Serie numeriche
Raul Paolo Serapioni
Analisi Matematica 1 Analisi Matematica A – Primo modulo Corsi di Laurea in Fisica e Matematica
Università di Trento
ottobre 2019
MEMO
Si usa la seguente terminologia e simbologia.
Una serie numerica
∞
X
k =0
a k
è la seguente coppia di successioni:
una successione a 0 , a 1 , a 2 , . . . di numeri reali (o complessi) detti termini o addendi della serie
e la associata successione s 0 , s 1 , s 2 , . . . delle somme parziali della serie
s n := a 0 + a 1 + a 2 + · · · + a n =
n
X
k=0
a k .
MEMO
Definizione
+∞
X
k=0
a k := lim
n→+∞
n
X
k =0
a k , se il limite esiste finito o ±∞.
Tale limite si dice somma della serie.
Se il limite esiste finito la serie P +∞
k=0 a k è convergente.
Se il limite è ±∞ la serie P +∞
k =0 a k è divergente.
La serie è irregolare negli altri casi.
MEMO
Example (La serie ‘telescopica’ di Mengoli)
+∞
X
n=1
1 n(n + 1) è convergente e
+∞
X
n=1
1
n(n + 1) = 1.
MEMO
Example (La serie armonica)
+∞
X
k=1
1
k = 1 + 1 2 + 1
3 + 1
4 + · · · + 1 k + . . . è una serie divergente. Si scrive spesso
+∞
X
k =1
1
k = +∞.
Example ( La serie armonica generalizzata)
+∞
X
k=1
1
k 2 = 1 + 1 4 + 1
9 + 1
16 + · · · + 1 k 2 + . . . è una serie convergente.
Teorema (Eulero 1748)
+∞
X
k=1
1 k 2 = π 2
6
Traccia di prova della convergenza:
Per ogni k ∈ N,
1
(k + 1) 2 < 1 k(k + 1) ne segue che
s n := 1 +
n
X
k=2
1
k 2 < 1 +
n−1
X
k =1
1
k (k + 1) < 2.
Quindi (s n ) n è monotona crescente e limitata dall’alto e quindi
convergente.
Example (Serie a segni alternati) Sono della forma
+∞
X
k=0
(−1) k a k
dove a k ≥ 0 per ogni k ∈ N.
Per queste serie vale il seguente criterio solo sufficiente di convergenza.
Criterio di convergenza "di Leibniz"
Supponiamo che
1
a k ≥ 0 per ogni k ∈ N,
2
a k +1 ≤ a k per ogni k ∈ N,
3