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10._equazioni_di_poisson.pdf

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Academic year: 2021

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Equazioni di Poisson

Teorema della media: sia ๐‘ฃ una funzione armonica in ฮฉ โŠ† โ„๐‘‘ con ๐‘‘ = 2,3, per ogni bolla ๐ต๐‘Ÿ(๐‘ฅโƒ—) โŠ‚ ฮฉ valgono le

seguenti relazioni: โ€ข ๐‘ฃ(๐‘ฅโƒ—) = 1 |๐ต๐‘Ÿ(๐‘ฅโƒ—)|โˆซ๐ต๐‘Ÿ(๐‘ฅโƒ—)๐‘ฃ(๐‘ฆโƒ—)๐‘‘๐‘ฆโƒ— con { ๐‘‘ = 2 |๐ต๐‘Ÿ(๐‘ฅโƒ—)| = ๐œ‹๐‘Ÿ2 ๐‘‘ = 3 |๐ต๐‘Ÿ(๐‘ฅโƒ—)| = 4 3๐œ‹๐‘Ÿ 3 โ€ข ๐‘ฃ(๐‘ฅโƒ—) = 1 |๐œ•๐ต๐‘Ÿ(๐‘ฅโƒ—)|โˆฎ๐œ•๐ต๐‘Ÿ(๐‘ฅโƒ—)๐‘ฃ(๐›พ)๐‘‘๐›พ con { ๐‘‘ = 2 |๐œ•๐ต๐‘Ÿ(๐‘ฅโƒ—)| = 2๐œ‹๐‘Ÿ ๐‘‘ = 3 |๐œ•๐ต๐‘Ÿ(๐‘ฅโƒ—)| = 4๐œ‹๐‘Ÿ2

Principio del massimo: se ๐‘ฃ โˆˆ ๐ถ0(ฮฉ), ฮฉ โŠ† โ„๐‘‘ e ๐‘ฃ ha la proprietร  della media allora min

๐œ•ฮฉ ๐‘ฃ โ‰ค ๐‘ฃ(๐‘ฅโƒ—) โ‰ค max๐œ•ฮฉ ๐‘ฃ Condizioni Dirichlet {โˆ’โˆ†๐‘ข = ๐‘“๐‘ข = ๐‘” Condizioni Neuman { โˆ’๐œ‡โˆ†๐‘ข = ๐‘“ โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ข โˆ™ ๐‘›ฬ‚ = โ„Ž Condizioni Robin { โˆ’๐œ‡โˆ†๐‘ข = ๐‘“ โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ข โˆ™ ๐‘›ฬ‚ โˆ’ ๐›ผ๐‘ข = โ„Ž Condizioni miste { โˆ’๐œ‡โˆ†๐‘ข = ๐‘“ ๐‘ข = ๐‘” โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ข โˆ™ ๐‘›ฬ‚ = โ„Ž

Unicitร  soluzione per problema di Poisson

Enunciato: i problemi di Poisson con condizioni Cauchy - Dirichelt, Cauchy-Robin e miste hanno soluzione unica, Il problema di Poisson con condizione al contorno di Neumann hanno soluzioni uniche a meno di una costante.

Dimostrazione: dimostriamo questo teorema per assurdo ipotizzando che esistano almeno due soluzioni distinte ๐‘ข โ‰  ๐‘ค quindi possiamo definire la funzione ๐‘ฃ come differenza tra le due funzione appena citate dunque ๐‘ฃ = ๐‘ข โˆ’ ๐‘ค. Dopo aver riformulato il problema di Cauchy utilizzando la funzione ๐‘ฃ prendiamo la prima equazione del sistema e la moltiplichiamo a destra e a sinistra per ๐‘ฃ e integriamo su ฮฉ:

โˆ’๐œ‡โˆ†๐‘ฃ = 0 โˆซ โˆ’๐œ‡โˆ†๐‘ฃ โˆ™ ๐‘ฃ ๐‘‘ฮฉ ฮฉ = โˆซ 0 โˆ™ ๐‘ฃ ฮฉ โˆซ โˆ’๐œ‡โˆ†๐‘ฃ โˆ™ ๐‘ฃ ฮฉ ๐‘‘ฮฉ = 0

