Integrali

Università degli Studi di Teramo

Facoltà di Scienze Politiche

Corso di Laurea in Statistica

Lezioni del Corso di Matematica

a cura di

D. Tondini

CAPITOLO I

GLI INTEGRALI

1. GENERALITÀ

Definizione di integrale definito per una funzione di una variabile (secondo Cauchy-Riemann). Sia y= f x

( )

una funzione definita nell'intervallo chiuso

[ ]

a b, . Si suddivida tale intervallo in un numero n qualunque di intervalli parziali mediante gli n−1 punti

1, , ..., 2 n1

x x x₋ con

0 1 2 ... n 1 n

a≡x <x <x < <x₋ <x ≡b

Si indichi con f_r uno qualunque dei valori assunti dalla funzione f x

( )

nell'intervallo parziale

[

xr−1, xr

]

per r=1, 2, ..., n. Posto:

1 r r r x −x₋ =h si costruisca la somma: 1 n r r r h f =

∑

Si consideri ora il seguente limite:

0 1 lim n r r r h f θ→

∑

₌

dove θ è il massimo degli h_r.

Se tale limite esiste ed è finito allora si dice che la f x

( )

è integrabile nell'intervallo

[ ]

a b, . Il limite considerato rappresenta proprio l'integrale definito della f x

( )

in

[ ]

a b, e lo si indica con il simbolo:

(1)

( )

b

a

f x dx

∫

Gli estremi a e b dell'intervallo sono detti rispettivamente estremo inferiore ed estremo superiore dell'integrale definito; la funzione f x

( )

è detta funzione integranda ed x rappresenta la variabile di integrazione.

Osservazione 1. La funzione f x

( )

non è integrabile in

[ ]

a b, se il predetto limite non esiste oppure se è infinito (uguale a ±∞).

Osservazione 2. La variabile di integrazione x può essere sostituita da una qualsiasi altra lettera, ad esempio t, u, v , etc. a patto che il simbolo (1) venga sostituito rispettivamente da:

( )

b a f t dt

∫

,

( )

b a f u du

∫

,

( )

b a f v dv

∫

, etc.

Condizione necessaria per l'integrabilità. Condizione necessaria (non sufficiente)

affinché una funzione f x

( )

definita in un intervallo

[ ]

a b, sia ivi integrabile è che la

( )

f x sia limitata in

[ ]

a b, . In altre parole se la funzione f x

( )

non è limitata in

[ ]

a b, essa non è integrabile in

[ ]

a b, ; se, invece, è limitata allora essa può essere integrabile in

[ ]

a b, .

ESEMPI

La funzione di Dirichlet definita da:

( )

1 per razionale 0 per irrazionale x f x x  =  

con 0≤ ≤x 2, non è limitata e non è integrabile secondo Riemann. Analogamente la funzione definita da:

( )

1 0 25 0 x f x x x  _≠  =   ₌ 

non è né limitata né integrabile secondo Riemannn.

Condizione necessaria e sufficiente di integrabilità. Condizione necessaria e sufficiente

affinché una funzione f x

( )

definita e limitata in un intervallo

[ ]

a b, sia ivi integrabile è che, fissato ad arbitrio un numero ε>0 si possa determinare in corrispondenza un numero

0

ε

θ > tale che, qualunque sia la decomposizione di

[ ]

a b, in intervalli parziali

[

xr−1, xr

]

,

con r=1, 2, ..., n ed a≡x₀<x₁<x₂< ... <x_n−1<x_n ≡b (tutti di lunghezza minore di

ε

θ ) e denotati con e_r ed E_r rispettivamente l'estremo inferiore e l'estremo superiore della

( )

f x in

[

xr−₁, xr

]

, risulti: 1 n r r r h ε = Ω <

∑

ovvero: 0 1 lim 0 n r r r h ε θ→

∑

₌ Ω =

ove h_r =x_r −x_r−1, Ω =_r E_r−e_r, per con r=1, 2, ..., n.

