0 8 4 N : 1 e+07 SOMMA : 4 0 . 6 8 8 6 0 9 5 9 3 9 1 7 6 4 7 0 8 9 2 5 6 2 0 6 5 2 7 3 5 2 N : 1 e+08 SOMMA : 5 3 . 6 6 5 6 2 0 4 6 0 1 7 7 7 7 7 3 1 7 7 6 7 3 2 2 5 2 9 1 0 7

Nella tabella valutiamo la somma

P

N

k=1

k

1

0.9

, per

Serie numeriche a termini positivi: criterio del confronto

% SULLA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA sum ( 1 / n ˆ ( 1 . 1 ) )

N : 1 e+02 SOMMA : 4 . 2 7 8 0 2 4 0 2 3 1 5 8 3 6 9 7 1 5 2 4 7 3 1 7 7 9 9 3 6 7 N : 1 e+03 SOMMA : 5 . 5 7 2 8 2 6 6 7 6 3 5 2 7 5 1 6 4 0 3 0 8 7 2 4 7 4 5 4 1 0 N : 1 e+04 SOMMA : 6 . 6 0 3 3 9 6 6 6 4 4 0 9 4 3 8 6 2 1 1 3 4 9 9 5 6 2 8 3 8 1 N : 1 e+05 SOMMA : 7 . 4 2 2 1 7 2 3 8 5 9 1 8 4 8 4 4 9 4 0 2 7 3 2 5 1 2 6 8 0 8 N : 1 e+06 SOMMA : 8 . 0 7 2 5 6 2 1 5 9 0 3 5 5 3 8 0 8 7 4 3 7 0 8 9 4 1 6 1 9 8 N : 1 e+07 SOMMA : 8 . 5 8 9 1 8 6 1 5 9 9 5 9 3 0 0 6 8 1 5 2 1 1 9 9 2 9 4 3 6 6 N : 1 e+08 SOMMA : 8 . 9 9 9 5 5 5 2 7 3 2 8 4 2 7 0 7 3 9 9 6 4 0 8 5 8 0 5 6 9 6

In tabella il valore della somma N-sima della serie armonica

generalizzata

s

N

=

N

X

k=1

1

k

1.1

Serie numeriche a termini positivi: serie armonica

generalizzata

% SULLA SERIE ARMONICA sum ( 1 / n ˆ 2 )

N : 1 . 0 e+02 SOMMA : 1 . 6 3 4 9 8 3 9 0 0 1 8 4 8 9 2 e+00 N : 1 . 0 e+03 SOMMA : 1 . 6 4 3 9 3 4 5 6 6 6 8 1 5 6 1 e+00 N : 1 . 0 e+04 SOMMA : 1 . 6 4 4 8 3 4 0 7 1 8 4 8 0 6 5 e+00 N : 1 . 0 e+05 SOMMA : 1 . 6 4 4 9 2 4 0 6 6 8 9 8 2 4 3 e+00 N : 1 . 0 e+06 SOMMA : 1 . 6 4 4 9 3 3 0 6 6 8 4 8 7 5 4 e+00 N : 1 . 0 e+07 SOMMA : 1 . 6 4 4 9 3 3 9 6 6 8 4 8 1 7 5 e+00 N : 1 . 0 e+08 SOMMA : 1 . 6 4 4 9 3 4 0 5 6 7 9 8 8 6 4 e+00

Nella tabella valutiamo la somma

P

N

k=1

k

1

2

, per

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico

Teorema (Confronto asintotico)

Siano {a

k

}

k∈N

, {b

k

}

k∈N

due successioni

definitivamente positive

.

Se a

n

∼ b

n

, cio`

e

lim

n

a

n

b

n

= 1

allora le serie

P

+∞

k=0

a

k

,

P

+∞

k=0

b

k

hanno

lo stesso comportamento

.

Nota.

