Esercizi svolti 1) Esercizio Datala funzione f(x)= x 1 x 2 x 6 ,
a) determinare ildominio,ilsegno, ilimitiagliestremi eglieventuali asintotidi
f;
b) determinare gliintervallidi monotonia egli eventuali estremi dif;
c) tracciare un gra co qualitativo dif.
Soluzione
a)Per determinareil dominio di f, imponiamo che ildenominatore siadiverso da
zero, quindi domf =IRnf 2;3g.
Per studiareil segno dif risolviamoladisequazione
x 1 x 2 x 6 >0 ottenendo: f(x)>0 per xin ( 2;1) e (3;+1). Risulta lim x! 2 f(x)=1; lim x! 3 f(x)=1; lim x!1 f(x)=0:
Quindi, x = 2 e x = 3 sono asintoti verticali completi e y = 0 e un asintoto
orizzontale completo. b)Si ha f 0 (x)= x 2 2x+7 (x 2 x 6) 2 :
La derivata prima e sempre negativa. Dunque la funzione f e decrescente negli
intervalli( 1; 2);( 2;3);(3;+1)enon visono puntidimassimoodiminimo.
Figura1: Gra codella funzione f(x)= x 2 x 6 2) Esercizio Sia f(x)=e x e 3x :
a) Disegnare un gra co di f mettendone in evidenza gli zeri, i punti critici, gli
intervalli dimonotonia econvessita.
b) Veri care inparticolareche f haun unicopuntodi esso edeterminareil piu
grande intervallocontenente questo puntosul qualef risulta invertibile.
c) Si calcolila derivata primadi tale funzione inversa nel punto di esso.
Soluzione a)Scriviamo f(x)=e x (1 e 2x ) e osserviamo che e x
> 0 per ogni x, quindi f(x) = 0 se 1 e 2x = 0, ossia per x=0. Inoltre f 0 (x)= e x +3e 3x = e x (1 3e 2x ); dunquef 0 (x)=0 se1 3e 2x =0, ossiaperx= ln3 2 ; f 0 (x)>0sex< ln3 2 e quindi f e crescentein ( 1; ln3 2 ) e decrescente in( ln3 2 ;+1). Siha f 00 (x)=e x 9e 3x =e x (1 9e 2x ); dunquef 00 (x)=0se1 9e 2x =0,ossiaperx=ln3;f 00 (x)>0sex>ln3,quindi
Figura2: Gra codella funzione f(x)=e e
Il gra coqualitativo della funzionef emostrato inFigura2.
b) Per quanto visto al punto precedente, x = ln3 e l'unico punto di esso della
funzione. Inoltref risultainvertibilenegliintervalli( 1; ln3 2 )e( ln3 2 ;+1)equindi
il piu grande intervallo che contiene il punto di esso e in cui f e invertibile e
( ln3 2 ;+1). c)Poiche f(ln3)= 8 27 ,risulta (f 1 ) 0 ( 8 27 )= 1 f 0 (ln3) = 27 6 :
Siadata lafunzione reale di variabilereale f(x)=2 x
5 x
.
a) Determinarne gli eventuali zeri.
b) Determinarne gliintervallidimonotonia eglieventuali punti dimassimoodi
minimo.
c) Veri care che f e un in nito per x ! +1 e determinarne l'ordine rispetto
alla funzioneg(x)=e x
assunta come in nitocampione.
d) Tracciare un gra co qualitativodi f.
Soluzione a)Possiamoscrivere f(x)=2 x 1 (5=2) x ,cosf(x)=0per1 (5=2) x =0,ossia per x=0. b)Si haf 0 (x)=2 x ln2 5 x ln5 e f 0 (x)=0per (5=2) x =ln2=ln5 ossia x 0 = ln ln2 ln5 ln 5 2 <0
eun punto critico dif. Perstudiare ilsegno di f 0 , scriviamo f 0 (x)=2 x ln2 1 (5=2) x ln5 ln2 e notiamo che 2 x ln2 > 0, ln5=ln2 e positivo. Allora f 0 (x) < 0 per x > x 0 e f 0 (x) > 0 per x < x 0 . Il punto x 0
e un punto di massimo assoluto e la funzione
risultacrescente sull'intervallo( 1;x
0
) e decrescente sull'intervallo(x
0 ;+1). c)Poiche lim x!+1 f(x)= lim x!+1 2 x 1 (5=2) x = 1;
lafunzioneeunin nitoperx!+1. Perdeterminarnel'ordinerispettoall'in nito
campione g(x)=e x , calcoliamo lim x!+1 f(x) e x = lim x!+1 e xln2 e xln5 e x = lim x!+1 e x(ln5 ) e x(ln2 ln5) 1 = lim x!+1 e x(ln5 ) poiche ln2 ln5 < 0 e lim x!+1 e x(ln2 ln5) 1
= 1 . AÆnche tale limite sia
nitoe diverso dazero, laquantita ln5 deve essere nulla. Allora =ln5 e
Figura3: Gra co della funzionef(x)=2 5
4) Esercizio
Siconsideri lafunzione
f(x)=lnx arctan(x 1):
a) Determinare il dominio di f, i limitiagli estremi del dominio e gli eventuali
asintoti.
b) Determinare gliintervallidimonotonia e glieventuali estremi dif.
c) Determinare ilnumero di soluzionidell'equazionef(x)=0.
d) Tracciare un gra co qualitativodi f.
