FORME D’ONDA PERIODICHE:
Una funzione periodica con periodo To puo’ essere rappresentata come somma di esponenziali complessi con frequenza pari ad un multiplo intero della
frequenza fondamentale fo=1/T0 e con opportuna ampiezza e fase iniziale:
(
)
{
j
k
f
t
}
A
{ } {
j
j
k
f
t
}
A
t
x
o k k k k o kk
exp
2
π
ϑ
exp
ϑ
exp
2
π
)
(
∑
∑
∞ −∞ = ∞ −∞ ==
+
=
Per maggior compattezza delle formule conviene introdurre il coefficiente complesso
{ }
k k kA
j
X
=
exp
ϑ
ottenendo:{
j
k
f
t
}
X
t
x
o k kexp
2
π
)
(
∑
∞ −∞ ==
Sviluppo in serie di Fourier di forme d’onda periodiche (1)
)
(
1
)
2
exp(
)
(
1
/2 2 / o o T T o o kY
k
f
T
dt
t
f
k
j
t
x
T
X
o o=
−
=
∫
−π
Lo sviluppo in componenti armoniche viene detto
serie di Fourier
e gli
X
ksono chiamati
coefficienti della serie di Fourier
. Si puo’ anche scrivere
che la trasformata di Fourier della forma d’onda periodica e’
Le ampiezze e le fasi degli esponenziali complessi (detti
componenti armoniche), cioe’ i coefficienti complessi si trovano
valutando gli integrali
k
A
ϑ
kk
X
Sviluppo in serie di Fourier di forme d’onda periodiche (2)
ovvero basta calcolare la trasformata di Fourier della forma d’onda x(t)
troncata ad un solo periodo, alle frequenze kf
0.
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
o k o o o k k of
k
f
f
k
Y
T
f
k
f
X
T
f
X
=
∑
−
=
∑
−
∞ −∞ = ∞ −∞ =δ
δ
k T T n n o T T n n o T T o
X
dt
t
f
k
n
j
X
T
dt
t
kf
j
t
nf
j
X
T
dt
t
kf
j
t
x
T
o o o o o o=
−
=
=
−
=
−
∫ ∑
∫ ∑
∫
− ∞ −∞ = − ∞ −∞ = − 2 / 2 / 0 2 / 2 / 0 0 2 / 2 / 0)
)
(
2
exp(
1
)
2
exp(
)
2
exp(
1
)
2
exp(
)
(
1
π
π
π
π
Infatti per ogni
n
diverso dak
l’integrale dell’esponenziale complesso e’ nullo in quanto si integra un numero intero di cicli.Se n=k l’integrale dell’esponenziale complesso vale T0 in quanto si integra una costante.
Come si ottengono i coefficienti della serie di Fourier
)
2
exp(
j
nf
0t
X
x(t)
n nπ
∑
∞ −∞ ==
Supponendo valida l’espansione in serie di Fourier
{
}
{
}
{
}
{ }
(
)
{ }
(
)
(
)
∑
∑
∑
∑
∞ = ∞ = ∞ = ∞ −∞ =+
+
=
=
−
+
=
=
−
+
+
=
=
=
1 1 1 *2
cos
2
2
sin
Im
2
cos
Re
2
2
exp
2
exp
2
exp
)
(
k k o k o k o k o k o k o k o k o o k kt
f
k
X
X
t
f
k
X
t
f
k
X
X
t
f
k
j
X
t
f
k
j
X
X
t
f
k
j
X
t
x
ϑ
π
π
π
π
π
π
Se x(t) e’ reale l’espansione in serie di Fourier ha simmetria complessa coniugata (come si verifica facilmente; la proprieta’ e’ analoga a quella della trasformata di Fourier):
( )
k k(
k)
kj
A
j
A
exp
ϑ
=
−exp
−
ϑ
− * k kX
X
=
−Serie di Fourier di segnali reali
La serie di Fourier puo’ essere scritta anche come somma di coseni e seni:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
1
To/2 To/2{
}
{
}
/2
/2
sin
2
1
2
cos
1
2
exp
1
4 / 4 / 4 / 4 /π
π
π
π
k
k
dt
t
f
k
T
dt
t
f
k
j
T
X
o o o o T T o o T T o o k⋅
=
=
−
=
∫
∫
− − kX
k
La componente continua X
0vale 1/2
1/2
t
Un esempio di espansione in serie di Fourier: onda quadra
x(t)
1
sin
lim
0
0
sin
=
→
=
=
x
x
x
x
x
x
dove
-2 -1 0 1 2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 k=0 k=1 k=3 k=5 k=7 k=9