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 1

Quindi, per il criterio di confronto asintotico, la serie ha lo stesso

comportamento di

+∞

X

k=1

k

4.5

3k

6

=

1

3

+∞

X

k=1

1

k

1.5

che converge in quanto la serie

P

+∞ k=1

1

k1.5

`

e una serie armonica generalizzata

P

+∞

k=1 1

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 1

N : 1 . 0 e+02 SOMMA : 2 . 1 0 4 7 9 6 1 1 7 4 4 9 3 7 1 e+00 N : 1 . 0 e+03 SOMMA : 2 . 1 5 0 4 3 3 4 9 2 6 7 1 7 1 6 e+00 N : 1 . 0 e+04 SOMMA : 2 . 1 6 4 8 5 0 3 7 4 4 0 0 0 4 0 e+00 N : 1 . 0 e+05 SOMMA : 2 . 1 6 9 4 0 8 9 0 9 7 4 6 1 8 8 e+00 N : 1 . 0 e+06 SOMMA : 2 . 1 7 0 8 5 0 4 2 9 8 8 7 5 2 2 e+00 N : 1 . 0 e+07 SOMMA : 2 . 1 7 1 3 0 6 2 7 8 0 9 7 1 6 2 e+00 N : 1 . 0 e+08 SOMMA : 2 . 1 7 1 4 5 0 4 2 9 9 4 2 5 5 9 e+00

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=1

k

3.5

_+k

4.5

3k

6

_{−2 sin (k)}

, per

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 2

La serie converge come

P

+∞

k=1

3k

1

1.5

ma per valori piccoli le

successioni sono leggermente diverse.

N : 4 . 0 e+00 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 0 e−02 N : 3 . 6 e+01 a b s( a_n−b_n ) : 4 . 3 e−05 N : 4 . 1 e+02 a b s( a_n−b_n ) : 9 . 9 e−08 N : 4 . 6 e+03 a b s( a_n−b_n ) : 2 . 3 e−10 N : 5 . 3 e+04 a b s( a_n−b_n ) : 5 . 2 e−13 N : 6 . 0 e+05 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 2 e−15 N : 6 . 8 e+06 a b s( a_n−b_n ) : 2 . 8 e−18 N : 7 . 7 e+07 a b s( a_n−b_n ) : 6 . 3 e−21 N : 8 . 8 e+08 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 5 e−23 N : 1 . 0 e+10 a b s( a_n−b_n ) : 3 . 3 e−26

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 2

Esempio

La serie

P

+∞

k=1

log(k+1)−log(k)

_√

4k

2

₊₃

converge.

Traccia.

Distinguiamo il numeratore dal denominatore.

A numeratore, osserviamo che

log(k + 1) − log (k) = log((k + 1)/k) = log(1 + (1/k)). Posto

t = 1/k se k → +∞ allora t → 0

+

. Dalla tabella degli

infinitesimi log(1 + t) ∼ t e quindi

log(1 + (1/k)) ∼ (1/k)

.

A denominatore osserviamo che

p

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 2

Di conseguenza

log(k + 1) − log(k)

√

4k

2

_{+ 3}

∼

(1/k)

2k

=

1

2k

2

.

Che sia una serie a termini positivi, lo si vede direttamente, in

quanto il logaritmo `

e crescente e pure la radice quadrata, come

affidandosi all’asintotico

_2k

1

2

che `

e ovviamente positivo.

Quindi la serie richiesta converge in quanto lo `

e la serie

+∞

X

k=1

1

2k

2

=

1

2

+∞

X

k=1

1

k

2

dove

1

₂

P

+∞

k=1

1

k

2

`

e una serie armonica generalizzata

P

+∞

k=1

1

k

α

con

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 2

N : 1 . 0 e+02 SOMMA : 5 . 2 7 8 5 2 7 1 5 2 9 3 2 7 7 3 e−01 N : 1 . 0 e+03 SOMMA : 5 . 3 2 3 1 5 7 9 0 8 8 3 8 6 1 3 e−01 N : 1 . 0 e+04 SOMMA : 5 . 3 2 7 6 5 4 1 9 8 3 4 9 8 7 4 e−01 N : 1 . 0 e+05 SOMMA : 5 . 3 2 8 1 0 4 1 6 1 2 2 6 7 2 2 e−01 N : 1 . 0 e+06 SOMMA : 5 . 3 2 8 1 4 9 1 6 0 8 5 5 5 6 2 e−01 N : 1 . 0 e+07 SOMMA : 5 . 3 2 8 1 5 3 6 6 0 8 5 1 3 7 7 e−01 N : 1 . 0 e+08 SOMMA : 5 . 3 2 8 1 5 4 1 1 0 6 0 4 8 0 7 e−01

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=1

log(k+1)−log(k)

_√

4k

2

₊₃

, per

Serie numeriche a termini positivi: confronto asintotico.

