Definizione- prova per la convergenza di alcune serie in base alla definizione.

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(1)1. www.matematicagenerale.it. Serie numeriche Data una successione numerica annN, si dice serie la somma dei termini di tale successione e la indicheremo con. . a n 1. n. Consideriamo la successione delle somme parziali snnN, ovvero la successione costituita da: s1=a1 s2= a1+ a2 s3= a1+ a2 +a3 ………………………. …………………………... sn= a1+ a2+a3+……+an …………………………………………...  Se la successione delle somme parziali snnN è regolare allora anche la serie. . a n 1. n. è. regolare.  Se la successione delle somme parziali snnN non è regolare allora la serie. . a n 1. n. non è. regolare. . Il limite l im s n  S si dice somma della serie S   a n . n . n 1. La differenza Rn = S-sn= an+1+ an+2 +an+3+………+…. si dice resto n-simo ed il l im Rn  0 n . Diamo alcuni esempi di serie convergenti e divergenti in base alla definizione di serie. . . info@matematicagenerale.it | prof. M. Grasso.

(2) 2. www.matematicagenerale.it Esempio 1 Provare in base 1 1·2. 1. 1 2·3. 1 1. Consideriamo la 1 1·2. 1 1. 1 2. 1. 1. 1. 1 2. 1 2·3 1 2. 1 3. 1 2. 1 3. 1 1 1. 1 1. 1. 1 1. Semplificando: 1. 2 Passando al limite:. lim 2. 1. 2. La serie data converge e la somma è 2. . . info@matematicagenerale.it | prof. M. Grasso.

(3) 3. www.matematicagenerale.it Esempio 2 Proviamo che la serie. .  1.  n 1  log    n . è divergente. La serie si può scrivere 3 4 5  n 1  log 2  log    log    log    .......  log    .... 2 3 4  n  3 4 5  n 1  calcoliamo sn  log 2  log    log    log    .......  log   2 3 4  n . che si può scrivere: sn  log 2  log 3  log 2  log 3  log 3  log 5  log 4  .......  log(n  1)  log n Semplificando si ha: sn  log(n  1) Passando al limite: lim  log(n  1)   n . Si osservi che il termine generale  n 1 an  log    n . ha come limite  n 1  lim  log  0 n   n  lim an  0. E ciò mostra che la condizione. n . non è una condizione sufficiente per stabilire la. convergenza di una serie numerica.. info@matematicagenerale.it | prof. M. Grasso.

(4) 4. www.matematicagenerale.it Esempio 3 . Mostrare che la serie  1. 1 è convergente in base alla definizione. n(n  1). Poniamo: A B 1   n n  1 n(n  1) Da cui: A(n  1)  Bn A(n  1)  Bn ( A  B)n  1   n(n  1) n(n  1) n(n  1). Applicando il principio di identità dei polinomi; si ha: A B  0 A 1   A 1  B  1 sicchè: 1 1 1   n(n  1) n n  1 Pertanto la serie .  1 1 1 1 1 1 1 1  1 n(n  1) 1 n  n  1  1  2  2  3  3  ......  n  ... . Calcoliamo sn: sn  1 . 1 1 1 1 1 1     ......   1  n n 2 2 3 3. e passiamo al limite: lim1  n . 1 1 n. Quindi la serie converge e ha per somma 1.. info@matematicagenerale.it | prof. M. Grasso.

(5) 5. www.matematicagenerale.it Esempio 4 . Mostrare che la serie  1. 1 è convergente in base alla definizione di serie numerica. n(n  1)(n  2). Poniamo: A B C 1    n n  1 n  2 n(n  1)(n  2) Da cui:. A(n  1)(n  2)  Bn(n  2)  C (n  1)n A(n 2  3n  2)  B(n 2  2n)  C (n 2  n)   n(n  1)(n  2) n(n  1)(n  2). Applicando il principio di identità dei polinomi; si ha: 1  A  A  B  C  0 2   3 A  2 B  C  0   B  1 2 A  1  1  C  2  sicchè:. 1 1 1 1 2  2 n(n  1)(n  2) n n  1 (n  2) Pertanto la serie. 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 n(n  1)(n  2)  1 n2  n  1  (n 2 2)  2  2  23  22  3  24  ......  n2  n  1  (n 2 2) ... . Calcoliamo la sn: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 sn        ......  2   2 2 2 3 2 3 4 n n  1 (n  2). 1 1 1 1  1 1  1 1         1 1 1 1 1 sn    2   2    2   2   ......   2   2    2   2  4 3 3 3 4 4 4  n n n   (n  1) n  1 (n  2)          Ovvero: info@matematicagenerale.it | prof. M. Grasso.

(6) 6. www.matematicagenerale.it. sn . 1 1 1   4 2(n  1) 2(n  2). 1 1 1 1   lim sn  lim  n  n  4 2( n  1) 2(n  2) 4 Quindi la serie è convergente con somma S. 1 4. info@matematicagenerale.it | prof. M. Grasso.

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