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Esercitazione del 23/11/2010
Riprendiamo brevemente la dimostrazione del teorema di Brody, per mostrare che una mappa olomorfa non costante da C in uno spazio complesso, se esiste, pu`o essere scelta con alcune propriet`a addizionali.
Sia (X, H) una variet`a complessa con una metrica hermitiana, Una map-pa f ∈ Hol(C, X) non costante si dice linea complessa (o curva di Brody) se f! `e limitata rispetto alla metrica euclidea su C e a quella hermitiana su X. Osserviamo che questo equivale a dire che esiste una costante C tale che f∗H ≤ Cdzd¯z.
Thm 4.1 (Brody) Se (X, H) `e una variet`a hermitiana compatta non
iperbo-lica, allora esiste h : C → X linea complessa.
Dim: Sia dX la pseudodistanza di Kobayashi su X e si ponga FX(v) = inf{$u$D| u ∈ T D, f∗u = v, f ∈ Hol(D, X)}
per v ∈ T X.
Se esiste una costante positiva a tale che a$ · $H ≤ FX, allora dX `e non
degenere; quindi per ogni n esiste vn∈ T X tale che FX(vn) ≤ 1/n, ma $vn$H =
1. Quindi esiste una successione rn → ∞ di reali positivi e una collezione fn ∈ Hol(Drn, X) di mappe tali che fn!(0) = dfn[(∂/∂z)0] = vn, in quanto
$(∂/∂z)0$Drn = 2 rn Ora, poniamo un= fn∗H r2 nds2rn
allora un(0) = 1/4. Per il lemma di riparametrizzazione abbiamo che esistono c∈ (0, 1/4] e delle funzioni gn tali che
i. g∗
nH≤ crn2ds2rn
ii. gn(Drn) ⊂ fn(Drn).
Definiamo
Fn= {gm|Drn | m ≥ n}
e notiamo che, poich´e cr2
mds2rm ≤ cr
2
nds2rn per m ≥ n, tale famiglia `e
equiconti-nua e dunque contiene una sottosuccessione convergente, per la compattezza di
X. A meno di raffinare ulteriormente tali famiglie, possiamo supporre che Fn
contenga una successione convergente a hn su Drn, di modo che questo limite
coincida con hn−1 su Drn−1. Dunque ottengo una funzione h ∈ Hol(C, X) tale
che
h∗H = lim gn∗H≤ lim cr2nds2rn= 4cdzd¯z ≤ dzd¯z
con uguaglianza in 0. !
Cor 4.2 Data f : C → X olomorfa non costante (come prima, (X, H) variet`a
complessa hermitiana e compatta), esiste g linea complessa in X tale che g(C) ⊂ f (C).
Nel caso in cui si facciano ipotesi sulla curvatura sezionale di X, le curve di Brody assumono caratteristiche molto particolari.
Prp 4.3 Sia M una variet`a compatta hermitiana con Hds2M ≤ 0 e sia X ⊂ M
un sottospazio analitico chiuso. X `e iperbolico se e solo se non esiste un’im-mersione olomorfa isometrica totalmente geodetica f : C → M tale che f(C) ⊆ X.
Dim: Ovviamente, se X `e iperbolico, tali mappe non esistono per il teorema di Brody. Se X non `e iperbolico, allora esiste una linea complessa f : C → M con
f (C) ⊆ X e f∗ds2
M ≤ dzd¯z.
Poniamo f∗ds2
M = λdzd¯z, con 0 ≤ λ ≤ 1. Ora, dove λ )= 0, quindi dove df)= 0, quindi nel complementare di un insieme discreto, si ha
Kf∗ds2M = −
1
λ
∂2log λ
∂z∂ ¯z
Ora, ricordando che Hds2V ≤ Hds2M|T V se V `e sottovariet`a di M, si deve avere Kf∗ds2M = Hds2f (C) ≤ Hds2M ≤ 0 e quindi
∂2log λ
∂z∂ ¯z ≥ 0
se λ )= 0. Questo implica che log λ sia subarmonica su C, se estesa a −∞ dove
λ = 0; ma log λ≤ 0 e quindi `e costante, per il principio del massimo per funzioni
subarmoniche. Essendo costante log λ, anche λ `e costante e, a meno di omotetie, possiamo supporre λ ≡ 1.