Esempio 2

La serie converge come

P

+∞

k=1

2k

1

2

ma per valori piccoli le

successioni sono leggermente diverse.

N : 4 . 0 e+00 a b s( a_n−b_n ) : 4 . 0 e−03 N : 3 . 6 e+01 a b s( a_n−b_n ) : 5 . 4 e−06 N : 4 . 1 e+02 a b s( a_n−b_n ) : 3 . 7 e−09 N : 4 . 6 e+03 a b s( a_n−b_n ) : 2 . 5 e−12 N : 5 . 3 e+04 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 7 e−15 N : 6 . 0 e+05 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 2 e−18 N : 6 . 8 e+06 a b s( a_n−b_n ) : 8 . 1 e−22 N : 7 . 7 e+07 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 9 e−24 N : 8 . 8 e+08 a b s( a_n−b_n ) : 1 . 7 e−25 N : 1 . 0 e+10 a b s( a_n−b_n ) : 8 . 8 e−26

Facoltativo. Serie numeriche a termini positivi: criterio di

condensazione.

Teorema (Criterio di condensazione)

Sia {a

k

}

k∈N

una successione

definitivamente positiva

;

definitivamente decrescente

.

Allora le serie

P

+∞

k=0

a

k

,

P

+∞

k=0

a

2

k

2

k

hanno

lo stesso comportamento

.

Esempio

Consideriamo la serie positiva e decrescente

+∞

X

k=2

1

k log

β

(k)

con β > 0. Per il criterio di condensazione, ha lo stesso comportamento di

+∞

X

k=2

2

k

2

k

_log

β

(2

k

₎

=

+∞

X

k=2

1

(log(2

k

₎₎

β

=

+∞

X

k=2

1

k

β

_(log(2))

β

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto

Teorema (Criterio del rapporto (Cauchy, 1821))

Sia {a

k

}

k∈N

una successione

definitivamente strettamente positiva

cio`

e a

k

> 0 definitivamente.

Se esiste r ∈ (0, 1) tale che

a

k+1

a

k

≤ r

definitivamente, allora la serie

P

+∞

k=0

a

k

converge

.

Se

a

k+1

a

k

≥ 1

definitivamente, allora la serie

P

+∞

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto

Corollario (Criterio del rapporto)

Sia {a

k

}

k∈N

una successione

definitivamente strettamente positiva

cio`

e

a

k

> 0 definitivamente.

Se esiste r ∈ [0, 1) tale che

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto

Nota.

Si osservi che il fatto che se

lim

k

a

k+1

a

k

=

1

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto,

esempio 1.

Esempio

La serie

+∞

X

k=0

1

k!

converge.

Esempio

La successione {a

k

}

k∈N

con a

k

=

_k!

1

verifica le ipotesi del teorema

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto,

esempio 1.

N : 2 SOMMA : 1 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N : 4 SOMMA : 1 . 7 0 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 8 1 3 6 3 0 6 9 9 5 0 0 2 1 N : 6 SOMMA : 1 . 7 1 8 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 9 0 4 5 0 2 0 2 9 5 0 1 6 N : 8 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 7 8 7 6 9 8 4 1 2 7 0 0 3 7 2 3 3 0 1 6 4 1 0 0 2 8 N : 10 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 0 1 1 4 6 3 8 4 7 3 5 1 9 0 5 0 8 7 6 3 4 8 0 N : 12 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 2 8 6 1 6 8 7 1 0 9 1 7 5 3 6 3 7 3 0 1 7 N : 14 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 8 2 2 9 9 6 5 0 5 0 9 1 8 5 0 8 4 9 6 N : 16 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 2 4 2 6 2 6 0 3 3 9 1 9 8 0 5 2 N : 18 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 20 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 22 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 24 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 26 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 28 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0 N : 30 SOMMA : 1 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 5 3 4 8 8 4 8 0 8 1 4 8 4 9 0

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto,

esempio 2.

