esercitazione

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

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Appunti ed esercizi su:

Disequazioni di II grado e loro discussione grafica

15 aprile 2012

1 _{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

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Tabella 1: Confronto tra tecniche di soluzione di equazioni e disequazioni di I e II grado. L’ultima casella, quella relativa alla soluzione della disequazione x2_{> 5 `}_{e volutamente errata, per illustrare un errore frequente.}

Grado Equazione Disequazione I 3x = 5 ⇒ x = 5₃ 3x > 5 ⇒ x > 5₃ II x2_{= 5} _⇒ _{x = ±}√₅ _x2_{> 5} _⇒ _{x > ±}√₅

1 La discussione grafica

1.1 Le disequazioni di II grado

Le disequazioni di II grado sono spesso un argomento “mal digerito” e sono frequentemente oggetto di errori, che hanno origini profonde. Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni errori tipici e come superarli. 1.1.1 Il problema: un errore frequente

Uno degli errori più frequenti (e più gravi) nella risoluzione di disequazioni di II grado è il seguente: x2> 3 =⇒ x > ±√3 (1) La scrittura appena proposta è una vera e propria “mostruosità” matematica e dimostra che non si capisce ciò che si sta scrivendo: cosa significherebbe infatti x > ±√3? Potremmo esser tentati di dare due interpretazioni:

1. La scrittura sta a significare x > +√3 ∧ x > −√3.

In tal caso, ci`o significa semplicemente x > +√3; ma allora, nel nostro risultato non contemple-remmo valori come x = −10, che pure `e soluzione della disequazione data.

2. La scrittura sta a significare x > +√3 ∨ x > −√3.

In tal caso, ci`o significa x > −√3. In questo caso, staremmo facendo due errori: da un lato escludiamo soluzioni, come x = −10; dall’altro includiamo soluzioni che in realt`a tali non sono (ad esempio x = 0).

1.1.2 Diagnosi n.1: una mancata analogia

La causa di simili errori nella soluzione di disequazioni di II grado sta forse nella non completa analogia tra i metodi risolutivi delle equazioni e disequazioni di II grado, diversamente da quanto avviene per quelle di primo grado, come illustrato nella seguente tabella1.

1.1.3 La rappresentazione grafica del trinomio di II grado

Per poter comprendere il corretto metodo di risoluzione delle disequazioni di II grado (e di altri tipi di disequazioni) `e necessario mettere da parte un approccio puramente algebrico; pu`o essere, per contro, molto utile considerare la questione anche da un punto di vista grafico. Da un punto di vista grafico, risolvere una disequazione come la seguente:

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significa determinare per quali valori della x la quantit`a 2x2− 5x + 1 `e negativa; ad esempio avremo: x = −1 =⇒ 2 · (−1)2− 5 · (−1) + 1 = 2 + 5 + 1 > 0

x = 0 =⇒ 2 · 02− 5 · 0 + 1 = 1 > 0 x = 1 =⇒ 2 · (1)2− 5 · 1 + 1 = 2 − 5 + 1 = −2 < 0 e perci`o x = 1 `e soluzione della disequazione, mentre x = −1 e x = 0 non lo sono.

Per poter capire quali sono tutte le soluzioni della disequazione, rappresentiamo graficamente la parabola y = 2x2_{− 5x + 1 (vedi fig.} ₁_).

Figura 1: Rappresentazione cartesiana della parabola di equazione y = 2x2_{− 5x + 1.}

1.1.4 Diagnosi n.2: un problema di linguaggio

Un’altra possibile causa di difficolt`a nel comprendere questo tipo di problema, nasce in realt`a da una sorta di pigrizia nell’articolare verbalmente l’obiettivo dell’esercizio e le operazioni necessarie per raggiungerlo. Per quanto riguarda la soluzione di una disequazione tipo quella considerata, generalmente, si ritrovano tre modi in cui si espone il problema:

1. Livello I: “Dobbiamo vedere quando è maggiore di zero”. Qui non è ben chiaro chi è il soggetto della frase.

2. Livello II: “Dobbiamo vedere quando 2x2_{− 5x + 1 `}_{e maggiore di zero”.}

Qui, ad esser criticabile, `e l’avverbio quando; ed `e proprio dall’utilizzo di tale avverbio che nascono molti errori.

3. Livello III (dicitura corretta): “Dobbiamo vedere per quali valori della x la quantit`a 2x2_{− 5x + 1}

`

e maggiore di zero”.

In questo caso abbiamo sostituito il quando con un’espressione pi`u articolata, che permette di capire veramente cosa richiede la soluzione di una disequazione.