Analizziamo ora la prima parte dellโ€™equazione visto che la seconda รจ nulla, ricordiamo che il laplaciano di una funzione equivale a fare la divergenza del gradiente di quella stessa funzione dunque:

โˆซ โˆ’๐œ‡โˆ†๐‘ฃ โˆ™ ๐‘ฃ

ฮฉ

๐‘‘ฮฉ = โˆซ โˆ’๐œ‡(โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ— โˆ™ โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ) โˆ™ ๐‘ฃ

ฮฉ

(2)

=โˆซ โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—(๐‘ฃโˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ)๐‘‘ฮฉ ฮฉ + โˆซ โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ โˆ™ โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ๐‘‘ฮฉ ฮฉ = =โˆ’ โˆฎ ๐‘ฃ๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ โˆ™ ๐‘›ฬ‚ ๐œ•ฮฉ ๐‘‘ฮ“+ โˆซ โˆ’๐œ‡|โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ|2๐‘‘ฮฉ ฮฉ โˆ’ โˆฎ ๐‘ฃ๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ โˆ™ ๐‘›ฬ‚ ๐œ•ฮฉ ๐‘‘ฮ“+ โˆซ โˆ’๐œ‡|โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ|2๐‘‘ฮฉ ฮฉ = 0 โˆฎ ๐‘ฃ๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ โˆ™ ๐‘›ฬ‚ ๐œ•ฮฉ ๐‘‘ฮ“= โˆซ โˆ’๐œ‡|โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ|2๐‘‘ฮฉ ฮฉ

Studiamo ora il termine in rosso in funzione del tipo di condizione al contorno:

Dirichlet ๐‘ข = ๐‘” ๐‘ค = ๐‘” ๐‘ฃ = 0 โ†’ โˆฎ ๐‘ฃ๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ โˆ™ ๐‘›ฬ‚ ๐œ•ฮฉ ๐‘‘ฮ“ = 0 Neumann โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ข โˆ™ ๐‘›ฬ‚ = โ„Ž โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ค โˆ™ ๐‘›ฬ‚ = โ„Ž โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ โˆ™ ๐‘›ฬ‚ = โ„Ž โˆ’ โ„Ž = 0 โ†’ โˆฎ ๐‘ฃ๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ โˆ™ ๐‘›ฬ‚ ๐œ•ฮฉ ๐‘‘ฮ“ = 0 Robin โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ข โˆ™ ๐‘›ฬ‚ โˆ’ ๐›ผ๐‘ข = โ„Ž โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ค โˆ™ ๐‘›ฬ‚ โˆ’ ๐›ผ๐‘ค = โ„Ž โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ โˆ™ ๐‘›ฬ‚ โˆ’ ๐›ผ๐‘ฃ = โ„Ž โˆ’ โ„Ž = 0 โˆ’๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ โˆ™ ๐‘›ฬ‚ = ๐›ผ๐‘ฃ โ†’ โˆฎ ๐‘ฃ๐œ‡โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ โˆ™ ๐‘›ฬ‚ ๐œ•ฮฉ ๐‘‘ฮ“ โ‰ค 0

Il termine in rosso dunque รจ sempre minore o tuttalpiรน uguale a 0 indipendentemente dalle condizioni al contorno dunque:

โˆซ โˆ’๐œ‡|โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ|2๐‘‘ฮฉ

ฮฉ

โ‰ค 0

E affinchรฉ ciรฒ sia verificato occorre che โˆ‡โƒ—โƒ—โƒ—๐‘ฃ = 0 e dunque che ๐‘ฃ sia una costante, ma se ๐‘ฃ รจ una costante allora si ha che ๐‘ข = ๐‘ค + ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ก. Per Robin e Dirichlet la costante รจ nulla mentre per Neumann cโ€™รจ.

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