Osservazione. Se la funzione f x

( )

è integrabile in

[ ]

a b, allora è integrabile in ogni intervallo

[ ]

c d, contenuto in

[ ]

a b, .

Dalla condizione di integrabilità di Riemann discendono i seguenti Teoremi.

Teorema 1. Se la f x

( )

è continua in

[ ]

a b, allora è ivi integrabile secondo Riemann (condizione sufficiente e non necessaria di integrabilità).

Teorema 2. Se la f x

( )

è limitata in

[ ]

a b, ed ivi presenta un numero finito di punti di discontinuità allora è integrabile secondo Riemann (condizione sufficiente e non necessaria di integrabilità).

Teorema 3. Se la f x

( )

è monotona in

[ ]

a b, allora è ivi integrabile secondo Riemann (condizione sufficiente e non necessaria di integrabilità).

2. PROPRIETÀ DELL'INTEGRALE DEFINITO

Sia f x

( )

una funzione integrabile in

[ ]

a b, . Allora:

(1)

( )

0 a a f x d x=

∫

(2)

( )

0

( )

0 b a f x dx= ⇔ f x ≡

∫

(3)

( )

( )

a b b a f x dx= − f x d x

∫

∫

(4) b a dx= −b a

∫

(5)

(

)

b b a a c dx⋅ =c dx c b a= −

∫ ∫

con c costante (6)

( )

( )

(

)

b b a a c f x dx⋅ =c f x dx c b= −a

∫

∫

con c costante (7)

( )

( )

( )

b c b a a c f x dx= f x dx+ f x dx

∫

∫

∫

con a < c < b

( )

( )

b b

a a

f x dx ≤ f x dx

∫

∫

(9) Se f1

( ) ( )

x , , ..., f2 x fn

( )

x sono funzioni integrabili in

[ ]

a b, allora anche la

funzione:

( )

1

( )

2

( )

+ ... n

( )

F x = f x +f x +f x è integrabile in

[ ]

a b, e risulta:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 2 ... ... 1 2 b b b b n n a a a a f x + f x + + f x dx= f x dx+ f x dx+ + f x dx    

∫

∫

∫

∫

(10) Se f x

( )

e g x

( )

sono funzioni integrabili in

[ ]

a b, allora anche la funzione:

( )

( ) ( )

F x = f x g x⋅ è integrabile in

[ ]

a b, .

Osservazione. Non esiste una regola analoga a quella della somma che consenta di calcolare immediatamente l'integrale di un prodotto. In tal caso, infatti, occorrerà ricorrere ad alcune formule di integrazione che verranno analizzate nel seguito.

(11) Se f x

( )

e g x

( )

sono funzioni integrabili in

[ ]

a b, allora anche la funzione:

( )

f x

( )

_{( )}

F x g x = , g x

( )

≠0 è integrabile in

[ ]

a b, . ESEMPI α) 1 1 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 0 3 3 3 x dx= x = ⋅ − ⋅ =

∫

β) 1 1 0 dx 0 + − ⋅ =

∫

qualunque siano gli estremi a e b dell'intervallo di partenza

γ)

( )

2 2 4 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 15 2 1 16 1 4 4 4 4 4 4 4 4 x dx x − − = = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ = − =

∫

Scambiando gli estremi d'integrazione si ha:

( )

1 1 4 3 4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 15 1 2 1 16 4 4 4 4 4 4 4 4 x dx x − − = = ⋅ − − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = −

∫

δ) 1 1 2 2 1 2 1 dx=x = − = −

∫

δ') 1 1 1 1 1 1 2 dx x₋ − = = + =

∫

ε) 1 1 2 2 2⋅dx=2x = ⋅ − ⋅ = − = −2 1 2 2 2 4 2

∫

ζ)

(

)

(

)

( )

1 1 1 3 1 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 14 1 2 1 8 7 5 5 5 3 15 15 15 15 15 x x dx= x dx= ⋅ = ⋅x = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = −

