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Serie numeriche

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Academic year: 2021

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(1)

Serie numeriche

Raul Paolo Serapioni

Analisi Matematica 1 Analisi Matematica A – Primo modulo Corsi di Laurea in Fisica e Matematica

Università di Trento

ottobre 2019

(2)

MEMO

Si usa la seguente terminologia e simbologia.

Una serie numerica

X

k =0

a k

è la seguente coppia di successioni:

una successione a 0 , a 1 , a 2 , . . . di numeri reali (o complessi) detti termini o addendi della serie

e la associata successione s 0 , s 1 , s 2 , . . . delle somme parziali della serie

s n := a 0 + a 1 + a 2 + · · · + a n =

n

X

k=0

a k .

(3)

MEMO

Definizione

+∞

X

k=0

a k := lim

n→+∞

n

X

k =0

a k , se il limite esiste finito o ±∞.

Tale limite si dice somma della serie.

Se il limite esiste finito la serie P +∞

k=0 a k è convergente.

Se il limite è ±∞ la serie P +∞

k =0 a k è divergente.

La serie è irregolare negli altri casi.

(4)

MEMO

Example (La serie ‘telescopica’ di Mengoli)

+∞

X

n=1

1 n(n + 1) è convergente e

+∞

X

n=1

1

n(n + 1) = 1.

(5)

MEMO

Example (La serie armonica)

+∞

X

k=1

1

k = 1 + 1 2 + 1

3 + 1

4 + · · · + 1 k + . . . è una serie divergente. Si scrive spesso

+∞

X

k =1

1

k = +∞.

(6)

Example ( La serie armonica generalizzata)

+∞

X

k=1

1

k 2 = 1 + 1 4 + 1

9 + 1

16 + · · · + 1 k 2 + . . . è una serie convergente.

Teorema (Eulero 1748)

+∞

X

k=1

1 k 2 = π 2

6

(7)

Traccia di prova della convergenza:

Per ogni k ∈ N,

1

(k + 1) 2 < 1 k(k + 1) ne segue che

s n := 1 +

n

X

k=2

1

k 2 < 1 +

n−1

X

k =1

1

k (k + 1) < 2.

Quindi (s n ) n è monotona crescente e limitata dall’alto e quindi

convergente.

(8)

Example (Serie a segni alternati) Sono della forma

+∞

X

k=0

(−1) k a k

dove a k ≥ 0 per ogni k ∈ N.

(9)

Per queste serie vale il seguente criterio solo sufficiente di convergenza.

Criterio di convergenza "di Leibniz"

Supponiamo che

1

a k ≥ 0 per ogni k ∈ N,

2

a k +1 ≤ a k per ogni k ∈ N,

3

lim

k →+∞ a k = 0 allora

X

k=0

(−1) k a k è convergente.

Vedi: Teorema 2.12 pag. 440.

(10)

Traccia di prova della convergenza:

Le ipotesi (1) e (2) garantiscono che

s 1 ≤ s 3 ≤ s 5 ≤ · · · ≤ s 6 ≤ s 4 ≤ s 2 ≤ s 0 L’ipotesi (3) implica che

n→+∞ lim |s n+1 − s n | = 0.

Esistono e sono uguali

n→+∞ lim s 2n+1 = lim

n→+∞ s 2n

e conseguentemente si ottiene che esiste finito S := lim

n→+∞ s n .

(11)

Nelle stesse ipotesi possiamo fare la seguente ‘stima dell’errore’.

Se

S =

X

k =0

(−1) k a k

allora

N

X

k=0

(−1) k a k − S

< a N+1 .

(12)

Teorema: condizione necessaria di convergenza di una serie Se

X

n=1

a n è convergente allora lim

n→+∞ a n = 0

(Vedi: Corollario 2.2, pag 431.)

Osservazione La condizione lim

n→+∞ a n = 0 è solo necessaria per la convergenza della serie P

n=1 a n .

(13)

Traccia di prova: Se S := P

k=1 a k allora per ogni ε > 0 esiste n(ε) > 0 tale che ¯

|S −

n

X

k=1

a k | < ε per n > ¯ n(ε).

Quindi, per n > ¯ n(ε),

|a n+1 | =

n+1

X

k=1

a k

n

X

k=1

a k

n+1

X

k=1

a k − S

+

S

n

X

k=1

a k

< 2ε.