Esempio

La serie

+∞

X

k=0

e

k

k!

converge.

Traccia.

La successione {a

k

}

k∈N

con a

k

=

e

k

k!

verifica le ipotesi del teorema

del rapporto ed `

e

a

k+1

a

k

=

e

k+1

k + 1!

·

k!

e

k

=

e

k + 1

Serie numeriche a termini positivi: criterio del rapporto,

esempio 2.

N : 2 SOMMA : 6 . 4 1 2 8 0 9 8 7 7 9 2 4 3 7 0 7 3 8 3 5 5 7 1 9 3 6 7 9 7 4 N : 4 SOMMA : 1 2 . 0 3 5 3 2 2 2 8 3 1 6 9 9 9 3 0 8 5 0 3 9 0 9 5 6 0 3 8 6 1 N : 6 SOMMA : 1 3 . 8 3 2 4 1 6 3 7 7 7 6 4 7 0 8 6 7 0 3 8 3 6 9 7 6 0 8 4 8 6 N : 8 SOMMA : 1 4 . 1 2 3 9 3 4 8 1 1 6 5 5 3 1 9 1 6 5 8 7 9 5 1 8 5 5 0 3 5 5 N : 10 SOMMA : 1 4 . 1 5 2 3 3 4 6 4 2 1 9 7 2 4 9 7 9 2 1 6 1 5 2 8 6 0 3 1 7 4 N : 12 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 1 7 4 3 9 4 9 0 7 8 9 0 6 4 3 9 3 5 3 8 8 6 5 2 6 0 8 N : 14 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 5 9 2 3 7 0 3 6 2 5 1 6 6 1 8 3 4 2 8 5 1 8 7 0 6 9 N : 16 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 1 6 1 6 1 6 9 9 8 1 2 8 0 1 0 8 9 1 3 7 7 9 2 6 N : 18 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 3 9 7 8 3 1 8 2 7 6 4 0 8 5 7 2 2 7 3 7 9 4 6 N : 20 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 4 9 8 4 0 6 8 6 8 6 8 8 1 0 7 3 5 1 7 7 N : 22 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 7 8 8 4 1 4 8 8 6 2 8 8 5 9 2 2 4 2 6 4 N : 24 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 7 9 2 6 0 7 0 8 8 4 2 9 5 7 6 8 3 3 7 3 N : 26 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 7 9 2 6 6 0 3 7 9 1 3 4 7 5 8 8 4 1 2 5 N : 28 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 7 9 2 6 6 0 3 7 9 1 3 4 7 5 8 8 4 1 2 5 N : 30 SOMMA : 1 4 . 1 5 4 2 6 2 2 4 1 4 7 9 2 6 6 0 3 7 9 1 3 4 7 5 8 8 4 1 2 5

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=0

e

k

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice.

Teorema (Criterio della radice (Cauchy, 1821))

Sia {a

k

}

k∈N

una successione

definitivamente positiva

cio`

e a

k

≥ 0

definitivamente.

Se esiste r ∈ (0, 1) tale che

k

√

a

k

≤ r

definitivamente, allora la serie

P

+∞

k=0

a

k

converge

.

Se

k

√

a

k

≥ 1

definitivamente, allora la serie

P

+∞

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice.

Corollario (Criterio della radice)

Sia {a

k

}

k∈N

una successione

definitivamente positiva

cio`

e a

k

≥ 0

definitivamente.

Se esiste r ∈ [0, 1) tale che

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice.

Nota.

Si osservi che il fatto che se lim

k

k

√

a

k

=

1

allora il criterio del

rapporto

non

stabilisce la convergenza o la divergenza. Inoltre

converge se lim

k

k

√

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice,

esempio 1.

Esempio

Si mostri che la serie

+∞

X

k=1



3k · sin

 1

4k



k

converge.

Traccia.

Poich`

e per ogni k ≥ 1, si ha che

1 4k

≤

1 4

, allora

0 = sin(0) ≤ sin

 1

4k



≤ sin

 1

4



e quindi la serie in questione `

e a termini positivi. Inoltre converge per il

corollario al criterio della radice in quanto

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice,

esempio 1.