∫

∫

η) 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 2 2 2 4 2 4 x x xdx= xdx+ xdx= + = ⋅_ − + ⋅ −_ _ _=    

∫ ∫ ∫

1 3 1 15 3 15 12 3 2 4 2 4 8 8 8 2     = ⋅ −_{ }+ ⋅_{ }= − + = =    

Si poteva pervenire allo stesso risultato procedendo più semplicemente come segue:

2 2 2 1 1 4 1 3 2 2 2 2 x x dx⋅ = = − =

∫

θ) 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 14 14 5 5 5 3 15 15 x x dx = x dx = ⋅ = − =

∫

∫

1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 14 14 5 5 5 3 15 15 x x dx= x dx= ⋅ = − =

∫

∫

Osservazione. Si noti che può essere integrabile f x e non la

( )

f x

( )

, come accade per la funzione:

( )

1 per razionale 1 per irrazionale x f x x  = ₋  con a≤ ≤x b. ι)

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 x x x − x+ dx= x dx+ − x dx+ dx= − ⋅ +x =

∫

∫ ∫

∫

8 1 2 2 1

(

2 1

)

7 2 3 1 7 2 1 3 3 2 3 2 3 3     =_ − _− ⋅ − + − = − ⋅ + = − =_{ }     κ) Poniamo:

( )

2 f x =x e g x

( )

=x Ne segue che:

( ) ( )

( )

2 2 2 4 2 3 0 0 0 4 0 4 4 b a x f x g x dx⋅ = x ⋅x dx= x dx = = − = ≠

∫

∫

∫

( )

( )

2 2 2 2 3 2 2 0 0 0 0 8 16 2 3 2 3 3 b b a a x x f x dx g x dx x dx xdx ≠

∫

⋅

∫

=

∫ ∫

⋅ = ⋅ = ⋅ =

In generale, quindi, l'integrale del prodotto è diverso dal prodotto degli integrali. κ') Analogamente, se poniamo:

( )

2 f x =x e g x

( )

=x allora si ha:

( )

( )

( )

( )

2 2 2 3 2 2 2 2 2 0 0 2 ₂ 2 0 0 0 0 0 8 3 ₃ 8 2 2 2 6 2 b b a b a a f x d x x dx x f x x x dx dx xdx g x x _x g x dx xdx = = = = ≠

∫

=

∫

= = =

∫

∫ ∫

∫

∫

ovvero l'integrale del quoziente di due funzioni è diverso dal quoziente degli integrali. Sussistono, inoltre, per gli integrali definiti i seguenti Teoremi.

Teorema della media. Se f x

( )

è una funzione integrabile in

[ ]

a b, allora risulta:

(α)

( )

(

)

b

f x dx=µ b−a

essendo µ un opportuno valore compreso tra l'estremo inferiore e e l'estremo superiore E della f x

( )

in

[ ]

a b, .

Il precedente Teorema può essere anche generalizzato come segue:

Teorema della media generalizzato. Se f x

( )

e g x

( )

sono due funzioni integrabili in

[ ]

a b, ed è g x

( )

≥0 oppure g x

( )

≤0, allora risulta:

(β)

( ) ( )

( )

b b a a f x g x dx⋅ =µ g x dx    

∫

∫

essendo µ un opportuno valore compreso tra l'estremo inferiore e e l'estremo superiore E della f x

( )

in

[ ]

a b, .

Osservazione. Se nella (α) si pone g x

( )

=1 si ottiene proprio la (β).

Corollario 1. Se f x

( )

è una funzione integrabile in

[ ]

a b, ed è ivi positiva (negativa), allora risulta:

( )

( )

0 b a f x dx≥ ≤

∫

Corollario 2. Se f x

( )

e g x

( )

sono due funzioni integrabili in

[ ]

a b, ed è f x

( )

≥g x

( )

allora:

( )

( )

b b a a f x dx≥ g x dx

∫

∫

Definizione. Sia y= f x

( )

una funzione integrabile nell'intervallo

[ ]

a b, , ovvero integrabile in ogni intervallo

[ ]

a x, , essendo x un generico punto di

[ ]

a b, . Allora la funzione:

( )

( )

x

a

F x =

∫

f t dt

è detta funzione integrale della f x

( )

in

[ ]

a b, relativa al punto a.