Dunque, f `e un’immersione isometrica; inoltre f(C) `e un sottospazio piatto nei suoi punti lisci, in quanto Kf∗ds2M = 0. E dunque
0 = Hds2f (C) ≤ Hds2M|f (C)≤ 0
da cui Hds2f (C) ≤ Hds2M|f (C), il che implica che f(C) `e, nei suoi punti lisci, una
sottovariet`a totalmente geodetica. !
L’importanza di un simile risultato non `e tanto il fatto di poter ”testare” l’iperbolicit`a solo su un insieme ristretto di mappe, ma il fatto che, in caso di curvatura sezionale non positiva, tutte le curve di Brody, a meno di omotetie in partenza, siano immersioni isometriche totalmente geodetiche.
4.1
Complementari di ipersuperfici
Sia X uno spazio complesso; un divisore di Cartier `e un sottoinsieme Z ⊆ X tale che per ogni suo punto z esistano un intorno Uz e una funzione olomorfa f ∈ Hol(Uz,C) tali che Z ∩ Uz= {f = 0}.
Nota d’onest`a: Tipicamente, i divisori di Cartier sono sezioni del fascio
K∗/O∗, dove K∗ sono le funzioni meromorfe invertibili e O∗ sono le funzioni
olomorfe invertibili. Quindi, quelli definiti ora sono i supporti dei divisori di Cartier.
Prp 4.4 Siano X una variet`a complessa e Z un divisore di Cartier; allora X \Z
Dim: Per ogni punto y ∈ Y , sia V un intorno biolomorfo a un polidisco tale che
V ∩ Z = {f = 0} con f ∈ Hol(V, C). Allora, a meno di restringere V , possiamo
supporre che f sia limitata e quindi f(V ) ⊂ D, a meno di omotetie. Allora
Y ∩ V = {f )= 0} = f−1(D∗) e per un risultato della precedente esercitazione
segue che Y ∩ V `e iperbolico completo. !
Ovviamente, se X `e iperbolico, segue subito che anche X \ Z `e iperbolico. Osserviamo che rimuovere da uno spazio oggetti di codimensione ≥ 2 non al-tera il comportamento della pseudo-distanza di Kobayashi, infatti se codimA ≥ 2, allora Hol(D, X \ A) `e denso in Hol(D, X) rispetto alla topologia compatto-aperta e dunque dX coincide con dX\A su X \ A.
L’unico caso interessante `e dunque quando codimA = 1; ad esempio, abbia-mo gi`a visto che, sebbene CP2 non sia iperbolico, il complementare di 5 rette
in esso lo `e. Il risultato precedente ci dice che, localmente, il complementare di un divisore `e sempre iperbolico e completo; dunque il problema `e globa-lizzare questa osservazione. Per farlo, introduciamo la nozione di immersione iperbolica.
Se X `e uno spazio complesso, Y ⊆ X, p ∈ Y si dice punto iperbolico se per ogni U intorno di p in X esiste un intorno V tale che V ⊂ U e dY(V ∩Y, Y \U) >
0.
Y si dice iperbolicamente immerso in X se ogni punto di Y `e punto iperbolico.
Notiamo che ogni spazio iperbolico `e iperbolicamente immerso in se stesso. Osserviamo che l’immersione iperbolica `e equivalente al fatto che, dati p, q in
Y , esistano Up, Uq intorni di loro in X tali che dY(Up∩ Y, Uq∩ Y ) > 0; inoltre,
se esiste una distanza δ su Y tale che δ ≤ dY su Y , allora Y `e iperbolicamente
immerso in X.
Prp 4.5 Sia Y " X, allora le seguenti sono equivalenti
i. Y `e iperbolicamente immerso in X
ii. data una metrica hermitiana h su X, esiste c > 0 tale che f∗(ch) ≤ ds2 D
per ogni f ∈ Hol(D, Y ).