Soluzione
a)Il dominio dif e l'intervallo(0;+1). Risulta
lim x!0 + f(x)= 1; lim x!+1 f(x)=+1: Inoltre lim x!+1 f(x) x =0;
equindi lafunzione hasoltanto un asintotoverticale(destro) diequazionex=0e
non haasintotiorizzontali od obliqui.
b)Si ha f 0 (x)= (x 1)(x 2) 2
e quindi f (x) = 0 per x = 1 e x = 2; f (x) > 0 per x in (0;1) e in (2;+1).
La funzione e crescente negli intervalli (0;1) e (2;+1), decrescente nell'intervallo
(1;2). Il puntox=1eun punto dimassimorelativoconf(1)=0eil punto x=2
eun punto di minimorelativocon f(2)=ln2 =4<0.
c) Le soluzioni dell'equazione f(x) =0 sono due: x =1 e un punto x
0
> 2, come
risultadall'applicazionedelteoremadiesistenza deglizeri nell'intervallo[2;K] con
K numero reale suÆcientemente grande e tale che f(K) > 0 (si ricordi che la
funzioneein nita perx!+1 equindi tale punto esiste certamente).
d)Il gra co qualitativodella funzione f e mostratoin Figura4.
Siconsideri lafunzione f(x)= 3 q (x 1)(x 2) 2 : Sichiede di
a) determinarne ildominio, ilimitiagliestremi deldominio egli eventuali
asin-toti;
b) determinarne gliintervallidimonotonia, ipunti dinon derivabiltae gli
even-tuali estremi;
c) determinare il piu grande intervallo di invertibilita di f contenente il punto
x=1;
d) tracciare un gra co qualitativo della funzionef(x)e della funzione f(jxj).
Soluzione
a)Il dominio dif e tutto l'asse reale. Risulta
lim x!1 f(x)=1; lim x!1 f(x) x =1; lim x!1 f(x) x= = lim x!1 ( 3 q (x 1)(x 2) 2 x)( 3 q (x 1) 2 (x 2) 4 +x 3 q (x 1)(x 2) 2 +x 2 ) ( 3 q (x 1) 2 (x 2) 4 +x 3 q (x 1)(x 2) 2 +x 2 ) = = lim x!1 5x 2 3x 2 = 5 3 : equindi laretta y=x 5 3
eun asintoto obliquo completo.
b)Si ha f 0 (x)= 1 3 (3x 4)(x 2) 3 q (x 1) 2 (x 2) 4 ; quindi f 0 (x) = 0 per x = 4 3 e f 0 (x) > 0 per x in ( 1; 4 3 ) e (2;+1). Allora f
e crescente negli intervalli ( 1; 4 3 ) e (2;+1) e decrescente in ( 4 3 ;2); x = 4 3 e un
punto di massimo relativo con f( 4 3 ) = 3 p 2 3
e x = 2 e un punto di minimo relativo
conf(2)=0. Inoltre x=1ex=2 sonopuntidinon derivabilitadellafunzionein
quanto lim x!1 f 0 (x)=+1; lim x!2 f 0 (x)=1;
piuprecisamente x=1e un puntoa tangente verticale e x=2euna cuspide.
c) Il piu grande intervallo contenente x = 1 su cui la funzione e invertibile e
l'in-tervallo ( 1; 4
3 ].
x
y
2
4/3
1
Figura 5: Gra co della funzionef(x)= 3 q
(x 1)(x 2) 2
Figura 6: Gra co della funzionef(jxj)= 3 q
(jxj 1)(jxj 2) 2
Siconsideri lafunzione f(x)= x 2 1 3x xjxj : Sichiede di
a) determinarne ildominio, ilimitiagliestremi deldominio egli eventuali
asin-toti;
b) determinarne gliintervallidimonotonia, ipunti dinon derivabiltae gli
even-tuali estremi;
c) determinare ilnumerodi soluzionidell'equazione f(x)= 1;
d) determinare l'immaginedella funzione;
e) tracciare un gra co qualitativo dif.