Osservazione. In luogo dell'estremo a è possibile considerare un altro punto qualunque x₀ di

[ ]

a b, .

Teorema. Se la funzione f x

( )

è integrabile in

[ ]

a b, allora la F x

( )

risulta continua in

[ ]

a b, .

Teorema fondamentale del calcolo integrale. La funzione F x

( )

è derivabile in ogni punto x dove la f x

( )

è continua ed in tali punti risulta:

( )

( )

'

F x = f x

Osservazione. Se la f x

( )

è continua allora la F x'

( )

esiste sempre.

3. SIGNIFICATO GEOMETRICO DELL'INTEGRALE DEFINITO

Sia y= f x

( )

una funzione definita nell'intervallo

[ ]

a b, ed ivi continua e non negativa. Sia inoltre Γ la sua rappresentazione grafica in un riferimento cartesiano ortogonale Oxy:

La curva Γ, le retta x a= , x=b ed il segmento a≤ ≤x b dell'asse x delimitano una parte di piano T che, per la sua forma, si chiama trapezoide o rettangoloide.

Ci proponiamo ora di determinare l'area di T. Dividendo l'intervallo

[ ]

a b, in un numero qualunque n di intervalli parziali di uguale lunghezza mediante i puntix₁, , ..., x₂ x_n−1 con

0 1 2 ... n 1 n

a≡x <x <x < <x₋ <x =b. Osserviamo, in primo luogo, che la lunghezza di ciascun intervallo parziale è uguale a b a

n − . xn x2 x1 x0 = a xn−1 An−1 An A2 A1 A O A'n−1 _A' n A'2 A'1 A' A'' A1''' A2'' A1'' A''n−1 A''n T Γ y x

Posto b a h n

− = e denotati con m_r ed M_r rispettivamente il minimo ed il massimo assoluto della f x

( )

nell'intervallo

[

xr−1, xr

]

(

r=1, 2, ..., n

)

, consideriamo le seguenti

somme: 1 2 1 ... n n n r r S m h m h m h m h = = + + + =

∑

(somma delle aree dei rettangoli ' '' ' ' ' ' 1 1, , ..., 1 1 2 2 n 1 n 1 n n A A A A A A A A A₋A₋A A ) ' 1 2 1 ... n n n r r S M h M h M h M h = = + + + =

∑

(somma delle aree dei rettangoli '' ''' '' '' '' '' 1 1, , ..., 1 1 2 2 n 1 n1 n n

A A A A A A A A A₋A₋ A A) Si indichi inoltre con T₁ il plurittangolo inscritto in T e con T₂ quello circoscritto a T. Osservato che T₁ è contenuto in T e che T₂ contiene T risulta naturale considerare, qualunque sia n, S_n ed '

n

S come valori approssimati rispettivamente per difetto e per eccesso dell'area A di T, cioè:

'

n n

S ≤ A ≤S per cui poniamo, per definizione:

(1)

( )

b a f x d x =

∫

A

Se, invece, la f x

( )

, definita in

[ ]

a b, , è ivi continua e non positiva allora:

(2)

( )

b a f x dx = −

∫

A A B y x O a b A' B' Γ T

Se, poi, la f x

( )

, definita in

[ ]

a b, , è ivi continua ed inoltre è non negativa in

[ ]

a c, e non positiva in

[ ]

c b,

(

a< <c b

)

, allora: (3)

( )

( )

c b a c f x d x f x dx =

∫

−

∫

A

Se f x

( )

e g x

( )

sono due funzioni definite in

[ ]

a b, ed ivi continue e se ∀ ∈x

[ ]

a b, risulta f x

( )

≥ g x

( )

, allora: (4)

( )

( )