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Tabella 2: Tabella relativa al caso ∆ > 0, a > 0.

disequazione soluzione intervalli grafico ax2_{+ bx + c > 0} _{x < x} 1∨ x > x2 (−∞, x1) ∪ (x2, +∞) 2(a) ax2+ bx + c ≥ 0 x ≤ x1∨ x ≥ x2 (−∞, x1] ∪ [x2, +∞) 2(b) ax2+ bx + c = 0 x = x1∨ x = x2 {x1, x2} 2(b) ax2_{+ bx + c ≤ 0} _x 1≤ x ≤ x2 [x1, x2] 2(b) ax2_{+ bx + c < 0} _x 1< x < x2 (x1, x2) 2(b)

1.1.5 Discussione di uno specifico caso ∆ > 0, a > 0

Vediamo adesso nel dettaglio la procedura di risoluzione di una disequazione di II grado; consideriamo anche l’equazione associata:

ax2+ bx + c = 0; ∆ = b2− 4ac

Consideriamo il caso specifico ∆ > 0, a > 0; l’esempio proposto in2rientra in questo caso. Ricordandoci le formule relative alla parabola, avremo:

yV = −

∆ 4a < 0

Perciò, la parabola avrà vertice sotto l’asse x, ed essendo rivolta verso l’alto, lo intersecherà in due punti distinti, x1e x2. Ciò è confermato dal fatto che ∆ > 0: x1 e x2sono le soluzioni dell’equazione associata;

nel caso specifico:

x1=

5 +√17

4 ; x2=

5 −√17 4

Sempre facendo riferimento al grafico1, possiamo capire che la soluzione della disequazione sar`a: x < x1∨ x > x2

che possiamo scrivere anche cos`ı: − ∞,5 + √ 17 4 ∪5 − √ 17 4 , +∞ 1.1.6 Discussione degli altri casi

In generale, la disequazione pu`o presentarsi con ciascuno dei seguenti segni: >; ≥; ≤; <

In tal caso, l’interpretazione grafica della disequazione `e proposta nella tabella2 e nei grafici di figura2. Pi`u in generale, saranno possibili, a seconda del segno di ∆ e di a, i casi sintetizzati nella tabella 3. Come esercizio, discutere i vari casi possibili, come fatto nel paragrafo precedente.

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(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 2: Grafici relativi al caso ∆ > 0, a > 0. DA INSERIRE I GRAFICI CORRETTI!!

Tabella 3: Sintesi dei vari casi possibili per una disequazione di II grado.

sgn(∆) sgn(a) sgn(yV) + + − + − + 0 + 0 0 − 0 − + + − − −

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1.2 Il caso generale

1.2.1 _{Disequazioni nella forma f (x) ≶ 0}

La tecnica vista nella sezione precedente, relativamente alle disequazioni di II grado, pu`o essere applicata in generale. In generale, infatti, si consideri una disequazione del tipo:

f (x) ≶ 0

Nel caso in cui si sappia tracciare il grafico della funzione f (x), la soluzione della disequazione richieder`a due passaggi:

1. Determinare le coordinate dei punti di intersezione della funzione con l’asse x: per determinare tali punti si dovr`a risolvere l’equazione associata f (x) = 0.

2. Dedurre dal grafico quando la funzione `e positiva e quando `e invece negativa. 1.2.2 _{Disequazioni nella forma f (x) ≶ a}

In altri casi, invece, pu`o essere pi`u comodo riportare la disequazione data nella seguente forma: f (x) ≶ a

Esercizi

2 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi teorici

2.1 Questioni di carattere teorico

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Una disequazione pu`o avere infinite soluzioni. 2. Una disequazione pu`o essere impossibile.

2.2 Intuire soluzioni

2.2.1 Esercizio 1

Si consideri la disequazione seguente:

x23+ 2 sin x + 3 > 0 Proporre almeno due sue soluzioni.

2.3 Determinazione di una soluzione

Completa la tabella4, seguendo l’esempio che ti viene fornito nella prima riga, gi`a compilata.

Per ciascuna disequazione indica il numero delle incognite, il grado per ciascuna incognita e fornisci l’esempio di una soluzione (o riempi il campo con una sbarra, nel caso non esistano soluzioni) e di una non soluzione.

3 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi calcolativi

3.1 Disequazioni di I grado

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Tabella 4: Tabella relativa all’esercizio 1

Equazione Grado Soluzione Non-soluzione x3_{+ 5y ≥ 7y + 2} _{(x, y) = (3, 1)} _{(2, 0)} _{(0, 0)} α2_{+ 4α < −3α + 5} a + b2≤ c + 1 4ψ + 4 + 3ψ ≤ 3y − 6 + 2x − 5ψ 2x +5 2α − 3 + α ≤ 4 + x − α 4 2t2+ 6t ≤ 3t2− 4 + t 3t3_{− 4η + 2µ > 3 + η}2

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3.2 Disequazioni di II grado

Risolvi le seguenti disequazioni:

x2_{− 1} 3 + 5 6 ≥ 1 4x − x2_{− 2} 4 (3) 8x + 51x2_{6 0} (4) −2y2− 9 < 0 nella variabile y (5) αx2− 34 > 0 (6) x2_{+ 2x + 1 > 0} (7) 6x + x2< −3x2+ 4 − 10 (8) (a + b)x2− f x > 0 (9) 2βx2_{+ x − 11 6 0} (10) 1 2at 2_{+ v} 0t + t0> 0 nella variabile t (11) 3 5k 2_{+ αk − 2 < 0} _{nella variabile k} ₍₁₂₎

Puoi, per esercizio, risolvere ad esempio le disequazioni a pag 525 e seguenti, dalla 66 alla 107 e dalla 120 alla 125, dal libro Strutture nella matematica, di Grazzi e Re Fraschini, edito da Atlas.