N : 10 S O M M A : 2 . 8 1 6 7 8 5 1 8 1 6 7 3 0 2 6 7 1 6 7 0 8 8 1 8 6 3 9 7 4 5 N : 20 S O M M A : 2 . 9 7 6 0 8 4 7 1 0 9 3 8 3 6 3 4 6 4 5 4 9 6 3 8 5 9 2 8 7 1 N : 30 S O M M A : 2 . 9 8 5 0 5 8 5 6 6 9 5 6 5 4 3 0 3 5 7 8 6 3 5 3 3 5 7 2 5 3 N : 40 S O M M A : 2 . 9 8 5 5 6 3 9 8 5 0 7 6 9 1 4 2 2 8 5 0 0 2 9 9 9 4 1 5 1 6 N : 50 S O M M A : 2 . 9 8 5 5 9 2 4 4 9 0 1 5 6 7 5 7 7 5 5 6 9 8 8 9 0 8 3 2 7 2 N : 60 S O M M A : 2 . 9 8 5 5 9 4 0 5 1 9 9 2 6 5 4 4 8 5 1 6 1 4 3 8 0 6 0 4 5 9 N : 70 S O M M A : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 2 2 6 4 7 1 3 2 0 2 1 9 5 0 2 5 5 8 7 5 7 1 N : 80 S O M M A : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 3 4 8 3 6 4 0 3 5 8 2 1 0 7 7 7 7 7 6 5 5 N : 90 S O M M A : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 3 4 6 4 7 0 3 3 1 2 9 3 4 0 3 4 3 2 9 4 N : 100 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 0 7 6 8 8 0 3 7 1 4 5 2 7 1 6 6 4 4 9 N : 110 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 1 6 7 6 5 2 2 0 5 9 4 6 0 6 9 4 4 3 6 N : 120 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 1 7 2 7 1 4 8 2 2 9 3 8 3 6 0 1 5 7 4 N : 130 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 1 7 2 9 8 1 2 7 6 4 6 4 2 7 0 1 9 5 0 N : 140 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 1 7 2 9 8 1 2 7 6 4 6 4 2 7 0 1 9 5 0 N : 150 SOMMA : 2 . 9 8 5 5 9 4 1 4 7 6 5 1 7 2 9 8 1 2 7 6 4 6 4 2 7 0 1 9 5 0

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=1

3k · sin

4k

1

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice,

esempio 2.

Esempio

Si mostri la convergenza della serie

+∞

X

k=1

k

2

4

k

2

k

_{+ 5}

k

Traccia.

Osserviamo che raccogliendo 5

k

_{al denominatore}

k

2

4

k

2

k

_{+ 5}

k

=

k

2

4

k

5

k

_((2/5)

k

_{+ 1)}

=

k

2

(5/4)

k

_((2/5)

k

_{+ 1)}

e quindi da

√

k

k

2

_{→ 1,}

_p(5/4)

k k

_{→ 5/4,}

_p(2/5)

k k

_{+ 1 → 1 (perch`}

_e?)

k

r

k

2

₄

k

2

k

_{+ 5}

k

=

k

s

k

2

(5/4)

k

_((2/5)

k

_{+ 1)}

=

k

√

k

2 k

p(5/4)

k

_((2/5)

k

_{+ 1)}

→

4

5

implicando per definizione di limite che, per r ∈ (4/5, 1), definitivamente

k

q

k24k

Serie numeriche a termini positivi: criterio della radice,

esempio 2.