( ) ( )

b b b a a a f x d x g x d x f x g x dx =

∫

−

∫

=

∫

_ − _ A

avendo indicato con Γ₁ e Γ₂ rispettivamente le curve di equazione y= f x

( )

ed

( )

y= g x . O a c b x B A C B' A' T T T Γ y x y O a b B A D C T Γ1 Γ2

Se, inoltre, f x

( )

e g x

( )

sono funzioni definite e continue in

[ ]

a b, e se f x

( )

≥ g x

( )

,

[ ]

, x a c ∀ ∈ , ed f x

( )

≤ g x

( )

, ∀ ∈x

[ ]

c b,

(

a< <c b

)

, allora:

( ) ( )

( ) ( )

c b a c f x g x dx g x f x dx =

∫

_ − _ +

∫

_ − _ A

4. PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE: INTEGRALE INDEFINITO

Sia y= f x

( )

una funzione definita nell'intervallo

[ ]

a b, .

Definizione. Una funzione Φ

( )

x , definita in

[ ]

a b, e tale che Φ' x

( )

= f x

( )

, ∀ ∈x

[ ]

a b, , si dice primitiva della f x

( )

in

[ ]

a b, .

Osservazione 1. Se Φ

( )

x è una primitiva di f x

( )

, allora lo è anche Φ

( )

x +c, dove c è una costante arbitraria; viceversa, una qualsiasi primitiva Φ₁

( )

x di f x

( )

è necessariamente del tipo Φ

( )

x +c (la derivata di Φ1

( ) ( )

x −Φ x è nulla ∀ ∈x

[ ]

a b, per cui

tale differenza è costante in tutto

[ ]

a b, ).

Osservazione 2. Se y= f x

( )

è continua, allora:

a) la funzione integrale F x

( )

che, per definizione esiste sempre, è integrabile; b) la funzione primitiva Φ

( )

x esiste (si osservi che qualora la f x

( )

non sia

continua non è detto che la primitiva esiste); c) F x'

( )

e Φ' x

( )

sono uguali a meno di una costante

Γ1 Γ2 y x O a c b A D C E B

Osservazione 3. Alle volte si pone la seguente:

Definizione. Se la funzione f x

( )

è dotata di primitiva Φ

( )

x in

[ ]

a b, , allora l'insieme delle funzioni Φ

( )

x +c, con c costante arbitraria, primitive della f x

( )

in

[ ]

a b, , rappresenta proprio l'integrale indefinito della f x

( )

e lo si indica con il simbolo:

(1)

∫

f x d x

( )

Per definizione risulta, quindi:

( )

( )

f x dx=Φ x +c

∫

Pertanto se f x

( )

è continua oppure è dotata di primitiva ed è integrabile in

[ ]

a b, , il simbolo (1) è esattamente quello di cui ci siamo occupati fino ad ora; se, invece, f x

( )

è dotata di primitiva ma non è integrabile in

[ ]

a b, , allora la (1) non è altro che l'insieme

( )

x c Φ + .

5. TABELLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

(1)

∫

0 dx⋅ =c con c = costante (2)

∫

dx= +x c (3) 1 1 1 n n x dx x c n + = + +

∫

con n ≠−1 (4) dx 2 x c x = +

∫

(5)

∫

sinxdx= −cosx c+ (6)

∫

cosxdx=sinx c+ (7) ₂ tg cos dx x c x= +

∫

(8) ₂ ctg sin dx x c x= − +

∫

(9) 2 arcsin arccos 1 x c dx x c x +  = _{− +}  −

∫

(10) ₂ arctg arcctg 1 x c dx x c x +  = _{− +} + 

∫

(11) dx logx c x = +

∫

(12)

∫

e dxx = +ex c (13) log x x a a dx c a = +

∫

6. PRINCIPALI REGOLE DI INTEGRAZIONE

(14)

∫

k f x dx⋅

( )

= ⋅k

∫

f x dx

( )

(15)

( )

'

( )

1

( )

1 1 n n f x f x dx f x c n + ⋅ = ⋅ +       ₊  

∫

con n ≠−1 (16)

