Compitob scritto 17 feb 2017

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Università degli Studi dell’Aquila - Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile e Ambientale Fisica Generale II - Prova scritta d’esame del 17 febbraio 2017 ore 15:00

Nome e Cognome: ………..……. No. di matricola:….…....…… CFU…………

Si ricorda che le soluzioni dei problemi del compito vanno consegnate usando un UNICO foglio protocollo.

Problema 1

All’interno di una sfera di raggio R posta nel vuoto esiste la densità di carica ! ! = !_!!!

!! dove r = |r| è la distanza del generico punto dal centro della sfera e !_! = !(0) è nota. Determinare:

a) La carica totale della sfera. (punti 2)

b) Il campo elettrico e il potenziale in tutto lo spazio. (punti 4)

c) Il valore della densità superficiale di carica ! uniforme da disporre sulla superficie della sfera di raggio R affinché il campo elettrico all’esterno di tale sfera risulti nullo. (punti 4)

Problema 2

Un circuito elettrico è costituito da tre resistori (R1 = 100 ohm, R2 = 400 ohm, R3 = 500 ohm) e due

condensatori (C1 = 200 nF, C2 = 1.00 µF) collegati

come in figura ad un generatore di differenza di potenziale V0 = 10.0 V.

a) Quanto vale la corrente I erogata dal generatore in condizioni stazionarie? (punti 2)

b) Quanto vale l’energia elettrostatica UE nei

due condensatori in condizioni stazionarie? (punti 4)

c) La resistenza R3 viene scollegata dal circuito (in pratica interrompendo il collegamento

nel punto A di figura). Dopo aver atteso un tempo sufficientemente lungo affinché sia raggiunta una nuova condizione stazionaria, quanto vale la carica Q2 accumulata nel

condensatore C2? (punti 4)

Problema 3

Un solenoide infinito ha una densità di spire per unità di lunghezza pari ad n e raggio R. All’interno del solenoide è inserita una

piccola spira quadrata di lato a e resistenza Rs che può ruotare

attorno ad un asse perpendicolare a quello del solenoide. Inizialmente il piano della spira è perpendicolare all’asse del solenoide.

Determinare:

1) L’intensità della corrente da fornire al solenoide affinché il campo al suo interno sia pari a B0. (1 punto)

2) Il coefficiente di mutua induzione tra il solenoide e la spira (3 punti)

3) La carica che ha percorso la spira nella fase di accensione del solenoide (3 punti)

4) La spira viene poi messa in rotazione con velocità angolare ω. Calcolare il valore massimo della forza elettromotrice indotta nella spira e la potenza istantanea dissipata nella spira (3 punti) Dati: R=20 cm, n=1000 spire/m, Rs=10Ω, B0= 0.3T, a=4cm, ω=400rad/s

A X

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Soluzioni Problema 1

La carica totale all’interno della sfera si ottiene integrando la densità di carica ρ sul volume della

sfera: ! = 4! !!_{!"# = 4!!} ! !! 5 ! !

Essendo la carica distribuita nel volume dotata di simmetria sferica, il campo elettrico E r è in

_{( )}

ogni punto radiale e dipendente solo dalla distanza dal centro:

( )

=E r

( )

ˆr

E r e

essendo ˆe il versore radiale delle coordinate sferiche. Per determinare _r E r si può quindi

_{( )}

utilizzare il teorema di Gauss utilizzando come superficie gaussiana una sfera Σ arbitraria di raggio r: ( ) ( ) 3 ( ) 0 Q r ˆ dS Q r d Σ Σ ⋅ = = ρ ε

∫

n E

∫

r r

in cui Q r è la carica contenuta all’interno di una sfera di raggio r. Dunque:

_{( )}

! ≤ ! ! ! = !! !!! !! !! ! > ! ! ! = !! !!! !! !! ! ≤ ! ! ! = − !! 5!_! !! !! !" − !_! 5!_! !! !!!" = !_!!! 5!_! 5 4− !! 4!! ! ! ! ! ! > ! ! ! =!!!! 5!_! 1 ! Una densità superficiale di carica uniforme σ disposta sulla sfera di raggio R genera il campo elettrico:

( )

E r

( )

ˆr σ = σ E r e in cui:

( )

2 2 0 0 r R E r R r R r σ ≤ ⎧ ⎪ =⎨ σ > ⎪ ε ⎩

Ovvero all’interno della sfera tale campo è nullo ed all’esterno esso è pari a quello di una carica puntiforme di valore _{4 R}2

π σ e posta nel centro della sfera. Dunque, affinché il campo complessivo

si annulli all’esterno della sfera sarà sufficiente richiedere: ! > ! ! ! + !_! ! = 0 ! !_! !! !! = − !_! 5!_! !! !! ! = − !_! 5 !

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Problema 2

a) V0/(R1+R2+R3) = 10.0 mA

b) UE= (C1/2)V12+(C2/2)V22= (C1/2)(V0-R1I)2 + (C2/2)(V0-(R1+R2)I)2=2.06 10-5J

c) Non c’è flusso di corrente nel circuito, per cui non c’è alcuna caduta di tensione nelle

resistenze e la differenza di potenziale ai capi di C2 uguaglia V0: Q2= C2V0 = 1.00 10-5 C

Problema 3

1) Essendo per un solenoide: B=μ0nI, si ricava: I=B0/μ0n = 240 A

2) ! =!_! = !! !" !!

! = !! !!

! _{= 2×10}!!_{! considerando che il campo B è uniforme sulla}

superficie della spira quadrata.

3) La corrente indotta nella spira vale: !_! = _!! ! =

! !!

!"

!" con , M coefficiente di mutua induzione

spira-solenoide. Pertanto ! = _!!!_!!"= ! !! !" = ! ! ! !!! = 48!"

4) La forza elettromotrice indotta nella spira è: ! = −!"_!" = !!!_!"#$!%;

!_!"# = !!!_{! = 0.19!. La potenza istantanea dissipata è data da: P = V!}

! = (!!

!_!"#$!%)!