5- ESAME STATO MECCANICA 2001

Soluzione

a - Principali sollecitazioni sulla biella

Una biella veloce è sollecitata a compressione e a carico di punta dalla componente, diretta lungo il suo asse, della forza agente sul pistone e a flessione dalle forze d’inerzia che agiscono normalmente al suo asse. Queste sollecitazioni hanno i caratteri della fatica, per cui la tensione ammissibile da adot-tare per il suo dimensionamento si determina sul diagramma di Smith oppure, in calcoli di massima, adottando un grado di sicurezza elevato rispetto alla tensione di rottura (n_R= 5÷10).

Si devono pertanto eseguire due verifiche: – una al carico di punta in posizione di P.M.S; – una alla presso-flessione (colpo di frusta) in

posizione di quadratura.

La verifica al carico di punta si effettua nella sezione prossima al piede di biella, assumendo come forza agente, a vantaggio di sicurezza, la forza F_max=p_max⋅A_c, data dal prodotto della mas-sima pressione effettiva per l’area della sezione del cilindro.

La verifica al colpo di frusta si esegue nella sezione distante≈0,6ldal piede di biella, soggetta ad una Sezione al piede di biella (1) Sezione al bottone di manovella

b=h C=80 mm p_max=2,85 MPa

h=0,5 h D=80 mm R =920 N/mm2

d=0,25 h n =5 500 giri/min h =10 mm

e=0,25 h l =160 mm H =20 mm

Esame 2001

Si fa l’ipotesi che, durante un adeguato periodo di prova di un’autovettura, vengano segnalate rotture del fusto delle bielle veloci in prossimità del piede.

Dopo un’analisi approfondita del fenomeno emerge che non era stato valutato opportunamente il tipo di sollecitazione gravante nella sezione di rottura, pertanto occorrerà rifare un nuovo calcolo di dimensiona-mento.

Si dispone dei seguenti dati:

Il candidato indichi le principali sollecitazioni in una biella veloce e successivamente, adottando un coef-ficiente di sicurezza per bielle veloci n =8:

– esegua le opportune verifiche sullo stato di fatto; – determini le nuove dimensioni del fusto di biella;

– esegua uno schizzo quotato, con un raffronto delle condizioni geometriche iniziali con quelle ricalco-late nelle sezioni prossime al piede di biella e al bottone di manovella.

nella quale il valore di α è dato da: α =

Assunto ν =2 si ha:

Massimo carico sopportabile con sicurezza: N_p= 78 ⋅ 75 = 5 850 N La forza agente:

Fmax =p_max⋅ = 2,85 ⋅ 106 ⋅ = = 14 326 N > N_p

è certamente superiore al carico critico: Ncr = ν ⋅ N_p

Poiché il carico critico si deve considerare come carico di rottura di una struttura sollecitata a carico di punta(da non confondere col carico di rottura del suo materiale), la verifica effettuata ci dice che le rotture segnalate nella Sezione 1 sono da attribuire ad un insufficiente dimensionamento al carico di punta.

c - Dimensionamento di una nuova biella

Dimensionamento della Sezione 1

Partendo da un primo dimensionamento a com-pressione semplice si ottiene:

ed essendo A=0,75 ⋅h2_{, si ricava:}

Dalle relazioni che danno i_mine λin funzione di h, si ha: i h h c min 0,25 0,25 13 3,25 mm 4 4 160 13 49 = = = = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ λ l h= A = 0, 75 13 mm A F ad = max =14 326≈ 2 115 125 mm σ m π ⋅ 0,082 4 π ⋅ D2 4 α π σ = = = + = 2 115 205 000 0,0001136 115 1 0,0001136 64 78 N/mm 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ amp ν ⋅ σadm π2⋅ _E sollecitazione di fatica alterna asimmetrica con

σmax= −(σm+σn) e σmin=σm.

Laσmè prodotta dalla sollecitazione di flessione a cui la biella è sottoposta dalle forze di inerzia che agiscono normalmente al suo asse, distribuite con legge triangolare. La tensione di compressioneσnè prodotta dalla forza F_qagente lungo la biella quando biella e manovella sono in quadratura.

b - Verifica della biella esistente

Le dimensioni della sezione al piede di biella (Sez. 1) sono date in funzione dell’altezza h, che è la dimensione trasversale fondamentale. Le caratteri-stiche geometriche che interessano ai fini del cal-colo si ricavano facilmente dalle relazioni:

Essendo, nel caso in esame, h=10 mm e l_c=l= = 160 mm, si ottiene: A=0,75 ⋅ 102=_{75 mm}2 I_min=0,0469 ⋅ 104 = _{469 mm}4 i_min=0,25 ⋅ 10= 2,5 mm λ =4 ⋅ = 64 Con R=920 N/mm2_{e n} R=8, la tensione ammissi-bile è: σadm= = 115 N/mm2