( )

( )

( )

' 2 f x dx f x c f x = +

∫

(17)

∫

sin f

( ) ( )

x⋅ f' x dx= −cosf x

( )

+c (18)

∫

cosf

( ) ( )

x⋅f' x dx=sin f x

( )

+c (19)

( )

( )

( )

2 ' tg cos f x dx f x c f x = +

∫

(20)

( )

( )

( )

2 ' ctg sin f x dx f x c f x = − +

∫

(21)

( )

( )

( )

( )

2 arcsin ' arccos 1 f x c f x dx f x c f x  +  = _{− +}  − _ _

∫

(22)

( )

( )

( )

( )

2 arctg ' arcctg 1 f x c f x dx f x c f x  +  = −_ + + _ _ 

∫

(23)

( )

( )

( )

' log f x dx f x c f x = +

∫

(24)

∫

ef x( )⋅f '

( )

x dx=ef x( )+c (25) ( )

( )

( ) ' log f x f x a a f x dx c a ⋅ = +

∫

ESEMPI (3) α) 3 1 3 1 1 4 3 1 4 x dx= x+ + =c x +c +

∫

β) 2 2 2 1 3 3 1 5 2 2 2 2 1 2 1 1 3 5 1 2 2 x x dx dx x dx x dx x c x c x _x − + = = = = + = + = +

∫ ∫ ∫

∫

2 52 2 5 2 2 5x c 5 x c 5x x c = + = + = + γ)

(

_x2⋅3 _{x dx}

)

=

( )

_x2⋅_x13 _dx= _x2+13_dx= _{x dx}73 =

∫

∫

∫

∫

1 73 1 1 103 33 10 3 3 3 7 10 10 10 1 3 3 x + c x c x c x x c = + = + = + = + + (14) α) 3 3 4 4 2 2 2 4 2 x x x dx= x dx= ⋅ + =c +c

∫

∫

risultando k=2 ed f x

( )

=x3 β) 4 dx 4 1 dx 4 2 x c 8 x c x = x = ⋅ + = +

∫

∫

=

( )

₌ 1

(15) α)

(

)

4 1

(

)

4 1 1

(

)

5 1 1 1 4 1 5 x dx x + c x c + = + + = + + +

∫

essendo n= ≠ −4 1, f x

( )

= +1 x ed f'

( )

x =1 β)

(

)

1

(

)

1 1

(

)

3 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 3 1 2 2 x+ dx= x+ dx= x+ + + =c x+ + =c +

∫

∫

2

(

2 1

)

3 2

(

2 1

)

2 1 3 x c 3 x x c = + + = + + + essendo 1 1 2 n= ≠ − , f x

( )

=2x+1 ed f'

( )

x =2 γ) 1 2

sin cos sin

2

x xdx= x c+

∫

essendo n= ≠ −1 1, f x

( )

=sinx ed f'

( )

x =cosx

δ) 4

(

)

4 1

(

)

4 1 1 5

sin cos sin cos sin sin

4 1 5

x xdx= x xdx= x + + =c x c+

+

∫

∫

essendo n= ≠ −4 1, f x

( )

=sinx ed f'

( )

x =cosx

ε) 2

(

)

2 1

(

)

2 1 1 3

cos sin cos sin cos cos

2 1 3

x xdx= x xdx= − x + + = −c x c+

+

∫

∫

essendo n= ≠ −2 1, f x

( )

=cosx ed f'

( )

x = −sinx (16) α) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 x x x dx dx dx x c x − = x − = x − = ⋅ − + =

∫

∫

∫

= x2− +1 c

osservando che x risulta, a meno del fattore 2, la derivata di f x

( )

= −x2 1

β) 2 2 3 3 3 3 3 1 3 1 2 1 1 2 2 2 1 1 x x dx dx x c x c x = x = − ⋅ − + = − − + − −

∫

∫

osservando che 3x2 risulta, a meno del fattore −1, la derivata di f x

( )