Dim: ii. ⇒ i. dh (la distanza indotta da h) `e una distanza su X contratta
dalle mappe olomorfe a valori in Y , quindi `e maggiorata dalla pseudodistanza di Kobayashi su Y . Dunque Y `e iperbolicamente immerso.
i. ⇒ ii. Per assurdo, siano fn∈ Hol(D, Y ), an ∈ D tali che fn∗h≥ nds2D
in an. Poich´e fn(0) ∈ Y e Y `e compatto, fn(0) → p ∈ Y . Sia U un intorno di p iperbolico completo in X. Se esiste r < 1 tale che fn(Dr) ⊂ U per n ≥ n0,
allora la famiglia {fn|Dr | n ≥ n0} `e normale e quindi ha una sottosuccessione
convergente, ma questo `e assurdo perch´e i differenziali in an divergono. Quindi
per ogni k > 0 esistono zk in D e nk tali che |zk| < 1/k e fnk(zk) )∈ U. Allora
pk = fnk(0) e qk = fnk(zk) convergono a due punti p e q in Y distinti, ma
dY(pk, qk) ≤ dD(0, zk) → 0. !
Thm 4.6 Sia Y iperbolicamente immerso in X. Se Y `e localmente iperbolico
Dim: Omessa
Cor 4.7 Se Z `e un divisore di Cartier in X e Y = X \ Z `e iperbolicamente
immerso, allora `e iperbolico completo.
Dim: Ovvia applicazione del precedente teorema. !
Esempi C \ {0, 1} `e iperbolicamente immerso in CP1. In generale, se Y `e
iper-bolico e X \ Y `e costituito di punti isolati, Y `e iperbolicamente immerso in X, in quanto se X \ Y = {p1, . . . , pk, . . .}, allora esistono palle U1, . . . , Uk, . . . di
X attorno ai pi e con chiusure disgiunte. Dunque, Ui∩ Y sono aperti
relativa-mente compatti di Y con chiusure disgiunte e dunque a distanze positive l’uno dall’altro.
Y = CP2\!4i=0li, con la notazione dell’ultima lezione, `e iperbolico, ma
non `e iperbolicamente immerso in CP2. Infatti, consideriamolo immerso in C2
tramite la carta che ha l2come retta all’infinito. Allora Y `e il complementare di
4 rette, 3 concorrenti in un punto P e due (l4e l3parallele; sia l una retta per P
e sia Q = l∩l3. Ovviamente, se l ruota attorno a P verso l4, la distanza euclidea
tra P e Q tende all’infinito. Scegliamo due punti A e B su l diametralmente opposti rispetto a P , con AB = k fissato; possiamo fare in modo che, mentre l ruota verso l4, i punti A e B tendano a due punti su l4. Ora, consideriamo una
mappa f : D∗ → l \ {P } che mandi il disco nel disco di centro P e raggio P Q;
allora
dY(A, B) ≤ dD(f−1(A), f−1(B)) → 0
man mano che l ruota verso l4.
Scriviamo esplicitamente la situazione descritta: siano l0 = {y = 0}, l1 =
{x = y}, l3 = {x = 1}, l4 = {x = 0}, dunque P = (0, 0) e l = {ax = by};
allora Q = (1, a/b) e P Q = (1 + a2/b2)1/2. Se b → 0, l ruota verso l 4. Sia
k = 1/2, allora possiamo prendere A = (t, at/b) e B = (−t, −at/b) con t = (1 + a2/b2)−1/2/2; per b→ 0, si ha A = (0, 1/2), B = (0, −1/2). Definiamo la mappa fb : D → C2 data da fb(z) = (z, az/b), allora z1= fb−1(A) = (1 + a2/b2)−1/2/2
e z2= fb−1(B) = −(1 + a2/b2)−1/2/2 e dunque dD(z1, z2) = log 1 + b 2√a2+b2 1 − b 2√a2+b2 = log2 √ a2+ b2+ b 2√a2+ b2− b = log (2√a2+ b2+ b)2 4a2+ 3b2 → 0
se b → 0. Ora, osserviamo che possiamo scrivere gb : Da/b → Y come gb(z) =
(bz/a, z); allora, fissato un disco Dt, la famiglia {fb|Dt per a/b > t} `e normale
e converge a ft: Dt→ {x = 0} su Dt. Quindi le ftsi incollano in una f : C → {x = 0}, f(z) = (0, z)
Abbiamo che le mappe z /→ gb(ez/b) che mappanoDlog(a/b)in l ∩ Y
conver-gono alla mappa z /→ f(ez) che porta C in l
4\ {P }.
