Problema 1

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PNI 2009 -

PROBLEMA 1

1)

x n e n x x x x f _⋅ −     + + + + = ! ! 2 1 ) ( 2 h − ⋅     ₊ ₊ ₊ = n− _e−x n nx x x x f ! ! 3 3 ! 2 2 1 ) ( 2 1 n _e x n x x x _⋅ −     ₊ ₊ ₊ ₊ ! ! 2 1 2 = = n _e x n x x x − _⋅ −     − + + + + )! 1 ( ! 2 1 2 1 - ⋅ =     ₊ ₊ ₊ ₊ n _e−x n x x x ! ! 2 1 2 = n _e x n x ₋ ⋅ − !

2)

• Se n è pari la derivata è sempre negativa, quindi la funzione è sempre

decrescente: non esistono massimi e minimi.

• Se n è dispari la derivata è positiva per x<0, negativa per x>0 e nulla per x=0: la funzione ammette quindi un massimo (assoluto) per x=0.

Per n dispari, quando risulta f(x)≤1?

Per n dispari abbiamo un massimo assoluto in x=0, ed è f(0)=1: quindi

1 ) 1 ( ) (x ≤ f = f per ogni x.

3)

Con n=2 la funzione diventa: _g _x _x x _⋅_e−x

    ₊ ₊ = 2 1 ) ( 2 • Definita su tutto R • Sempre positiva • Taglia l’asse y in y=1

• Il limite a + infinito è 0+, il limite al – infinito è + infinito

• 0 2 ! ' 2 < − = ⋅ − = n _e−x x _e−x n x

y per ogni x; quindi la funzione è sempre decrescente.

• 0 2 " 2 > + − = _xe−x x _e−x

y se _x2 _{− x}2 _>0_{cioè per x<0 oppure x>2: la funzione è}

(2)

2/2 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 1 2 3 4 5 6 x y

4)

∫

−     + + 2 2 2 1 o x_dx e x

x : rappresenta l’area del trapezoide tra 0 e 2. Integrando per parti si ha:

78 . 1 ) 3 1 ( 3 3 2 2 2 2 0 2 ≅ ⋅ − =           + + −_e−x x _x _e−