= −1 x3 (17) + (18)

α)

( )

2

( )

2

sin 2x ⋅4xdx= −cos 2x +c

∫

β) cos2 2cos2 1 2cos2 1sin2 2 2 2 x xdx= dx= xdx= x c+

∫

∫

∫

dove f x

( )

=2x ed f'

( )

x =2 γ) 3 4 4 3cos 4 1 3 4 1 4

cos 4 cos sin

4 4 4 x x x x dx= dx= x x dx= x +c

∫

∫

∫

dove f x

( )

=x4 ed f'

( )

x =4x3 δ) 3 4 4 3sin 4 1 3 4 1 4

sin 4 sin cos

4 4 4 x x x x dx= dx= x x dx= − x +c

∫

∫

∫

dove f x

( )

=x4 ed f'

( )

x =4x3 (19) + (20) α) 3₂ tg3 cos 3xdx= x c+

∫

essendo f x

( )

=3x ed f'

( )

x =3 β) 2 2 2 1 3 1 3 tg3 3

cos 3xdx= 3cos 3x = cos 3x= x c+

∫

∫

∫

osservando che 1 risulta, a meno del fattore 3, la derivata di f x

( )

=3x

γ)

( )

( )

( )

( )

2 2 2

1 1 1

ctg

sin x dx sin x dx sin x dx x c

− −

= = − = − −_ − _+ =

− − − −

∫

∫

∫

=ctg

( )

− +x c

osservando che 1 risulta, a meno del fattore −1, la derivata di f x

( )

= −x (21) + (22) α)

( )

( )

2 4 ₂ 2 ₂ 2 2 1 2 1 arcsin 2 2 1 _{2 1 1} x x x dx dx dx x c x = _x = _x = + − _{− −}

∫

∫

∫

essendo x, a meno del fattore 2, la derivata di f x

( )

=x2 β)

(

)

2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 dx dx dx x x x x x x = = = − − + − − − +

∫

∫

∫

(

)

2

(

)

1 arcsin 1 1 1 dx x c x = = − + − −

∫

essendo f x

( )

= −x 1 ed f'

( )

x =1

γ)

( )

( )

2 2 2 1 1 5 1 25+ x dx= _{1+ 5x} dx= _{5 1} _{+ 5x} dx=  

∫

∫

∫

( )

2 1 5 1 arctg5 5 1 5x dx 5 x c = = + +

∫

essendo 1, a meno del fattore 5, la derivata di f x

( )

=5x δ)

(

)

2 2 2 2 1 9 1 9 1 1 9 9 9 9 9 9 1 3 dx dx dx dx x = x = x = x = + + + _{+  }   

∫

∫

∫

∫

₂ 1 1 ₃ 1 arctg 3 3 3 1 3 x dx c x = = +   +  _{ }

∫

essendo

( )

3 x f x = ed '

( )

1 3 f x = (23) α) 2 2 2 3 3 3 3 3 1 3 1 log 3 3 3 3 3 3 3 x x x dx dx dx x c x + = x + = x + = + +

∫

∫

∫

con f x

( )

= +x3 3 ed f'

( )

x =3x2

(x2 rappresenta, a meno del fattore 3, la derivata, di f x

( )

) β) 1 1 log log log log x dx dx x c x x = x = +

∫

∫

con f x

( )

=logx ed f'

( )

x 1 x =

γ) tg sin sin sin logcos

cos cos cos

x x x xdx dx dx dx x c x x x − − = = = − = − + −

∫ ∫

∫

∫

con f x

( )

=cosx ed f'

( )

x = −sinx δ)

(

)

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 log 4 2 2 4 2 4 4 x x x x x x x e e e dx dx dx e c e e e + + + + + ₊ = + ₊ = + ₊ = + +

∫

∫

∫

con

( )

2x1 4 f x =e + + ed '

( )

2 2x1 f x = e + (24) + (25) α) x 2 x 2 e+ dx=e+ +c

∫

( )

( )