Soluzione
a)Per determinare ildominio,osserviamo che
f(x)= 8 < : x 2 1 3x x 2 x0 x 2 1 3x+x 2 x<0, inoltrex 2 +3x 1=0se x= 3 p 13 2
e perx0 soltanto laradice x
0 = 3+ p 13 2 e daconsiderare,mentrex 2
3x+1=0nonhasoluzioninegative. Quindiildominio
dif eIRnfx 0 g. Risulta lim x!1 f(x)=1; lim x!x 0 f(x)=1;
dunquelarettay= 1eunasintotoorizzontaledestro,larettay=1eun asintoto
orizzontale sinistro ela retta x=x
0
e un asintoto verticalecompleto.
b)Si ha f 0 (x)= 8 < : x(2 3x) (1 3x x 2 ) 2 x>0; x6=x 0 x(2 3x) (1 3x+x 2 ) 2 x<0. Allora f 0 (x) = 0 se x = 2 3 ; f 0 (x) > 0 per x 2 (0;x 0 )[ (x 0 ; 2 3 ). Dunque, gli
intervallidimonotoniadif sono: ( 1;0); ( 2
3
;+1)dovelafunzioneedecrescente,
(0;x 0 ); (x 0 ; 2 3
) dove la funzione e crescente. La funzione ha un punto di minimo
relativo in x = 0 con f(0) = 0 e un punto di massimo relativo in x = 2 3 con f( 2 3 )= 4 13 .
Inoltre, f e continua nell'origine, lim
x!0
f 0
(x) = 0, e quindi la derivata prima
nell'origineesiste evale 0;la funzione risultaderivabile intutto il suo dominio.
c)L'equazione f(x)= 1 hauna solasoluzione perx= 1
3
,come si puo facilmente
veri care imponendol'equazione x
2
1 3x x 2
= 1.
d)Dal gra co, risultaim f =( 1; 4
13
Figura7: Gra co della funzione f(x)= x 1 3x xjxj 7) Esercizio Siconsideri lafunzione f(x)= x 2 lnjxj 1 : Sichiede di
a) determinarne ildominio, ilimitiagliestremi deldominio egli eventuali
asin-toti;
b) determinarne gliintervallidi monotonia egli eventuali estremi;
c) determinare l'immaginedella funzione;
d) tracciare un gra co qualitativo dif;
e) posto f(0)=0, discutere la continuitae la derivabilitadif inx=0.
Soluzione
a) Osserviamo che la funzione e pari, quindi la studieremo soltantoper x >0. Si
hadom f =IRnf0;ege lim x!1 f(x)=+1; lim x!e f(x)=1; lim x! e f(x)=1:
Lerettex=eex= esonoasintotiverticalicompleti;nonvisonoasintotiobliqui.
b)Si ha f 0 (x)= x(2lnx 3) 2 ; x>0;
quindi f(x) = 0 per x = e ; f(x) > 0 per x negli intervalli ( e ; e),
( e;0), (e 3=2
;+1) dove la funzione risulta crescente. Inoltre f e decrescente in
( 1; e 3=2 ), (0;e), (e;e 3=2 ). I puntix= e 3=2 ex=e 3=2
sono punti di minimorelativocon ordinata 2e 3
.
c)Dal gra co sivede che imf =( 1;0)[[2e 3
;+1).
d)Il gra co qualitativodella funzione f e mostratoin Figura8.
Figura 8: Gra co della funzione f(x)= x
2
lnjxj 1
e)Posto f(0)=0, lafunzione risulta continuae derivabile in x=0, inquanto
lim x!0 f(x)=0; lim x!0 f 0 (x)=0:
Siconsideri lafunzione
f(x)=(x 1) 3
(2 x):
Sichiede di
a) studiarne il comportamentoe disegnarne un gra coqualitativo;
b) considerare le funzioni g 1 (x)= 3 q f(x); g 2 (x)= 3 q jf(x)j
e determinare, per ciascuna di esse, i punti di estremo e i punti di non
derivabilita.
Soluzione
a) Non e diÆcile veri care che domf = IR , lim
x!1 f(x) = 1; la funzione e crescente in ( 1; 7 4 ) e decrescente in ( 7 4 ;+1), il punto x = 7 4 e un punto di
massimo assoluto con f( 7 4 ) = 27 256 ; f e convessa in (1; 3 2 ), concava in ( 1;1) e in ( 3 2 ;+1), ipunti x=1 e x= 3 2
sono puntidi esso.
Il gra coqualitativo della funzionef emostrato inFigura9.
Figura9: Gra codella funzione f(x)=(x 1) 3 (2 x) b)Possiamoscrivere g (x)=(x 1) 3 p 2 x; g (x)=jg (x)j:
La funzione g
1
ha un punto di massimo in x=
4
e un punto di non derivabiltain
x=2 (tangenteverticale).
La funzione g
2
ha un punto di massimo relativo in x = 7
4
e due punti di minimo
assolutoin x=1 e x=2. In talipunti di minimorisulta non derivabile.
I gra ci delle funzionig
1 eg
2
sono mostratinelle Figure10 e11.
Figura10: Gra co della funzione g
1 (x)
Figura11: Gra co della funzione g
2 (x)
