Determinare la carica elettrica, in coulomb, complessivamente presente all’interno di una sfera di raggio 1.81 m centrata nell’origine

Testo n. 0 - Cognome e Nome:

UNIVERSIT `A DEGLI STUDI DI PISA - FACOLT `A DI INGEGNERIA INGEGNERIA AEROSPAZIALE: CORSO DI FISICA E ELETTRONICA

INGEGNERIA DELLA SICUREZZA INDUSTRIALE E NUCLEARE:

CORSO DI ELETTROMAGNETISMO Prova n. 2 - 19/11/2005

Negli esercizi seguenti le coordinate polari sferiche vengono indicate con i simboli r,θ,φ, dove r `e la distanza dall’origine, θ `e l’angolo polare (colatitudine) e φ `e l’azimut; le coordinate cilindriche vengono indicate con i simboli ρ,φ,z, dove ρ `e la distanza dall’asse polare, φ `e l’azimut e z `e la quota; le coordinate cartesiane vengono indicate con i simboli x,y,z. Quando pi`u tipi di coordinate sono usati nello stesso esercizio, salvo avviso contrario i diversi sistemi sono associati nel modo usuale: origini coincidenti, assi polari coincidenti tra loro e coincidenti con l’asse z, origine degli azimut coincidente con il semiasse x > 0, ecc.

1) Si consideri il seguente campo elettrico definito in funzione del vettore posizione r dopo aver fissato un’origine: E = kr, con k = 6.31 V/m². Determinare la carica elettrica, in coulomb, complessivamente presente all’interno di una sfera di raggio 1.81 m centrata nell’origine.

A 0 B 2.36 × 10⁻⁹ C 4.16 × 10⁻⁹ D 5.96 × 10⁻⁹ E 7.76 × 10⁻⁹ F 9.56 × 10⁻⁹

2) Si consideri lo stesso campo elettrico del problema precedente 1). Determinare la carica elettrica, in coulomb, complessivamente presente all’interno di un cubo di lato 1.12 m con un vertice nell’origine.

A 0 B 2.35 × 10⁻¹⁰ C 4.15 × 10⁻¹⁰ D 5.95 × 10⁻¹⁰ E 7.75 × 10⁻¹⁰ F 9.55 × 10⁻¹⁰

3) In una certa regione di spazio `e dato un campo elettrostatico. In un sistema di coordinate sferiche, la regione di spazio `e identificata dalle seguenti relazioni: ra ≤ r ≤ r_b, θa ≤ θ ≤ θ_b, φa ≤ φ ≤ φ_b, con ra= 1.00 m, r_b = 2.00 m, θa = 0.500 rad, θ_b = 1.00 rad, φa= 0.500 rad, φ_b = 1.00 rad. Il campo elettrico

`

e definito da: E = E_θ(r)ˆe_θ, con E_θ(r) = k/r e k = 11.3 V. Determinare la differenza di potenziale, in volt, tra la superficie θ = θa e quella θ = θb.

A 0 B 2.05 C 3.85 D 5.65 E 7.45 F 9.25

4) In un sistema di coordinate cartesiane `e dato il potenziale elettrostatico seguente: V = V₀cos kx, con V0 = 98.1 V e k = 8.85 m⁻¹. Determinare il modulo del campo elettrico, in V/m, in un punto di ascissa x = π/(2k).

A 0 B 148 C 328 D 508 E 688 F 868

5) Nel caso del potenziale del problema precedente 4), si consideri una particella di massa 7.02 g e carica 5.41 × 10⁻⁵ C, vincolata a muoversi senza attrito lungo l’asse x. La particella si trova inizialmente nella posizione A di ascissa x = π/(2k) e viene lanciata nel verso delle ascisse positive con la minima velocit`a necessaria a farle raggiungere la posizione B di ascissa x = 3π/k. Determinare la velocit`a della particella, in m/s, quando passa per il punto B.

A 0 B 1.74 C 3.54 D 5.34 E 7.14 F 8.94

6) Determinare l’energia di configurazione, in joule, di una distribuzione di carica superficiale cos`ı costituita:

una carica di 4.46 × 10⁻⁵ C `e uniformemente distribuita su una superficie sferica di raggio 1.25 m, mentre una carica di 4.24 × 10<sup>−5</sup> C `e uniformemente distribuita su una superficie sferica concentrica alla precedente e di raggio 5.93 m.

A 0 B 11.4 C 29.4 D 47.4 E 65.4 F 83.4

7) Quattro particelle identiche, ciascuna con massa 4.36 g e carica 4.65 µC, si trovano inizialmente ferme ai vertici di un quadrato di lato 4.80 cm. Le particelle vengono lasciate libere di muoversi nel vuoto sotto la sola azione delle reciproche forze elettriche. Determinare la velocit`a asintotica, in m/s, di ciascuna di esse, cio`e la velocit`a che possiedono quando si trovano a grandissima distanza l’una dall’altra.

A 0 B 14.1 C 32.1 D 50.1 E 68.1 F 86.1

8) La geometria di un condensatore `e descritta in un sistema di coordinate cilindriche. Le armature sono identificate dalle relazioni 2 cm ≤ ρ ≤ 10 cm, 0 ≤ z ≤ 10 cm e φ = 0 per la prima armatura, φ = 10 mrad per la seconda armatura. Dopo aver caricato il condensatore si osserva che, trascurando effetti di bordo, il campo elettrico all’interno del condensatore `e E = E_φ(ρ)ˆe_φ, con E_φ(ρ) = k/ρ e k = 457 V. Determinare la carica, in pC, sul condensatore.

A 0 B 111 C 291 D 471 E 651 F 831

9) Nel caso del problema precedente 8), determinare la capacit`a del condensatore in pF.

A 0 B 143 C 323 D 503 E 683 F 863

10) Nel caso del problema 8), determinare l’energia, in nJ, immagazzinata nel condensatore.

A 0 B 1.49 C 3.29 D 5.09 E 6.89 F 8.69

Testo n. 0