β) 3 3 2 1 3 3 2 1 3 1 2 1 1 1 3 3 3 3 x x x e x x x e dx dx x e dx e c + + _{= =} + ₌ + ₊

∫

∫

∫

essendo x2, a meno del fattore 3, la derivata di f x

( )

= +x3 1

γ) 2 2 5 5 3 2x⋅3x + dx=3x+ log e c+

∫

essendo a=3, f x

( )

= +x2 5 ed f'

( )

x =2x δ) 1 2 s i n 2cos 1 2 s i n 1 1 2 s i n cos 2 2 2cos 2 2 2 x x x x x⋅ + dx= ⋅ + dx= x⋅ + dx=

∫

∫

∫

1 2sin 2 1 2 log 2 x e c + = ⋅ ⋅ +

essendo a=2, f x

( )

= +1 2sinx ed f'

( )

x =2cosx

7. INTEGRALE INDEFINITO ED INTEGRALE DEFINITO

Sia f x

( )

una funzione continua nell'intervallo

[ ]

a b, e sia:

( )

( )

x

a

F x =

∫

f t dt

la funzione integrale. Per il Teorema Fondamentale del calcolo integrale, quindi, risulta:

( )

( )

'

F x = f x

Indichiamo, inoltre, con Φ

( )

x +c l'integrale indefinito, cioè poniamo:

( )

( )

f x dx=Φ x +c

∫

ed in particolare consideriamo, per c=0, la primitiva Φ

( )

x di f x

( )

. In virtù dell'Osservazione 2. c) riportata in ¶ 4. la derivata della funzione integrale è uguale a quella della funzione primitiva, ovvero:

( )

( )

' ' F x =Φ x da cui si ha:

( )

( )

1 F x =Φ x +c ⇒

( )

( )

1

( )

1 x a x F x c f t dt c Φ = − =

∫

− Per x=a, quindi:

( )

( )

1 F a =Φ a +c ⇒ Φ

( )

a =F a

( )

− = −c1 c1 ⇒ Φ

( )

a = −c1

essendo:

( )

0 a a f t dt=

∫

Pertanto si può scrivere:

( )

( )

( )

x a x f t dt a Φ =

∫

+Φ ⇒

( )

( )

( )

x a x a f t dt Φ −Φ =

∫

da cui segue, in particolare:

(1)

( )

( )

( )

b

a

b a f t dt Φ −Φ =

∫

che rappresenta proprio la:

Formula fondamentale del calcolo integrale. L'integrale definito di una funzione continua

( )

f x in

[ ]

a b, è uguale alla differenza dei valori che una primitiva della f x

( )

assume rispettivamente nell'estremo superiore b e nell'estremo inferiore a dell'integrale. In simboli si ha:

( )

( )

( )

( )

b b a a f t dt=Φ x =Φ b −Φ a

∫

Osservazione. La (1) esiste anche se la f x

( )

è dotata di primitiva ed è integrabile in

[ ]

a b, . ESEMPI α)

(

)

1 0 1 x+ dx

∫

In primo luogo occorre calcolare l'integrale indefinito:

(

1

)

2

2 x x+ dx= xdx+ dx= + +x c

∫

∫ ∫

Ne segue, quindi, che:

(

)

1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 0 1 3 1 1 0 1 2 2 2 2 2 x x x x dx xdx dx x = =       + = + =_ + _ =_ + _{ }− + _= + =      

∫

∫ ∫

β) 2 1 1 dx x

∫

Essendo: 1 log dx x c x = +

∫

risulta:

(

)

2 2 1 1 1

log x log 2 log1 log2 log1 log2 0 log2

x dx x x = = = = − = − = − =

∫

γ)

(

)

1 1 x x e e− dx − +

∫

Poiché:

(

x x

)

x x x x e +e− dx = e dx+ e dx− = −e e− +c

∫

∫ ∫

segue che:

(

) (

) (

) (

)

(

)

1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 x x x x e e e e dx e e e e e e e e e e − − − − − − − − + = − = − − − = − = =

∫