Candidato: Paolo Giulietti Relatore: Prof. Pietro Majer Titolo: Anosov flows
Data discussione: 19 maggio 2006
L’obiettivo di questa tesi `e quello di illustrare i sistemi di Anosov, ri-volgendo particolare attenzione ai flussi. I sistemi di Anosov vanno conte-stualizzati all’interno dei sistemi dinamici iperbolici e devono il loro nome al matematico russo che, nel 1967, per primo ne studi`o le propriet`a.
L’aspetto caratteristico dei sistemi di Anosov `e la presenza contempora-nea di un comportamento iperbolico locale e di una struttura globale con forti implicazioni nella topologia. Possiamo cogliere questo aspetto gi`a da una definizione informale: ad un sistema dinamico, sia esso un flusso o un diffeomorfismo, `e richiesto che per ogni punto della variet`a su cui vive esista uno spezzamento della variet`a tangente, in quel punto, in due sottospazi; il differenziale dovr`a, in modo esponenziale, contrarre uno dei due ed espandere l’altro.
Per affrontare tale argomento sono necessari strumenti sofisticati sia in analisi sia in geometria, come per esempio il teorema della variet`a stabile o la teoria delle foliazioni. Questi due argomenti, insieme ad alcuni teoremi di Livshitz sugli invarianti coomologici dei sistemi dinamici, sono i prerequisiti al lavoro svolto e sono contenuti nel primo capitolo.
Avendo introdotto gli strumenti fondamentali, mostriamo, secondo le tec-niche usate da Anosov stesso, le propriet`a caratteristiche di questi sistemi; in questo senso ci siamo curati di mostrare la relazione che corre, nella classe di Anosov, fra i diffeomorfismi e i flussi. Oggetto del nostro studio `e stata quindi la classificazione, per elementi topologicamente coniugati, dei
diffeo-morfismi studiati: essa porta a sottoclassi di flussi con propriet`a ben distinte. A questo punto abbiamo quindi deciso di fornire alcuni esempi dove poter illustrare la teoria esposta. Il flusso delle geodetiche su variet`a a curvatura negativa per le sue peculiarit`a `e stato fra i primi ad essere studiato; esso rap-presenta un esempio cos`ı importante che gli `e stata dedicata una sezione a parte. In seguito, secondo un percorso di studio cronologico, abbiamo messo in luce come, aggiungendo ipotesi addizionali o sul flusso stesso o sui sotto-spazi dello spezzamento, sia possibile risolvere alcune questioni fondamentali sulla classificazione o sulla regolarit`a dei sottospazi. In particolare, l’ipotesi di avere una forma di volume costante e di avere uno dei sottospazi dello spezzamento di dimensione uno, ha permesso negli anni ’70-80 di ottenere risultati interessanti.
Oltre alle tecniche usate da Anosov abbiamo riportato le dimostrazio-ni originali degli autori citati, rendendole pi`u chiare ove possibile, cercando tuttavia di riportare intatte le osservazioni, spesso di carattere generale, pi`u illuminanti. Abbiamo riportato le dimostrazioni l`a dove contribuivano a mo-strare tecniche innovative , o a costruire basi pi`u chiare per i ragionamenti successivi, altrimenti sono state omesse.
Fa eccezione l’ultima parte della tesi che `e rivolta a mettere in risalto, mostrando risultati gi`a noti secondo lo studio di Hurder-Katok, come le varie tecniche possano e debbano interagire tra loro: qui tutti i dettagli sono stati esplicitati in modo da essere facilmente leggibili. In questa parte, dedicata ai flussi, usando come ipotesi fondamentali sia una forma di volume costante sia una variet`a di dimensione tre come spazio di partenza, dimostriamo come sia possibile ottenere una maggiore regolarit`a degli spezzamenti e come questi sistemi posseggano la rigidit`a tipica dei sistemi iperbolici.