N : 10 S O M M A : 7 3 . 6 0 1 5 2 0 2 5 6 8 8 1 4 4 3 0 6 0 5 9 2 5 7 3 6 0 1 7 5 3 N : 30 S O M M A : 1 7 2 . 6 6 2 5 7 6 8 4 0 5 9 9 5 9 8 4 2 6 7 0 6 5 0 6 8 7 0 6 8 7 N : 50 S O M M A : 1 7 8 . 6 5 3 6 7 9 4 6 7 2 6 8 5 1 7 5 5 5 5 6 7 0 8 6 6 7 4 2 7 3 N : 70 S O M M A : 1 7 8 . 8 2 3 8 0 2 6 8 6 9 4 9 6 7 6 3 9 9 3 0 8 3 7 3 2 2 0 2 6 5 N : 90 S O M M A : 1 7 8 . 8 2 7 4 4 9 5 9 7 8 0 2 0 5 8 1 7 8 7 8 5 9 5 5 5 3 3 3 8 5 N : 110 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 7 0 7 7 4 3 4 6 3 4 9 8 4 4 5 6 3 5 1 9 5 8 2 1 5 N : 130 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 1 7 8 3 6 5 1 2 8 0 3 8 4 2 1 9 7 1 7 2 3 4 4 N : 150 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 5 9 6 0 4 6 8 4 7 3 4 2 2 2 2 4 6 3 3 3 9 6 N : 170 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 3 5 9 6 0 1 0 2 9 3 1 1 3 0 6 7 7 4 6 2 N : 190 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5 N : 210 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5 N : 230 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5 N : 250 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5 N : 270 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5 N : 290 SOMMA : 1 7 8 . 8 2 7 5 1 8 2 3 6 2 4 0 0 2 4 4 0 7 3 7 9 6 7 8 4 5 0 5 2 5

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=1

k

2

₄

k

2

k

₊₅

k

, per

Serie a termini di segno variabile.

Definizione (Serie assolutamente convergente)

La serie

P

n

k=0

a

k

, di segno arbitrario, si dice

assolutamente

convergente

se

P

n

k=0

|a

k

| `e (semplicemente) convergente.

Teorema

Se la serie

P

n

k=0

a

k

`

e

assolutamente convergente

, allora `

e pure

Serie a termini di segno variabile: segno alterno.

Delle serie

P

∞

k=0

a

k

in cui a

k

ha segno variabile, un esempio `

e la

seguente.

Definizione (Serie a segno alterno)

Una serie `

e a

segno alterno

se e solo se `

e del tipo

+∞

X

k=0

(−1)

k

a

k

Serie a termini di segno variabile.

Nota.

Esistono serie che sono semplicemente convergenti che non sono assolutamente

convergenti

.

Un esempio `

e

+∞

X

k=1

(−1)

k+1

1

k

α

che risulta convergente per ogni α. Osserviamo che per α = 1, non `

e per`

o

assolutamente convergente in quanto

+∞

X

k=1









(−1)

k+1

1

k









=

+∞

X

k=1

1

k

Serie a termini di segno variabile.

N : 1 e+02 S O M M A : 0 . 6 8 8 1 7 2 1 7 9 3 1 0 1 9 5 0 3 1 2 9 8 7 4 6 9 2 6 0 4 1 N : 1 e+03 S O M M A : 0 . 6 9 2 6 4 7 4 3 0 5 5 9 8 2 2 2 5 2 5 0 4 8 8 6 8 1 9 2 2 4 N : 1 e+04 S O M M A : 0 . 6 9 3 0 9 7 1 8 3 0 5 9 9 5 8 2 6 6 1 4 9 1 8 0 8 7 2 1 6 2 N : 1 e+05 S O M M A : 0 . 6 9 3 1 4 2 1 8 0 5 8 4 9 6 7 2 3 7 9 5 5 1 4 0 7 1 7 5 3 1 N : 1 e+06 S O M M A : 0 . 6 9 3 1 4 6 6 8 0 5 6 0 2 5 4 6 3 5 4 9 4 7 4 3 5 2 4 7 6 0 N : 1 e+07 S O M M A : 0 . 6 9 3 1 4 7 1 3 0 5 6 0 0 6 0 0 5 4 0 9 4 1 5 1 3 8 2 7 4 2 N : 1 e+08 S O M M A : 0 . 6 9 3 1 4 7 1 7 5 5 6 0 3 9 5 5 1 2 0 5 0 6 0 4 3 3 8 5 8 3

Nella tabella valutiamo la somma

Facoltativo. Serie a termini di segno variabile: criterio di

Cauchy.

Teorema (Criterio di Cauchy)

La serie

P

+∞

k=0

a

k

`

e convergente se e solo se per ogni  > 0 esiste

Serie a termini di segno variabile: criterio di Leibniz.