Anche alla luce dell’esempio precedente, diciamo che una mappa h : C → X `e una linea complessa limite da Y ⊆ X se `e una linea complessa e per ogni DR⊂ C, h|DR `e limite di mappe da DR in Y . Ovviamente si ha che h(C) ⊆ Y .
Thm 4.8 Sia Y " X. Se Y non `e iperbolicamente immerso, esiste h : C → X
Dim: Se Y `e iperbolicamente immerso, esiste a > 0 tale che ah ≤ FY con h una metrica hermitiana su X; dunque, supponendo che non esista un tale a,
possiamo ripetere la dimostrazione del teorema di Brody. Poich´e Y `e compatto in X, la convergenza non sar`a in Y ma in Y e dunque la linea complessa sar`a in X limite da Y . !
Ovviamente, vale anche il viceversa. Abbiamo inoltre il seguente risultato. Prp 4.9 Sia (X, H) una variet`a complessa hermitiana e sia Y un sottoinsieme
relativamente compatto. Data una successione {Un} di aperti relativamente compatti tali che " Un = Y e non iperbolicamente immersi, possiamo trovare
una linea complessa h : C → X con f(C) ⊆ Y .
Dim: Ovviamente abbiamo una mappa hn : C → X che `e una linea complessa
limite da Un. Allora h∗nH ≤ Cndzdz con Cn > 0; componendo hn con una
trasformazione affine, possiamo assumere che Cn= 1 con uguaglianza per z = 0.
Per Ascoli-Arzel`a, {hn} ha un limite h e ovviamente h(C) ⊆"hn(C) ⊆ Y . !
Cor 4.10 Sia Y un sottospazio compatto di X, allora se Y `e iperbolico, ha un
intorno relativamente compatto U iperbolicamente immerso in X.
Dim: Segue ovviamente dalla proposizione precedente. !
Thm 4.11 Sia X uno spazio complesso e sia Z =!Zi un divisore di Cartier, dove ogni Zi`e irriducibile. Supponiamo che una successione {hm} ⊂ Hol(D, X \ Z) converga a h ∈ Hol(D, X). Allora h(D) `e contenuto in X \ Z o in Z. Pi`u precisamente, h(D) `e contenuto in X \ Z o in "i∈IZi \
!
j∈JZj dove I ={i : h(0) ∈ Zi} e J = {j : h(0) )∈ Zj}.
Dim: Supponiamo che h(0) ∈ Z. Sia V un intorno di h(0) in X tale che
V ∩ Z = {f = 0} = {f1· . . . · fk = 0} dove fi = 0 definisce Zi. Allora, se i `e
tale che fi(h(0)) = 0, la funzione fi◦ h ha uno zero, ma le funzioni fi◦ hmnon
ne hanno, quindi per Hurwitz fi◦ h deve essere costantemente nulla. Dunque h(D) ⊂ Zi. Da ci`o segue la tesi. !
Dal precedente teorema possiamo ricavare il seguente risultato di Green e Howard.
Thm 4.12 Sia (X, H) una variet`a complessa hermitiana compatta e sia Z un
divisore di Cartier. Allora Y = X \ Z `e iperbolico completo e iperbolicamente immerso in X se
i. non ci sono linee complesse in Y ii. non ci sono linee complesse in Z.
Dim: Supponiamo che Y non sia iperbolicamente immerso in X. Allora c’`e una linea complessa limite da Y , h : C → X. Allora, per il risultato precedente,
h(C) `e contenuto in Y oppure in Z, ma questo `e impossibile. Dunque Y `e
iperbolicamente immerso e quindi iperbolico completo. !
E’ chiaro, dal risultato utilizzato per dimostrare l’ultimo teorema, che la seconda condizione pu`o essere rafforzata come segue:
per ogni partizione I ∪ J = {1, . . . , m}, con Z = Z1∪ . . . ∪ Zm, non ci sono
linee complesse in "i∈IZi\!j∈JZj.
Tornando all’esempio del complementare di 5 rette in CP2, si pu`o notare che