3.2.1 Verifica con GeoGebra

Per esercizio, dopo aver svolto ciascuna delle disequazioni proposte nella sezione precedente, controlla il risultato che hai ottenuto con il software GeoGebra.

4 Intermezzo: tecniche di soluzione

4.1 Discussione grafica

4.1.1 Esercizio 1

Completare la tabella5, completando le parti mancanti (a seconda dei casi grafico, soluzione, . . . ). Nota: alcuni esempi sono svolti.

4.1.2 Esercizio 2

Completare la tabella6, completando le parti mancanti (a seconda dei casi grafico, soluzione, . . . ). Nota: alcuni esempi sono svolti.

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Tabella 5: Tabella relativa all’esercizio 1 della sezione4.1.

disequazione ∆ a yV grafico soluzione

−3x2_{+ 2x − 3 < 0} ₋ ₋ ₋ _3(a) _{(−∞, +∞)} −x2_{+ 5x + 2 > 0} −x2_{+ 8x − 16 < 0} −x2_{+ 8x − 16 ≤ 0} −x2_{+ 8x − 16 ≥ 0} −x2_{+ 8x − 16 > 0} x2_{− 8x + 16 > 0} x2− 8x + 16 ≤ 0 3(b) x2+ 5 < 0 − + + ∅ x2_{+ 5 ≥ 0} x2_{− 5 > 0} _{(−∞, −}√_{5) ∪ (+}√_{5, +∞)} x2− 5 ≤ 0 −x2_{− 3 ≤ 0} −x2_{+ 6 ≥ 0} −x2_{+ 6 < 0} 7x2_{+ 5x < 0} 7x2_{− 5x ≥ 0}

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(a) (b) Figura 3: Grafici relativi all’esercizio 1 della sezione4.1.

(a) (b)

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Tabella 6: Tabella relativa all’esercizio 2 della sezione4.1.

disequazione ∆ a yV grafico soluzione

ax2_{+ bx + c ≥ 0} ₊ ₋ ax2+ bx + c ≥ 0 0 − ax2_{+ bx + c ≤ 0} ₋ ∅ ax2_{+ bx + c ≤ 0} ₋ _(x 1, x2) ax2+ bx + c ≤ 0 + + − 4(a) (−∞, x1] ∪ [x2, +∞) ax2_{+ bx > 0} ₊ ₊ ax2_{+ c > 0} ₊ _4(b) ax2_{+ c > 0} ₊ ₋ ax2_{+ c > 0} R ax2+ c ≤ 0 [x1, x2] + + ∅ 0 − {x±} 0 + {x±} ax2_{+ bx + c ≤ 0} ₋ _{] − ∞, x} −] ∪ [x+, +∞[ ax2_{+ bx + c > 0} ₋ ₊

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4.2 Discussione con GeoGebra

In questa sezione vogliamo discutere gli esercizi della sezione precedente con GeoGebra. 4.2.1 Disequazioni numeriche

1. Inserisci nella barra di inserimento ciascuna delle disequazioni numeriche della sezione precedente. Guarda la parte di piano che viene evidenziata. Perch´e? Cosa puoi notare in relazione alla variabile y?

2. Adesso fai tracciare a GeoGebra le curve relative ai trinomi associati alle equazioni (ad es. f (x) = −3x2_{+ 2x − 3 e cos`ı via)}

3. Determina, tramite l’apposito comando, le coordinate dei punti di intersezione fra la parabola e l’asse x.

4. Introduci un punto C vincolato all’asse x 5. Introduci P (xC, f (C))

6. Clicca con il dx su P e mostra la traccia se `e soddisfatta la condizione f (P ) > 0

7. Adesso inserisci del testo: Vogliamo risolvere la disequazione . . . (dove al posto dei puntini userai la lettera corrispondente all’oggetto disequazione)

4.2.2 Disequazioni con parametri liberi

Fai la stessa cosa dell’esercizio precedente, usando per`o i parametri introdotti tramite slider a, b, c. Nel commento del testo, puoi anche inserire delle osservazioni relative al segno di a, b, c, del vertice etc. 4.2.3 Ulteriori miglioramenti

Puoi migliorare il file creato ad esempio ispirandoti a questohttp://www.geogebratube.org/student/ m6131. In particolare puoi:

1. Inserire una casella di testo in cui compaia la soluzione