La verifica della Sezione 1 al carico di punta si effettua col metodo di Rankine. Il massimo carico sopportabile con sicurezza si ricava dalla relazione:

N_p= σadm ⋅ A = σamp ⋅A 1 + αλ2 920 8 160 10 A h b h h h I I I h y 0,25 0,75 0,0469 0,25 4 2 min 4 min min min = ⋅ − ⋅ ′ = − ⋅ = = = 

(

)

(

)

Il modulo di resistenza a flessione W_xvale:

e l’area è:

A₂=b ⋅ h − 2e⋅ h = 14⋅ 25 − 7 ⋅ 18 = 224 mm2

Caratteristiche di sollecitazione

Il momento flettente massimo è dato da: M_fmax= 0,064⋅m ⋅ ω2⋅ _r ⋅ l_Nm

L’area della sezione al bottone di manovella vale: A_b=14⋅ 28 − 7 ⋅ 21 = 245 mm2

L’area media del fusto risulta perciò:

quindi la massa del fusto è:

m_f=A_mf⋅ ρ ⋅ l= 196⋅ 7,85 ⋅ 10−6⋅ ₁₆₀ = _{0,246 mm}2 essendo ρ = 785 ⋅ 10−3_{la massa volumica} dell’ac-ciaio.

La massa totale della biella si può stimare pari ai della massa del fusto m_f:

Le altre grandezze che compaiono nella formula del momento hanno i seguenti valori:

ω π= ⋅n=π ⋅ = 30 5 500 30 576 rad/s m= 3 m_f = = 2⋅ 1,5 0,246⋅ 0,370 kg 3 2 A_mf A 2 147 245 2 1 mm 1 2 = + Ab = + = ₉₆ W_x b 2e 6 1 7 18 6 1 186 mm 3 3 = − ⋅ ′ = ⋅ − ⋅ ⋅ = = h h h 3 3 3 4 25 25 Verifica al carico di punta

Si prova con un valore h=14 mm. Risulta:

La Sezione 1 ha quindi le seguenti dimensioni: h =14 mm

b =h=14 mm h=0,5 h= 7 mm d =0,25 h=3,5 mm e =0,25 h=3,5 mm

La Sezione al bottone di manovella assume in con-seguenza le seguenti dimensioni:

H =2 h=28 mm b =14 mm h= 21 mm d =3,5 mm e = 3,5 mm

Si può tracciare uno schizzo quotato, tenendo conto dei diametri dello spinotto e del perno di manovella ricavati in base alle indicazioni del Manuale di meccanica.

Verifica al colpo di frusta della Sezione 2

Dallo schizzo si rilevano le seguenti dimensioni della Sezione 2: h =25 mm b =14 mm h=18 mm d = 3,5 mm e =3,5 mm A h h h N F amp p amp 1 2 min 2 max 0,75 0,75 1 1 mm 0,25 0,25 1 3, mm 4 4 160 14 45 115 1 0,0001136 N/mm 9 14 112 N = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = = + ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ≈ 2 2 2 4 47 4 5 45 96 6 147 i A c λ σ σ l α σ σ = = + = = = = 0,0001136 115 1 0,0001136 49 115 1,27 90 N/mm 11 250 N 2 2 amp p amp max N A F ⋅ ⋅ <

Risulta pertanto:

M_fmax=0,064⋅ 0,370 ⋅ 5762⋅ _0,04 ⋅ _0,160 = _{50,28 Nm} = = 50 280 Nmm

La forza agente lungo l’asse della biella in posizione di quadratura è data da:

Per la pressione p che vi compare si può assumere il valore:

I valori delle altre grandezze sono: p≈ pmax = 3 0,95 MPa F_q =p A⋅ _c l +r l 2 2 = = = = = r C 60 2 40 mm 0,04 m 1 mm 0,160 m l Risulta pertanto: F_q=0,95⋅ 5 026 ⋅ 1,031 = 4 923 N Le tensioni indotte valgono:

per cui si ha:

σmax = σm+ σn= 64 N/mm2< σadm= _{115 N/mm}2 La nuova biella calcolata resiste bene anche in qua-dratura.

Per maggior chiarezza, schizzo e disegno definitivo della biella si sono eseguiti contestualmente.

σ σ m f m W = = = = = = max 2 2 2 50 280 1 186 42 N/mm 4 923 224 2 N/mm x n q F A 2 A D r c c = = = + _{= =} π ⋅ π ⋅ + 2 2 2 2 2 2 4 80 4 5 026 mm 160 40 1,031 2 160 l l