Teorema (Criterio di Leibniz (Leibniz, 1682))

Sia una successione {a

n

} tale che

lim

k→+∞

a

k

= 0;

{a

k

} `

e

definitivamente non negativa e decrescente

per k → +∞, ovvero

tale che 0 ≤ a

k+1

≤ a

k

, perogni k ≥ k

0

.

Allora la serie

+∞

X

k=0

(−1)

k

a

k

= a

0

− a

1

+ a

2

− a

3

+ . . .

`

e

semplicemente convergente

e, se 2n > k

0

, le somme parziali s

2n

approssimano

la somma S =

P

+∞ k=0

(−1)

k

a

k

per eccesso mentre le somme parziali s

2n+1

approssimano la somma S per difetto.

Inoltre l’errore che si commette approssimando S con s

n

`

e maggiorato dal

Serie a termini di segno variabile: criterio di Leibniz.

Esempio 1.

Esempio

La serie

+∞

X

k=0

(−1)

k

k − 4

k

2

_{+ 1}

`

e convergente.

Traccia.

La successione {a

k

}

k∈N

definita da

a

k

=

k − 4

k

2

_{+ 1}

`

e definitivamente positiva (visto che a

k

> 0 per k > 4) e infinitesima.

Inoltre si verifica facilmente (esercizio) che a

k+1

≤ a

k

per k ≥ 8. Di

Serie a termini di segno variabile: criterio di Leibniz.

Esempio 2.

Esempio

La serie

+∞

X

k=1

(−1)

k

log(1 + sin(1/k))

`

e convergente.

Traccia.

La successione {a

k

}

k∈N

definita da

a

k

= log(1 + sin(1/k))

`

e definitivamente positiva, visto che 0 < 1/k ≤ 1 implica

0 < sin(1/k) < sin(1) e quindi 0 = log(1) < log(1 + sin(1/k)).

Facoltativo. Serie a termini di segno variabile: criterio di

Leibniz. Esempio 3.

Esempio

La serie

+∞

X

k=0

(−1)

k

log(1 + k

2

₎

k

`

e convergente.

Traccia.

La successione {a

k

}

k∈N

definita da

a

k

=

log(1 + k

2

)

k

Facoltativo. Serie a termini di segno variabile: criterio di

Leibniz. Esempio 3.

Osserviamo per 1 + x

2

_{> e}

2

_,

(1 + x

2

) log(1 + x

2

) ≥ (1 + x

2

) log(e

2

) = 2(1 + x

2

)

e quindi

−(1 + x

2

_{) log(1 + x}

2

_{) ≤ −2(1 + x}

2

₎

_{da cui}

d

dx

log(1 + x

2

₎

x

=

2x ·x

1+x

2

− log(1 + x

2

)

x

2

=

2x

2

_{− (1 + x}

2

_{) log(1 + x}

2

₎

x

2

_{(1 + x}

2

₎

≤

2x

2

_{− 2(1 + x}

2

₎

x

2

_{(1 + x}

2

₎

=

−2

x

2

_{(1 + x}

2

₎

< 0

Facoltativo. Serie a termini di segno variabile: criterio di

Leibniz. Esempio 3.

N : 1 e+02 SOMMA : − 0 .2 40 94 80 2 28 70 55 81 6 50 31 69 58 0 75 56 N : 1 e+03 SOMMA : − 0 .2 79 91 51 6 37 24 58 63 5 77 51 88 89 5 42 26 N : 1 e+04 SOMMA : − 0 .2 85 89 89 7 26 40 45 23 8 67 84 20 44 6 37 65 N : 1 e+05 SOMMA : − 0 .2 86 70 48 3 68 97 44 01 9 61 75 06 86 4 96 09 N : 1 e+06 SOMMA : − 0 .2 86 80 61 5 01 22 30 40 9 32 19 58 29 1 00 24 N : 1 e+07 SOMMA : − 0 .2 86 81 83 5 38 16 96 19 1 28 94 35 66 0 11 00 N : 1 e+08 SOMMA : − 0 .2 86 81 97 8 14 19 63 17 6 96 47 79 33 6 23 10

Nella tabella valutiamo la somma

P

+∞

k=0

(−1)

k log(1+k

2

₎

k

per