(14)

La seguente condizione è necessaria e sufficiente.

Teorema: Condizione di convergenza di Cauchy

+∞

X

k=1

a k è convergente se e solo se

per ogni ε > 0 esiste N (ε) > 0 tale che per ogni m, n, N ≤ m < n, valga

n

X

k=m

a k

= |a m + a m+1 + · · · + a n | < ε.

Vedi: Teorema 2.1, pag 430.

(15)

Teorema: criterio del confronto Se

X

k=1

a k e

X

k=1

b k sono serie a termini non negativi.

Se

0 ≤ a k ≤ b k , per k ∈ N allora

X

k =1

a k divergente =⇒

X

k =1

b k divergente

X

k=1

b k convergente =⇒

X

k =1

a k convergente

Vedi: Teorema 2.4, pag 432 e Corollario 2.5, pag 434.

(16)

Le ipotesi del teorema precedente si possono indebolire:

Teorema: criterio del confronto asintotico (variante 1) Se esistono costanti C > 0 e ¯ N > 0 tali che

0 ≤ Ca k ≤ b k per k = ¯ N, ¯ N + 1, ¯ N + 2, . . . allora

X

k =1

a k divergente =⇒

X

k =1

b k divergente

X

k=1

b k convergente =⇒

X

k =1

a k convergente

(17)

La forma più generale del teorema precedente:

Teorema: criterio del confronto asintotico (variante 2) Se esistono tre costanti 0 < C 1 < C 2 e ¯ N > 0 tali che

0 ≤ C 1 a k ≤ b k ≤ C 2 a k

per k = ¯ N, ¯ N + 1, ¯ N + 2, . . . allora

X

k=1

a k e

X

k=1

b k hanno lo stesso carattere.

(18)

Una variante spesso operativamente più semplice:

Teorema: criterio del confronto asintotico (variante 3) Se 0 < a k e 0 < b k per k > ¯ N e se

0 < lim

k →+∞

a k

b k

< +∞

allora

X

k=1

a k ,

X

k=1

b k hanno lo stesso carattere.

(19)

Sono corollari dei Teoremi del Confronto:

Teorema: criterio della radice Se P +∞

n=1 a n è una serie a termini non negativi (cioè a n ≥ 0) e se

n→+∞ lim

n

a n < 1 allora P +∞

n=1 a n è convergente.

(20)

Teorema: criterio del rapporto Se P +∞

n=1 a n è una serie a termini positivi (cioè a n > 0) e se

n→+∞ lim a n+1

a n

< 1 allora P +∞

n=1 a n è convergente.

Vedi: Teorema 2.6 pag 434 e Teorema 2.8 pag 435.

(21)

Sono pochi i teoremi generali ed elementari sulla convergenza di serie numeriche con termini di segno qualsiasi.

Il seguente teorema fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria di convergenza.

Teorema Se P

n=1 a n è una serie a termini reali (o complessi), allora

X

n=1

|a n | è convergente =⇒

X

n=1

a n è convergente.

Vedi: Teorema 2.11 pag 438

(22)

Definizione Una serie P

n=1 a n , con termini reali o complessi, si dice assolutamente convergente

se è convergente la serie dei valori assoluti P

n=1 |a n |.

Vedi: Definizione 2.2 pag. 439

(23)

Example La serie

X

n=1

(−1) n 1 n α

è assolutamente convergente per α > 1,

è convergente ma non assolutamente convergente per

0 < α ≤ 1.

(24)

Definizione Una serie P

k=0 b k è un riordinamento della serie P

k=0 a k se esiste una applicazione biunivoca j : N → N tale che

a k = b j(k ) . Example

a 1 + a 3 + a 2 + a 5 + a 7 + a 4 + . . . è un riordinamento di a 1 + a 2 + a 3 + . . .

Vedi: Definizione 2.3 a pag 445

(25)

Teorema:

Se una serie è assolutamente convergente allora ogni suo riordinamento è convergente ed ha la stessa somma.

Teorema di Riemann - Dini

Se una serie è convergente ma non assolutamente convergente, allora scelto un qualsiasi S ∈ R esiste un riordinamento della serie data con somma S.

Vedi: Teoremi 2.17 e 2.18 a pag 446

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