UNITÀ 8. LA CIRCONFERENZA.
1. La circonferenza come luogo geometrico. 2. L’equazione cartesiana della circonferenza.
3. Calcolo del centro, del raggio e rappresentazione grafica. 4. Appartenenza di un punto ad una circonferenza.
5. Funzioni ottenute da circonferenze. 6. Domini piani limitati da circonferenze.
7. Trasformazioni geometriche applicate alla circonferenza. 8. Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza.
9. Le rette tangenti ad una circonferenza e passanti per un punto. 10. Condizioni per determinare l’equazione di una circonferenza. 11. Posizione reciproca di due circonferenze.
12. I fasci di circonferenze.
1. La circonferenza come luogo geometrico.
La circonferenza è il luogo geometrico formato da tutti i punti del piano cartesiano che si trovano alla stessa distanza da un punto fisso detto centro C. La distanza tra un punto generico P della circonferenza e il centro C si chiama raggio r.
Per trovare l’equazione cartesiana della circonferenza bisogna conoscere il centro C, il raggio r e applicare la definizione.
Per esempio dato il centro 𝐶(−1; 4) e il raggio 𝑟 = 3 disegnare la circonferenza e trovare l’equazione cartesiana.
Sapendo che 𝐶(−1; 4); P(𝑥; 𝑦) e 𝑟 = 3 deve risultare 𝐶𝑃̅̅̅̅ = 3 cioè
√(𝑥𝑝− 𝑥𝑐)2+ (𝑦𝑝− 𝑦𝑐)2 = 3 si sostituiscono le coordinate
√(𝑥 + 1)2+ (𝑦 − 4)2 = 3 si elevano i due membri al quadrato
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 9 si sviluppano i prodotti notevoli
𝑥2+ 2𝑥 + 1 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 = 9 si portano tutti i termini al primo membro 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝑦2− 8𝑦 + 16 − 9 = 0 si sommano i termini simili e si ordina 𝑥2 + 𝑦2+ 2𝑥 − 8𝑦 + 8 = 0 equazione della circonferenza richiesta.
2. L’equazione cartesiana della circonferenza.
In generale, dato un centro qualsiasi 𝐶(𝛼; 𝛽), un raggio qualsiasi r e un generico punto P(𝑥; 𝑦) che appartiene alla circonferenza, l’equazione della circonferenza si trova ponendo:
𝐶𝑃̅̅̅̅ = 𝑟 √(𝑥 − 𝛼)2+ (𝑦 − 𝛽)2 = 𝑟 (𝑥 − 𝛼)2+ (𝑦 − 𝛽)2 = 𝑟2 𝑥2 − 2𝛼𝑥 + 𝛼2+ 𝑦2− 2𝛽𝑦 + 𝛽2 = 𝑟2 𝑥2 − 2𝛼𝑥 + 𝛼2+ 𝑦2− 2𝛽𝑦 + 𝛽2 − 𝑟2= 0 𝑥2 + 𝑦2− 2𝛼𝑥 − 2𝛽𝑦 + 𝛼2+ 𝛽2 − 𝑟2= 0
Per ottenere un’equazione più semplice si pone: 𝑎 = −2𝛼; : 𝑏 = −2𝛽; : 𝑐 = 𝛼2+ 𝛽2− 𝑟2 e si ottiene l’equazione della circonferenza generica: 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
dove 𝑎, 𝑏, 𝑐 sono numeri reali qualsiasi.
3. Calcolo del centro, del raggio e rappresentazione grafica.
Data l’equazione di una circonferenza generica, è possibile calcolare centro C, raggio r e rappresentarla graficamente. Infatti 𝑎 = −2𝛼 → 𝛼 = −𝑎 2 𝑏 = −2𝛽 → 𝛽 = −𝑏 2
4. Appartenenza di un punto ad una circonferenza. 5. Funzioni ottenute da circonferenze.
6. Domini piani limitati da circonferenze.
7. Trasformazioni geometriche applicate alla circonferenza. 8. Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza.
9. Le rette tangenti ad una circonferenza e passanti per un punto. 10. Condizioni per determinare l’equazione di una circonferenza. 11. Posizione reciproca di due circonferenze.
12. I fasci di circonferenze.
Un fascio di circonferenze è un insieme di circonferenze che hanno una caratteristica comune.
Per esempio:
a- tutte le circonferenze secanti passanti per gli stessi punti A e B, che si chiamano punti base. La retta AB si chiama asse radicale mentre la retta perpendicolare alla retta AB e passante per i centri di tutte le circonferenze si chiama asse centrale.
b- Tutte le circonferenze tangenti alla stessa retta nel punto P, che è l’unico punto base. Tale retta si chiama asse radicale e la retta ad essa perpendicolare, passante per P e per i centri di tutte le circonferenze si chiama asse centrale.
c- Tutte le circonferenze che non hanno alcun punto in comune e l’asse radicale è esterno alle circonferenze. La retta perpendicolare all’asse radicale e passante per i centri di tutte le circonferenze si chiama asse centrale.
d- Tutte le circonferenze concentriche. In tal caso non esiste l’asse radicale né l’asse centrale.
Un fascio di circonferenze si ottiene da due circonferenze di equazioni:
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 (1)
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 + 𝑐′ = 0 (2) che si chiamano circonferenze generatrici del fascio.
Per ottenere l’equazione del fascio si forma l’espressione:
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 + 𝑘(𝑥2+ 𝑦2+ 𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 + 𝑐′) = 0 (3)
E dividendo ambo i membri per k si ottiene l’espressione:
1
𝑘(𝑥
2+ 𝑦2+ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐) + (𝑥2+ 𝑦2+ 𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 + 𝑐′) = 0 (4)
Nell’espressione (3) per k=0 si ottiene la circonferenza generatrice (1); Nell’espressione (4) per k→∞ si ottiene la circonferenza generatrice (2); Per tutti gli altri valori di k si ottengono le altre circonferenze del fascio.
Se le 2 circonferenze generatrici passano per due punti A e B, tutte le altre circonferenze del fascio passano per A e B.
Se le circonferenze generatrici sono tangenti ad una retta nel punto P, tutte le altre circonferenze del fascio sono tangenti alla stessa retta nel punto P e hanno i centri allineati sull’asse centrale.
Se le circonferenze generatrici non hanno punti in comune e sono esterne, tutte le circonferenze del fascio non hanno punti in comune e hanno i centri allineati sull’asse centrale.
Se le circonferenze generatrici sono concentriche, tutte le circonferenze del fascio sono concentriche.
Per studiare un fascio di circonferenze occorre:
a- Calcolare centro e raggio in funzione di k;
b- Trovare le due circonferenze generatrici;
c- Trovare gli eventuali punti base;
d- Trovare l’asse radicale e l’asse centrale;
e- Trovare eventuali circonferenze degeneri.
Le circonferenze degeneri sono circonferenze particolari che si riducono ad una retta o ad un punto. Infatti la retta si può considerare una circonferenza di raggio infinito mentre il punto una circonferenza di raggio nullo.
